2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.5矩形知识点分类训练（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》知识点分类训练（附答案）
一．矩形的性质
1．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（　　）平方厘米．
A．50或60 B．40或50或80 C．30或40或50 D．30或50或80
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
3．如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（　　）
A．EF B．DE C．PH D．PE
4．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED＝α+β，下列结论正确的是（　　）
A．α＝β B．α＝γ C．α+β+2γ＝90° D．2α+γ＝90°
5．在矩形ABCD中，点A关于∠B的角平分线的对称点为E，点E关于∠C的角平分线的对称点为F．若AD＝，AB＝1，则AF2＝（　　）
A．8﹣4 B．10﹣4 C．8+4 D．10+4
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连接DF，M为DF的中点，连接MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（　　）
A．5 B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（　　）
A．45° B．60° C．75° D．30°
8．已知点P是矩形ABCD内一点，连接AP、BP、CP、DP，若S△ABP+S△CDP＝S△ADP+S△BCP，则关于点P的位置，正确的说法是（　　）
A．一定是对角线交点 B．一定在对角线上
C．一定在对边中点的连线上 D．可以是任意位置
9．如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝102，宽AD＝51，从A、B两处入口的中路宽都为1，两小路汇合处路宽为2，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）
A．5050 B．4900 C．5000 D．4998
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE⊥AC．设∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（　　）
A．α＝β B．α+β＝180° C．2α+β＝180° D．α+2β＝180°
11．如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD＝2，DE＝1，CF＝2，且AG＝CH，则EG+FH＝（　　）
A．+1 B． C．3 D．
12．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF平分∠ADC，交EB的延长线于点F，BC＝6，CD＝3，则为（　　）
A． B． C． D．
13．如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则S3＝S4，其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为 　 　．
16．如图，矩形ABCD中，，连结对角线AC，E为AC的中点，F为边AB上的动点，连结EF，作点C关于直线EF的对称点C′，连结C′E，C′F，CF，若△EFC′与△ACF重叠部分面积等于△ACF面积的，则AG　 　EG（填“＞”、“＝”或“＜”），BF＝　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，点P在对角线AC上，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若PB＝2，PD＝6，图中阴影部分的面积为9，则矩形ABCD的周长为　 　．
18．如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，连接OE，若AD＝6，AB＝8，则OE＝　 　．
19．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为　 　度．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C处同时出发相向而行，到C，A时停止运动．若两动点的速度均为1cm/s，AB＝14cm，BC＝18cm，AC＝24cm，经t秒后，四边形GFHE为矩形，则此时t的值为　 　．
21．已知矩形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣px+p+3＝0的两个实数根，则此矩形面积的最大值是　 　．
22．如图，一块长为a米，宽为b米的矩形土地被踩出两条小路（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是2米）．若小路①，②的面积分别为S1，S2，则S1，S2的大小关系是s1　 　s2．
23．如图所示，图形的周长为　 　厘米．
24．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，EF⊥EC，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为 　 　．
25．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连接AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE＝　 　．
26．如图，矩形ABCD的面积为16cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作 ABC1O1，设 ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作 ABC2O2，…，依此类推，则 ABC6O6的面积为　 　cm2．
27．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．
28．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设＝λ（λ＞0）．若λ＝1，求证：CE＝FE；
29．如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．
（1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由；
（2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由；
②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数．
30．如图，在 ABCD中，点E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，四边形AFCE是矩形，求DE的长．
二．矩形的判定
31．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为　 　．
32．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
33．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
34．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．
①求证：AD＝CN；
②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．
35．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，过A点作AF∥BC，且AF＝BD，连接CF交AD于点E．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD形状，并说明理由．
36．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
37．已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
三．矩形的判定与性质
38．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8，AB＝6，点D是BC边上的动点（不与B，C重合）过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，则EF的最小值是（　　）
A．3 B． C．5 D．
39．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．
（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．
40．如图，已知 ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
41．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
42．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
43．如图，在平行四边形ABCD中，点M，N是AD边上的点，BM，CN交于点O，AN＝DM，BM＝CN．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BOC＝90°，MN＝1，AM MD＝12，求矩形ABCD的面积．
44．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
参考答案
一．矩形的性质
1．解：分三种情况讨论：
①如图1所示：
BE＝BF＝10，
等腰三角形的面积＝10×10÷2＝50（cm2）；
②如图2所示：
BE＝16﹣10＝6（cm），
BF＝＝8（cm），
等腰三角形的面积＝10×8÷2＝40（cm2）；
③如图3所示：
DE＝18﹣10＝8（cm），
DF＝＝6（cm），
等腰三角形的面积＝10×6÷2＝30（cm2）．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝4，
∴EC＝DC＝2，
故选：B．
3．解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，
∵EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠EDC＝∠DEF，
∵PH⊥DE，PM⊥EF，
∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，
又∵∠PQM＝∠EQH，
∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，
在△PMQ和△DCE中，
，
∴△PMQ≌△DCE（ASA），
∴PQ＝DE，
∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2，
∴故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，
∴α+β+γ＝90°，
∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，
∴2α+β＝90°，
∴α+β+γ＝2α+β，
∴α＝γ，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1，BC＝AD＝，
∵点A关于∠B的角平分线的对称点为E，点E关于∠C的角平分线的对称点为F，
∴AB＝BE＝1，CE＝CF＝﹣1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣，
∴AF2＝AD2+DF2＝3+7﹣4＝10﹣4，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAF＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∵FM＝DM，
∴AM＝EM＝DF＝×＝，
∵AM⊥ME，
∴∠AME＝90°，
∴AE＝＝＝2，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵∠BAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
作PE⊥AD于E，延长EP交BC于F，如图所示：
则PF⊥BC，EF＝AB，
∵△ADP的面积+△BCP的面积＝AD PE+BC PF＝BC（PE+PF）＝BC EF＝BC AB，
∴△ADP的面积+△BCP的面积＝矩形ABCD的面积，
同理：△ABP的面积+△CDP的面积＝矩形ABCD的面积，
∴△ADP的面积+△BCP的面积＝△ABP的面积+△CDP的面积；
故选：D．
9．解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：102﹣2＝100，宽为51﹣1＝50．所以草坪的面积应该是长×宽＝100×50＝5000．
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD＝α，
∴∠OAD＝（180°﹣α），
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AEO＝β，∠DAE＝90°，
∴∠OAD＝∠AEO，
∴（180°﹣α）＝β，
∴α+2β＝180°．故选：D．
11．解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF＝∠AGQ＝90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH＝∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ＝CF＝2，FH＝QG，
∵∠D＝∠DAM＝∠AME＝90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM＝DE＝1，EM＝AD＝2，
∴MQ＝2﹣1＝1，
∴Rt△EMQ中，EQ＝＝＝，
即EG+QG＝EG+FH＝．故选：B．
12．证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，OA＝OD，
∴∠COD＝2∠ADO，
又∵BE⊥AC，
∴∠EOB+∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠BDF+∠F，
∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝90°，
又∵DF平分∠ADC，
∴∠ADO+∠BDF＝∠ADC＝45°，
∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝45°+∠ADO+∠F＝90°，
∴∠ADO+∠F＝45°，
又∵∠BDF+∠ADO＝45°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD，
∴AC＝BF，
∵BC＝6，CD＝3，
∴AD＝6，
∴BF＝AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC BE＝AB BC，
∴BE＝，
∴＝＝，
故选：C．
13．解：如图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S1+S3＝矩形ABCD面积；
同理可得出S2+S4＝矩形ABCD面积；
∴②S2+S4＝S1+S3正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S1+S2＝S3+S4．
但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．
故①不一定正确；
③若S3＝2S1，只能得出△APB与△PDC高度之比，S4不一定等于2S2；
故此选项错误；
∵S2+S4＝S1+S3；若S1＝S2，则S3＝S4，
∴④正确．故选：B．
14．解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：C．
15．解：∵矩形ABCD的面积是ab，
阴影部分的面积是：ac+bc﹣c2，
∴图中空白部分的面积是：ab﹣（ac+bc﹣c2）＝ab﹣bc﹣ac+c2．
故答案为：ab﹣bc﹣ac+c2．
16．解：∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵E为AC的中点，
∴AE＝EC＝，
∴S△AEF＝S△ECF，
∵点C关于直线EF的对称点C′，
∴△CEF≌△C'EF，CE＝C'E＝，
∴S△CEF＝S△C'EF，
∵△EFC′与△ACF重叠部分面积等于△ACF面积的，
∴S△EFG＝S△AEF＝S△CEF＝S△C'EF，
∴AG＝EG，FG＝C'G，
在△C'EG和△FAG中，
，
∴△C'EG≌△FAG（SAS），
∴AF＝C'E＝，
∴BF＝AB﹣AF＝4﹣，
故答案为：＝，4﹣．
17．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴AM＝PE＝BN，AE＝MP＝DF，MD＝PF＝NC，BE＝PN＝FC，
S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△EBP＝S△DPF，且S△EBP+S△DPF＝9，
∴EP×BE＝PF×DF，且EP×BE+PF×DF＝9，
∴EP×BE＝PF×DF＝
∵BE2+EP2＝BP2＝20，PF2+DF2＝PD2＝36，
∴BE+EP＝，PF+DF＝3
∴BE+EP+PF+DF＝+3
∴AB+AD＝+3
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2+6
故答案为：2+6
18．解：过点O作OM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴△DAE为等腰直角三角形，
∴AE＝DA，
∵AD＝6，AB＝8，
∴AE＝6，BE＝2，
在Rt△DAB中，
AC＝＝＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵OM⊥AB，
∴AM＝MB＝4，
∴OM＝＝＝3，
又∵ME＝MB﹣EB＝4﹣2＝2，
在Rt△OME中，
OE＝＝＝，
故答案为：．
19．解：过点C作AB的垂线垂足是E，如图所示：
∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的，
∴BC＝CE，
∵sin∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝∠A＝45°．
故答案为：45．
20．解：连接GH，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴BG＝CH，BG∥CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH＝BC＝18，
当EF＝GH＝18时，平行四边形GFHE是矩形，
分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝24﹣2t＝18，
解得：t＝3；
②AE＝CF＝t，EF＝24﹣2（24﹣t）＝18，
解得：t＝21；
综上所述：当t为3s或21s时，四边形EGFH为矩形；
故答案为：3或21．
21．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣px+p+3＝0的两个实数根，
∴Δ＝p2﹣4×1×（p+3）＝0，
解得：p1＝6，p2＝﹣2（不符合题意，舍去），
则方程为x2﹣6x+9＝0，
即AC＝BD＝3，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2＝9，
∵S＝AC×BD，
∴S≤AC×BD＝，
故答案为：．
22．解：∵过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是2米，
∴S1＝2b平方米；S2＝2b平方米．
∴S1＝S2．
故答案为：＝．
23．解：仔细观察可看出，右下方的阶梯的水平方向的线段的和等于6厘米，垂直方向的线段的和等于8厘米．则其周长刚好等于矩形的周长＝2×（8+6）＝28厘米．
故答案为28．
24．解：∵四边形ABD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵∠DCE+∠DEC＝90°．
∴∠AEF＝∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE＝CD，AF＝DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝AE+2，
∵矩形ABCD的周长为24，
∴2（AE+ED+CD）＝24，
∴2（2AE+2）＝24，
解得：CD＝AE＝5，
∴AD＝7，
∴矩形ABCD的面积＝AD×CD＝7×5＝35，
故答案为：35．
25．解：延长AP交CD于F，
∵∠APB＝90°，
∴∠FPB＝90°，
∴∠CPF+∠CPB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，
∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠ABP，
∵CP＝CB＝3，
∴∠CPB＝∠CBP，
∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP，
∵∠EPA＝∠CPF，
∴∠EAP＝∠APE，
∴AE＝PE，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴42+（3﹣AE）2＝（3+AE）2，
解得：AE＝，故答案为：．
26．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴O1A＝O1C，O1B＝O1D，AC＝BD，
∴O1A＝O1C＝O1B＝O1D，
∴＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×16cm2＝4cm2，
∵四边形ABC1O1是平行四边形，O1A＝O1B，
∴四边形ABC1O1是菱形，
∴AC1＝2O2A，O1B＝2O1O2＝2O2B，AC1⊥BO1，
∴平行四边形ABC1O1的面积是AC1×BO1＝×2AO2×BO1＝2××AO2×BO1＝2×4cm2＝8cm2，
∴△ABO2的面积是＝2cm2，
同理平行四边形ABC2O2的面积是4cm2，
平行四边形ABC3O3的面积是2cm2，
平行四边形ABC4O4的面积是1cm2，
平行四边形ABC5D5的面积是cm2，
平行四边形ABC6O6的面积是cm2，
故答案为：．
27．解：连接DE，如图：
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD＝45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵DG为折痕，
∴∠DGE＝90°＝∠C，
而DE＝DE，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），
∴DC＝DG，
∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AD＝DG＝CD，
∴矩形ABCD长与宽的比值为，
故答案为．
28．解：（1）证明：连接DE，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵＝λ＝1，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠FED，
∴∠FED＝∠CED，
在△DFE和△DCE中，
，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴CE＝FE；
29．解：（1）∠CGH＝∠DFE，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴CG∥DF，∵GH∥EF，
∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE，
∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH，∠DFE＝∠DFA+∠AFE，
∴∠CGH＝∠DFE；
（2）①GH平分∠AGE；
理由如下：
∵GH∥EF，
∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF，
∵CE∥DF，
∴∠1＝∠GEF，
∵∠1＝∠GFE，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴∠AGH＝∠EGH，
∴GH平分∠AGE；
②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，
∴∠EFG＝∠1，
∵∠DFG＝52°，
∴∠EFG＝64°，
∵GH∥EF，
∴∠AGH＝∠AFE＝64°，
∵∠EGF＝∠DFG＝52°，
∴∠HGE＝64°．
30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
又DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，
∴BD＝＝4，
连接AC交EF于O，
∴DO＝BD＝2，
∴AO＝＝，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AC＝EF，AO＝AC，EO＝EF，
∴AO＝EO＝，
∴DE＝EO﹣DO＝﹣2．
二．矩形的判定
31．解：四边形ABCD为矩形．
理由：∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形．
32．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠AFC＝2∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
33．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．
34．证明：①∵CN∥AB，
∴∠DAC＝∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴AD＝CN；
②∵∠BAN＝90度，四边形ADCN是平行四边形，
∴四边形ADCN是矩形．
35．证明：（1）连接DF．
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵AF∥BC，且AF＝BD，
∴AF∥DC，且AF＝DC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AE＝ED；
（2）四边形AFBD是矩形，
理由如下：
由（1）得，四边形ACDF是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC．
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°．
∴平行四边形AFBD是矩形．
36．（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：
∵EO＝FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝×180°＝90°．
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
37．（1）证明：在△ADF和△CDE中，
∵AF∥BE，
∴∠FAD＝∠ECD．
又∵D是AC的中点，
∴AD＝CD．
∵∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE．
∴AF＝CE．
（2）解：若AC＝EF，则四边形AFCE是矩形．
证明：由（1）知：AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC＝EF，
∴平行四边形AFCE是矩形．
三．矩形的判定与性质
38．解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝8，BA＝6，
∴BC＝10，
连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形EAFD是矩形，
∴EF＝AD，
当AD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时，则AD最小，
∴EF＝AD＝＝，
故选：B．
39．解：（1）当时间t＝7秒时，四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t＝7秒时，PA＝QC＝7，
∵AC＝6，
∴CP＝AQ＝1
∴PQ＝BD＝8
∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8
∴AO＝CO＝3
∴BO＝DO＝4
∴OQ＝OP＝4
∴四边形BPDQ为平形四边形，
∵PQ＝BD＝8
∴四边形BPDQ为矩形，
（2）由（1）得BO＝4，CQ＝7，
∵BC⊥AC
∴∠BCA＝90°
BC2+CQ2＝BQ2
∴BQ＝．
40．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴ BECD是矩形；
（2）如图，
∵CD＝3，
∴AB＝BE＝3．
∵AD＝6，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∴CE＝3，
∴AC＝＝＝3．
41．（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2±，
∵0＜x＜2，
∴x＝2﹣．
42．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝ EC OF＝1．
43．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠A+∠D＝180°，
∵AN＝DM，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DCN中，，
∴△ABM≌△DCN（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）解：∴△ABM≌△DCN，
∴∠AMB＝∠DNC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠OBC，∠DNC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴AMB＝∠OBC＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∵AM MD＝12，AN＝DM，
∴AM（AM﹣1）＝12，
解得：AM＝4，或AM＝﹣3（舍去），
∴AB＝AM＝4，MD＝3，
∴AD＝AM+MD＝7，
∴矩形ABCD的面积＝AD×AB＝7×4＝28．
44．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°