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第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义;
2.会用符号表示两直线垂直,并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线;
3.理解对顶角、互补、互余的性质,垂线和垂线段的性质,并会简单的应用.
【过程与方法】
1.经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力;
2.能举一反三,学会运用类比、数形结合等思想方法解决新问题.
【情感、态度与价值观】
1.认识现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题,激发学生学习数学的兴趣;
2.在解决实际问题的过程中了解数学的价值,通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
对顶角、余角、补角、垂直的定义及其它们的性质.
【教学难点】
对互余、互补的性质的理解、探究与应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察下面几幅生活中的图片:
在上图中,直线a和b的关系是 ;直线m和n的关系是 ;直线c和d的关系是 .
二、合作探究
探究点1 对顶角及其性质
典例1 如图,直线AB交CD于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD∶∠BOE=4∶1,则∠AOF等于 ( )
A.130° B.100°
C.110° D.120°
[解析] 设∠BOE=α.因为∠AOD∶∠BOE=4∶1,所以∠AOD=4α.因为OE平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE=α.因为∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°,所以4α+α+α=180°,解得α=30°,所以∠AOD=4α=120°,所以∠BOC=∠AOD=120°.因为OF平分∠COB,所以∠COF=∠BOC=60°.因为∠AOC=∠BOD=2α=60°,所以∠AOF=∠AOC+∠COF=120°.
[答案] D
变式训练 如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠BOC.若∠BOE=60°,则∠AOC的度数为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
[答案] C
探究点2 互余、互补及其性质
典例2 一个角的余角比它补角的还多1°,求这个角.
[解析] 设这个角为x°,则它的余角为(90°-x°),补角为(180°-x°).
根据题意,得90-x=(180-x)+1,解得x=63,
所以这个角为63°.
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.互余、互补的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.利用方程式也是解决这类问题的关键.
变式训练 如图,O为直线AB上一点,∠AOC=α,∠BOC=β,则β的余角可表示为 ( )
A.(α+β) B.α
C.(α-β) D.β
[答案] C
探究点3 垂线及其性质
典例3 如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM.若∠BOD=70°,则∠CON的度数为 ( )
A.35° B.45°
C.55° D.65°
[解析] 因为∠BOD=∠AOC=70°,射线OM平分∠AOC,所以∠AOM=∠MOC=35°.因为ON⊥OM,所以∠CON=90°-35°=55°.
[答案] C
变式训练 如图,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于点D,则下列结论中,正确的是 ( )
①AC与BC互相垂直;
②CD与BC互相垂直;
③点B到AC的垂线段是线段CA;
④∠ACD与∠B相等,∠BCD与∠A相等;
⑤线段AC的长度是点A到BC的距离.
A.①③⑤ B.①②
C.①③④⑤ D.①④⑤
[答案] D
三、板书设计
两条直线的位置关系
◇教学反思◇
数学来源于生活,又服务于生活.引导学生从身边熟悉的情境出发,使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程,体会本节课的重要性,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学知识.
巧设问题串,打造高效课堂.恰当地创设情境,以问题串的方式激发学生的好奇心和求知欲,通过独立思考,不断提出问题,分析问题,并创造性地解决问题;通过动手操作、合作交流等方式,为学生构建了开放有效的学习环境.
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2.1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
北师大版数学七年级下册
1、会列举同一平面内两条直线的位置关系有哪几种。
2、在具体情境中识别出对顶角，探索出对顶角的性质，并能运用解决一些简单的实际问题。
3、在具体情境中识别出余角、补角，探索出余角、补角的性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
学习目标
通过观察生活中的图片，我们发现在同一平面内
两条直线的位置关系有哪几种？
生活中的数学
窗户
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
如图，直线AB和CD相交于点O.那么∠1和∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？与同伴交流。
1
2
A
D
C
B
O
直线AB和CD相交于点O，∠ 1与∠2有公共的顶点O， 它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。
我发现了
对顶角相等
定义：
性质：
探究：
还有其他的角也构成对顶角吗？
1
2
1
2
1
2
1
2
A
B
C
D
1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
2.（课本39页随堂练习）如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角的度数是多少吗？为什么？
D
练习
下图中∠1与∠3有什么数量关系？
如果两个角的和为 ，则这两个角互为余角。
如果两个角的和是 ，则这两个角互为补角。
∠2+ ∠4=180
0
∠1+ ∠3=180
0
2
1
A
D
C
B
O
3
4
想一想
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
图2.1—8
图2.1—7
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。
将图2.1—7抽象成图2.1—8，ON与DC交于O ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。在图2.1—8中
做一做
（1）哪些角互为补角？哪些角互为余角？
（2）∠3与∠4有什么关系？为什么？
（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
你还能得到哪些结论？
1.下列说法中，正确的有（ ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B
当堂练习
√
√
2.判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明
理由？
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
√
×
×
×
×
×
3.图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
4.图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
5.如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与
∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC和 ∠AOD
6.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,
回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是 ；补角是 ；
（2）∠AOC的余角是 ；补角是 ；
对顶角是 ；
C
A
B
D
O
E
∠AOC
∠BOE
∠AOE
∠BOC
∠BOD
7.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系 并试着说明理由
O
∠1与∠3相等
(等角的余角相等).
8.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),
余角是(90°－x°) .
根据题意，得180°－x°= 4 (90°－x°).
解得 x=60.
答：这个角的度数是60 °.
9.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入
围墙，如何测量？
A
B
O
C
D
你能想到几种方法？
同角或等角
的余角相等
因为∠1+∠3=90
∠2+∠3=90
所以∠1= ∠2
因为∠1=∠2
∠1+∠3=90
∠2+∠4=90
所以 ∠3= ∠4
同角或等角
的补角相等
因为∠1+∠3=180
∠2+∠3=180
所以 ∠1= ∠2
因为∠1=∠2
∠1+∠3=180
∠2+∠4=180
所以 ∠3= ∠4
归纳总结
归纳小结
余角、补角、对顶角的概念：
余角、补角、对顶角的性质：
（1） 和为直角的两个角称互为余角；
（2） 和为平角的两个角称互为补角；
（3） 两直线相交有多少对对顶角？
（1） 同角或等角的余角相等；
（2） 同角或等角的补角相等；
（3） 对顶角相等。
互余与互补只与角的数量有关，与位置无关。而对顶角是根据角的位置来判断的
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