2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.7正方形同步优生辅导测评（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
3．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30 B．34 C．36 D．40
7．正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ＝45°，则PB+QD＝PQ；②若AP＝AQ＝，∠PCQ＝36°，则；③若△PQC是正三角形，若PB＝1，则AP＝．其中正确的说法有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）
A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　 　．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　 　．
11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是　 　．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　．
13．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于　 　度．
14．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
16．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
17．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
18．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
19．已知：如图四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
20．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°
（1）求证：AG＝FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝10，求FD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
则点C到y轴的距离为OE．
∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝2，OB＝3．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB＝90°．
∴∠ECB+∠EBC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠CBA＝90°．
∴∠EBC+∠ABO＝90°．
∴∠ECB＝∠ABO．
在△CBE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EB＝OA＝2．
∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．
∴点C到y轴的距离是5．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
3．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
4．解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，
∵BE：EC＝2：1，BC＝9，
∴CE＝BC＝3，
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
即（9﹣x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
即CH＝4．
故选：B．
5．解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
7．（1）证明：延长AB至点E，使BE＝DQ，连接EC，AC，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，CD＝DA＝AB＝BC，∠D＝∠EBC＝90°，
∴在△BEC和△DQC中，
，
∴△BEC≌△DQC（SAS），
∴CE＝CQ，∠BCE＝∠DCQ，
∵∠PCQ＝45°，
∴∠DCQ+∠PCB＝45°，
∴∠BCE+∠PCB＝45°，即∠ECP＝45°，
∵在△PCE和△PCQ中，
，
∴△PCE≌△PCQ（SAS），
∴PE＝PQ，
∵PE＝PB+BE＝PB+QD，
∴PQ＝PB+QD，
（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，
∵正方形ABCD，
∴∠A＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD，
∵∠PCQ＝36°，AP＝AQ＝，
∴PQ＝2，PB＝QD，
∴PE＝PC﹣2，
∵在△PBC和△QDC中，
，
∴△PBC≌△QDC（SAS），
∴QC＝PC，
∴∠CPQ＝∠CQP＝72°，
∴∠PQE＝∠EQC＝36°，
∴QE＝QP＝EC＝2，
∵△QPE∽△CQP，
∴PQ：QC＝PE：PQ，即PQ2＝PE PC，
∵PQ＝2，
∴PE PC＝4，
∵PE＝PC﹣2，
∴PC2﹣2PC﹣4＝0，
解得：PC1＝1﹣＜0（舍去），PC2＝1+，
∴PC＝+1，
（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，
∵正方形ABCD，
∴BC＝CD＝AB＝AD，∠D＝∠B＝∠A＝∠BCD＝90°，
∵△PCQ为正三角形，
∴QC＝PQ＝PC，∠QCP＝60°，
∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，
，
∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），
∴∠BCP＝∠DCQ＝，PB＝QD，
∵E为PC的中点，
∴BE＝EC＝PE＝，
∴∠BEM＝30°，
∴2BM＝BE，
∴4BM＝PC，
∵PC＝AP，
∴4BM＝AP，
∵BM⊥PC，∠BCP＝15°，
∴∠PBM＝15°，
∵PB＝1，
∴BC＝AB＝AP+1，
∴AP＝+1，
∴其中说法正确的共3个，
故选：A．
8．解：∵AD′＝AD＝2，
AO＝AB＝1，
∴OD′＝＝，
∵C′D′＝2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
AB＝AE，
∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，
∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
10．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
11．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
13．解：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABE＝70°，
∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故答案为：65
14．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（﹣，）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．
三．解答题（共6小题，满分30分）
15．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．
16．（1）证明：在正方形ABCD中，
∵，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．
（2）解：GE＝BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE＝GF．
∴GE＝DF+GD＝BE+GD．
17．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
18．（1）解：①PE＝PB，②PE⊥PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，
又　PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC，
∴PD＝PB，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC＝∠PBC．（7分）
又∵PE＝PD，
∴∠PDE＝∠PED．
∴∠PDE+∠PDC＝∠PEC+∠PBC＝180°，
∴∠EPB＝360°﹣（∠PEC+∠PBC+∠DCB）＝90°，
∴PE⊥PB．
（3）解：如图所示：
结论：①PE＝PB，②PE⊥PB．
19．证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝180×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
20．（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
（2）方法1、解：∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝10，
∴BG＝2，GM＝4，
∴AG＝4，AB＝10，
∴HF＝2，
∴CF＝2×＝2，
∴CM＝2，
过B点作BK⊥CM于K，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝3，
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，
∴△BKC≌△CQD
∴CQ＝BK＝3，
DQ＝CK＝，
∴QF＝3﹣2＝，
∴DF＝＝2．
方法2，如图3，∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
根据勾股定理得，BG2+（2BG）2＝100，
∴BG＝2
连接CG，
∴CG⊥FM，
∴CG＝CM＝CF，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
∵BC＝CD，
∴△BCG≌△DCF，
∴DF＝BG＝2．