2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.6菱形 同步练习题（word版，含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-6菱形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．已知菱形ABCD的对角线交于原点O，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），则点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（　　）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
3．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
4．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD．上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则FG的长为（　　）
A． B． C．1 D．
5．下列叙述，错误的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件可以是（　　）
A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE平分∠ABC D．BE⊥AC
7．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形（　　）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的平行四边形ABCD是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
10．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（　　）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
二．填空题
11．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是　 　．
12．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于　 　．
13．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝4，若过点C作CM⊥AB，垂足为M，则CM的长为　 　．
14．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
三．解答题
15．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
16．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
17．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
18．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由．
19．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E是BD的中点，连接AE，CE，过点C作CF∥AE交AD于点F，且CF＝BD，连接EF．
求证：（1）四边形AECF是菱形．
（2）EF＝CD．
20．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝CD＝AE＝6．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝18，F为AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，在直线AB上向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在直线CD上向左运动，设运动时间为t秒．当M，N运动时，是否存在以点M，F，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值和平行四边形的面积，若不存在，请说明理由．
22．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时， AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
23．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作 ECFG．
（1）证明 ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴D点坐标为（1，），
故选：A．
2．解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC AE，
∴AE＝＝＝9.6，
故选：A．
3．解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝3，
∴EC＝BE+BC＝3+3＝6，
同理可得AF＝6，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．
故选：B．
4．解：过点E作EM∥BC交AC于M，EN⊥BC于N，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝∠FAC＝∠BAD＝60°，AD∥BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵EM∥BC，
∴EM∥AD，∠AEM＝∠B＝60°＝∠BAC，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∵EM∥AD，
∴FG＝EF，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∵EN⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BEN＝30°，
∴BN＝BE＝，
∴EN＝BN＝，CN＝BC﹣BN＝4﹣＝，
∴EF＝CE＝＝＝，
∴FG＝EF＝，
故选：A．
5．解：方法一：A．根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B．根据对角线互相平分四边形可判定为平行四边形，再有对角线相等可判定为矩形，故此选项正确，不符合题意；
C．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
方法二：A．∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
∴选项A不符合题意；
B．∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C．∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
6．解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形DBFE是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，
故选：C．
7．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下：
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG∥AB，EG＝AB，
同理HF∥AB，HF＝AB，EH∥CD，EH＝CD，
∴EG∥HF，EG＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形EGFH是菱形．
故选：A．
8．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，BO＝OD，
∴AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴BO＝BD＝2，
故选：D．
9．解：过A作AF⊥DC于F，过B作BE⊥AD，交DA的延长线于E，
∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起，
∴AF＝BE，
∵平行四边形ABCD的面积S＝DC×AF＝AD×BE，
∴DC＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝EO＝FO＝CF，
∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；
∵EO＝OF，BO＝DO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC OD，故③错误；
∵四边形EBFD是菱形，
∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；
故选：A．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°，
∴AC＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4，OB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
∴该菱形的面积是：AC BD＝×4×4＝8．
故答案为：8．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝10，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 10＝×12×16，
∴DH＝．
故答案为：．
13．解：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝OA＝2，
∵AB＝5，
∴OB＝＝，
∴BD＝2，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×CM，
∴CM＝，
故答案为．
14．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴AD＝5，
∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
三．解答题
15．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE．
16．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝AE，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD＝OB，
∴∠ODH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠ODH+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠ODH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
∴AC＝2OC＝4，∠COD＝90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，
菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×6×8＝24．
18．（1）证明：∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG 平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED，
∴∠C＝90°，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴FH是△ADE的中位线，
∴H是ED的中点
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠DHG＝90°，
∴∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
在△ECG和△GHD中，
，
∴△ECG≌△GHD（AAS）；
（2）解：当∠B为30°，四边形AEGF为菱形，理由如下：
由（1）得：DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得：AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEGF是菱形．
19．证明：（1）∵∠BCD＝∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD＝DE，CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵CF＝BD，
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）由（1）得：AE＝DE，四边形AECF是菱形，
∴AD∥CE，AE＝CF，
∴四边形CDFE是梯形，DE＝CF，
∴四边形CDFE是等腰梯形，
∴EF＝CD．
20．证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，则AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）∵△ABC是直角三角形，AB＝6，BC＝10，BD＝DC，
∴AD＝DC＝5，AC＝，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AC⊥DF，
∴DE＝，
∴，
即，
解得：DG＝．
21．（1）证明：∵AB∥CD，
∴AE∥CD，
∵CD＝AE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形，
（2）存在，
由题意知AF＝AB＝9，过点D作AB的垂线，垂足为H，
∵AB∥CD，∠A＝60°，
∴在Rt△AHD中，∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝3，
∴DH＝＝＝3，
∵运动时间为t秒，
①如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AF﹣AM＝9﹣3t，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，
若MF＝ND，则四边形MFND为平行四边形，
即9﹣3t＝6﹣t，
解得t＝，
此时S MFND＝MF×DH＝（9﹣3×）×3＝；
②如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AM﹣AF＝3t﹣9，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，
若MF＝ND，则四边形FMND为平行四边形，
即3t﹣9＝6﹣t，
解得t＝，
此时S FMND＝MF×DH＝（3×﹣9）×3＝；
综上：当t＝时，四边形MFND为平行四边形，面积为；当t＝时，四边形FMND为平行四边形，面积为．
22．解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝OD＝6cm，
∴EO＝6﹣t，OF＝2t，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB＝＝3；
∴当AB为3时， AECF是菱形；
（3）∵四边形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∴BE＝DF，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2，
∴BE＝DF＝2，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积＝AC EF＝6×8＝24．
23．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．