2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.7正方形同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（　　）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
3．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）
A．1 B．2 C． D．2
4．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且OE＝2CO，则BE的长度是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC＝70°，那么∠DAE＝（　　）
A．10° B．15° C．25° D．30°
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是矩形 ②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形 ④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
7．下列说法中，正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
8．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
9．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
二．填空题
10．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD＝，∠APB＝135°，则正方形ABCD的面积为　 　．
12．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP＝　 　．
三．解答题
13．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
14．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
15．观察下列图形的变化过程，解答以下问题：
如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．
（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？
16．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
17．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB＝∠DAB；
（2）若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形．
18．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．
（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；
（2）求证：AE＝BE+DG．
19．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．
（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．
20．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，求证：AB＝FB．
21．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD于点G．
（1）求证：BG＝DF；
（2）求证：EF+EG＝CE．
参考答案
一．选择题
1．解：过点E作MN∥AD，交AB于点M，CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∵MN∥AD，
∴MN⊥AB，MN⊥CD，
∵S△ABE＝AB EM＝×4×EM＝2EM＝5，
∴EM＝，
∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，
∴S△CDE＝CD EN＝×4×＝3，
故选：A．
2．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AB＝BF＝DE，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴AE＝AF，
∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE＝S△DAF，
∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，
即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，
∵OA＝1，
∴BO＝2，
∴AB＝＝＝，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BC＝2，
在Rt△BOC中，
BO2+CO2＝BC2，
即2BO2＝22，
解得BO＝，
∵OE＝2CO，
∴OE＝2，
在Rt△BOE中，
BE＝．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∠BCD＝90°，
在△AED和△CED中，
，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠DAE＝∠ECD，
又∵∠BEC＝70°，
∴∠BCE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DAE＝25°，
故选：C．
6．解：①若AB＝BC，则 ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则 ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则 ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则 ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
7．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B．对角线相等的四边形不一定是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C．有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故原命题正确，符合题意；
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
8．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；
C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
故选：D．
二．填空题
10．解：如图，作FH∥BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴AB＝BC＝OB＝2+．
故答案为：2+．
11．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，
∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，
∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，
∴PH＝AP＝，∠APH＝∠AHP＝45°，
∴∠PHD＝90°，
∴DH＝＝＝2，
∵∠AHD＝135°，
∴∠AHE＝45°，
∵AE⊥DH，
∴∠AHE＝∠HAE＝45°，
∴AE＝EH，AH＝AE，
∴AE＝EH＝，
∴DE＝，
∵AD2＝AE2+DE2＝13，
∴正方形的面积为13，
故答案为：13．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，
又∵CF⊥CP，
∴∠DCP+∠FCD＝90°，
∴∠BCF＝∠DCP，
在△BCF和△DCP中，
∴△BCF≌△DCP（AAS），
∴BF＝DP，
∵AC＝3，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴2AB2＝AC2＝32＝9
∴AB＝，
∴AD＝，
∵3DP＝AB，
∴DP＝，
∴BF＝DP＝，
∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝，
AP＝AD+DP＝+＝2，
在Rt△AFP中，
FP＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题
13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FEDC为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FEDC是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FEDC是正方形；
（2）∵四边形FEDC是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵，
∴CE＝CD＝ED sin45°＝2×＝2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD＝．
14．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此；
（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，
∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．
15．解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF为菱形；
（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形，
理由：由（1）知，四边形AEDF为菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF为正方形．
16．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF．
∴四边形DFAE为正方形．
17．（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB＝∠DAB（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD＝90°，
即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME＝MF，
∴矩形AEMF是正方形．
18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠F，
∴AE＝EF，
设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝1，
∴CE＝1；
（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，
∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，
∵AF平分∠DAE，
∴∠EAF＝∠FAD，∠AGD＝∠FAD+∠BAE，
在△ABM和△ADG中，
，
∴△ABM≌△ADG（SAS），
∴∠M＝∠AGD＝∠FAD+∠EAB，∠MAB＝∠FAD，
∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，
∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．
19．（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，
∴∠MNC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，
∵AD＝CD，
∴MN＝AD，
∵ME⊥AF，
∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，
∴∠DAF＝∠EMN，
在△DAF与△NME中，
，
∴△DAF≌△NME（ASA），
∴AF＝EM；
（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，
即∠GAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠GAE＝∠AEB，
∴AG＝GE，
∴AF＝GE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，
∴AF＝DF+BE．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH＝DC＝AB，
即B是AH的中点，
又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
21．解：（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
∵BE⊥DF，
∴∠CBG+∠F＝∠CDF+∠F，
∴∠CBG＝∠CDF，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG＝DF；
（2）如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，
∵△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠F＝∠CGB，
∵∠MCG+∠DCE＝∠ECF+∠DCE＝90°，
∴∠MCG＝∠ECF，
在△MCG和△ECF中，
，
∴△MCG≌△ECF（ASA），
∴MG＝EF，CM＝CE，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME＝CE，
又∵ME＝MG+EG＝EF+EG，
∴EF+EG＝CE．