2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.5矩形同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（　　）
A．4.8 B． C． D．13
2．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　）
A．4 B．2 C．8 D．8
4．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．不能确定
5．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
二．填空题
7．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为　 　．
8．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为　 　．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数等于　 　．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝1，则BC的长为　 　．
11．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．
三．解答题
12．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．
13．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．
（1）求证：四边形DFBE是矩形；
（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB＝3，BC＝1，求BD的长．
17．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积．
18．如图，在 ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连结BE、CE．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若DE＝AB，∠ABC＝130°，求∠DEC的度数．
19．如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．
20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD、ED、EC．若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连结AC、若AD＝5，CD＝2，求AC的长．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，连接BD，
∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝＝13，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形DEBF是矩形，
∴EF＝BD，
由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段BD最短，则EF最小，
此时，S△ABC＝BC AB＝AC BD，
即×12×5＝×13 BD，
解得：BD＝，
∴EF的最小值为．
故选：B．
2．解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OD，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
又∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形．
∴∠ADB＝60°．
∴tan∠ADB＝＝．
∴AB＝AD＝4．
故选：A．
4．解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，
S△AOD＝S矩形ABCD，
∴OA＝OD＝AC，
∵AB＝15，BC＝20，
∴AC＝＝＝25，S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75，
∴OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA PE+OD PF＝OA （PE+PF）＝×（PE+PF）＝75，
∴PE+PF＝12．
∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
6．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，
∴∠CAD＝25°，
故选：B．
二．填空题
7．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
8．解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，
∠BAC＝60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB＝OB，∠ABO＝60°，
∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝OB＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．
故答案为75°．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∴BC＝＝＝；
故答案为：．
11．解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD＝＝13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ＝＝＝3．
故答案为：3．
三．解答题
12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴∠H＝90°，
同理∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴DE＝BF，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BF＝BC＝5，
∴DE＝BF＝5，
∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DF，
∴CE+CF＝DF+CF，
即EF＝CD，
∴AB＝EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AF⊥CD，
∴∠AFE＝90°，
∴平行四边形ABEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴OB＝OD，平行四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝5，
∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴AF＝＝＝4，
由（1）得：四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF＝90°，BE＝AF＝4，
∵CE＝DF＝3，
∴DE＝CD+CE＝8，
∴BD＝＝＝4，
又∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝2．
15．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形，
∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，
∴∠FDC＝30°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝60°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．
16．解：（1）如图所示：
四边形ABCD就是所求作的矩形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
又∵BE＝DF，
∴BC﹣BE＝AD﹣DF，
即EC＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝4，
∵四边形AECF是矩形，
∴EC＝AF＝4，
∴BC＝BE+EC＝2+4＝6，
∵∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴ED∥BF．
∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，
∴ED＝BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ADC＝∠ABC＝130°，
∵DE＝AB，
∴DE＝CD，
∴．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是 ABCD中BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF＝DF＝6，CF＝DF＝3，
∴AC＝＝＝3，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴平行四边形BECD是矩形；
（2）解：∵CD＝2，
∴BE＝AB＝CD＝2．
∴AE＝2AB＝4，
由（1）得：四边形BECD是矩形，
∴CE＝BD，∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴CE＝BD＝＝＝，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝．