2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学下册8.5平行线的性质定理同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《8-5平行线的性质定理》同步练习题（附答案）
1．如图，已知AB⊥AC，DE⊥AC，∠B＝∠D．试说明：AD∥BC．
在下列解答中，填上适当的理由或数学式．
解：∵AB⊥AC，DE⊥AC（已知），
∴AB∥DE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴　 　＝∠DEC（ 　 　）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝　 　（等量代换），
∴AD∥BC（ 　 　）．
2．请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC∥ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1＝∠AED，∠2＝∠ABC（ 　 　）．
∵BC∥ED，
∴∠AED＝　 　（ 　 　）
∴∠AED＝∠ABC．
∴∠1＝∠2（ 　 　）．
∴BD∥EF（ 　 　）．
3．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．
（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；
（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；
（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）
4．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．
5．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，∠ACB的度数，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC．
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2（等量代换）
∴OB∥AC． （ 　 　），
∴∠3+∠ACB＝180°，（ 　 　），
∴∠ACB＝　 　°，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴OA∥BC．（ 　 　）．
6．完成下列推理过程．
（1）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°．
求证：BC∥DE．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠　 　＝∠　 　（ 　 　）．
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠　 　+∠D＝180°（等量代换），
∴BC∥DE（　 　）
（2）如图，若已知∠1＝∠2，试完成下面的填空．
∵∠2＝∠3 （ 　 　），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠　 　＝∠　 　．（等量代换）
∴　 　∥　 　．（ 　 　）
7．请将下列题目中横线上的证明过程和依据补充完整：
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠BCF，BE⊥AF于点E．求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（ 　 　）
∵∠ABE＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠BCF，
即∠CBE＝∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF（ 　 　）
∴　 　＝∠BCF．
∴BE∥CF（ 　 　）
∴　 　＝∠F．
∵BE⊥AF，
∴　 　＝90°（ 　 　）．
∴∠F＝90°．
8．如图，AB∥CD，∠1＝∠A．
（1）试说明：AC∥ED；
（2）若∠2＝∠3，FC与BD的位置关系如何？为什么？
请在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．
解：
（1）∵AB∥CD，（已知）
∴∠1＝∠BED，（ 　 　）
又∵∠1＝∠A，（已知）
∴∠BED＝∠　 　，（等量代换）
∴　 　∥　 　．（ 　 　）
（2）FC与BD的位置关系是：　 　．理由如下：
∵AC∥ED，（已知）
∴∠2＝∠　 　．（ 　 　）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠　 　＝∠　 　．（等量代换）
∴　 　∥　 　．（ 　 　）
9．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝　 　°（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值．
（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
10．在学行线的有关知识后，小明对下面的问题进行了研究．
问题：如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE，CE，
试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
（1）下面是小明的解题过程，请你填空．
解：过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠1（ 　 　）．
∵CD∥AB（已知），
∴EF∥CD（ 　 　）．
∴∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代换）．
（2）如图2，AD∥BC，点E在线段AB上运动（点E不与点A，B重合），连结CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β．试说明∠CED，α，β之间的数量关系（写出过程，不需要注明依据）．
（3）如图3，AD∥BC，点E在直线AB上运动（点E不与点A，B，O重合），连结CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β，则∠CED，α，β之间的数量关系是 　 　．
11．阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整．
已知：如图，在△ABC中，FG∥CD，∠1＝∠3．
求证：∠B+∠BDE＝180°．
证明：因为FG∥CD（已知），
所以∠1＝　 　．
又因为∠1＝∠3（已知），
所以∠2＝　 　（等量代换）．
所以BC∥　 　（ 　 　），
所以∠B+∠BDE＝180°（ 　 　）．
12．按要求完成下列证明：
如图：AB∥CD，直线AE交CD于点C，∠BAC+∠CDF＝180°．求证：AE∥DF．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BAC＝∠DCE（ 　 　）．
∵∠BAC+∠CDF＝180°（ 　 　），
∴　 　+∠CDF＝180°（ 　 　），
∴AE∥DF（ 　 　）．
13．请完成下面的推理过程：
如图，已知∠D＝108°，∠BAD＝72°，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知）
∴∠D+∠BAD＝180°
∴AB∥CD（ 　 　）
∴∠1＝　 　（ 　 　）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF∥　 　（ 　 　）
∴∠2＝　 　（ 　 　）
∴∠1＝∠2（ 　 　）
14．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 　 　）
∴EF∥AD （ 　 　）
∴　 　+∠2＝180° （ 　 　）
又∵∠2+∠3＝180°（已知）
∴∠1＝　 　（ 　 　）
∴　 　∥　 　（ 　 　）
∴∠GDC＝∠B （ 　 　）
15．如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥　 　（ 　 　），
∴∠4＝　 　＝90°（ 　 　），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝　 　，
∴AB∥　 　．（ 　 　）
16．如图，AB与EF交于点B，CD与EF交于点D，根据图形，请补全下面这道题的解答过程．
（1）∵∠1＝∠2（已知）
∴　 　∥CD（ 　 　）
∴∠ABD+∠CDB＝　 　（ 　 　）
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知）
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性质）
∴AB∥CD（ 　 　）
（3）∵CD⊥EF于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义）
∴　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）
又∵∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ACD＝　 　．（ 　 　）
17．在下面解答中填空．
如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠　 　＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（ 　 　）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ 　 　）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（ 　 　）．
18．填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
（1）∠1＝∠2吗？请说明理由
（2）BE与CF的位置关系如何？为什么？
（本题第（1）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（2）小题要写出解题过程）
解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵AB∥CD（ 　 　），
∴∠ABC＝∠BCD（ 　 　）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1＝∠　 　（角平分线的定义），
∠2＝∠　 　（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（ 　 　）．
（2）
19．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
20．（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
参考答案
1．解：∵AB⊥AC，DE⊥AC（已知），
∴AB∥DE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DEC（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）、
故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等，∠DEC，内错角相等，两直线平行．
2．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1＝∠AED，∠2＝∠ABC（角平分线的定义），
∵BC∥ED，
∴∠AED＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：角平分线的定义，∠ABC，两直线平行，同位角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行．
3．解：（1）作EH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，
∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，
∵EM是∠AMF的平分线，
∴∠AME＝∠AMF，
∴∠MEN＝∠AMF+∠CNE＝×52°+38°＝64°；
同理可得∠MFN＝∠AMF+∠CNE＝52°+×38°＝71°；
（2）∵∠MEN＝∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+∠CNE，
∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，
∴2∠MFN﹣∠MEN＝∠AMF，
∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°，
∴∠AMF＝45°，
∴∠AMF＝30°；
（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，
而∠MEN＝∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+∠CNE，
∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，
∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），
∴∠AMF+∠CNE＝（∠MEN+∠MFN），
∴∠MON＝（∠MEN+∠MFN）．
4．解：（1）过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，
∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE
＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE
＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，
∵∠NEF＝∠AMP，
∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE＝∠AMP，
即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，
∴∠NQE+2∠QNE＝180°，
∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
5．解：OA∥BC，OB∥AC．
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2（等量代换）
∴OB∥AC． （ 同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠ACB＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ACB＝50°，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴OA∥BC．（ 同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；50；同旁内角互补，两直线平行．
6．（1）证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠C（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠C+∠D＝180°（等量代换），
∴BC∥DE（ 同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：B；C；两直线平行，内错角相等；C；同旁内角互补，两直线平行；
（2）证明：∵∠2＝∠3 （ 对顶角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴AB∥CD．（ 同位角相等，两直线平行）；
故答案为：对顶角相等；1；3；AB；CD；同位角相等，两直线平行．
7．证明：∵AG∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠ABE＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠BCF，
即∠CBE＝∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF（ 角平分线的定义），
∴∠CBE＝∠BCF．
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF＝∠F．
∵BE⊥AF，
∴∠BEF＝90°（ 垂直的定义）．
∴∠F＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠CBE；内错角相等，两直线平行；∠BEF；∠BEF；垂直的定义．
8．解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠BED（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠A（已知），
∴∠BED＝∠A（等量代换），
∴AC∥DE（ 同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；A；AC；DE；同位角相等，两直线平行；
（2）FC与BD的位置关系是：FC∥BD．理由如下：
∵AC∥ED（已知），
∴∠2＝∠CGD（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠CGD＝∠3（等量代换），
∴FC∥BD（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：FC∥BD；CGD；两直线平行，内错角相等；CGD；3；FC；BD；内错角相等，两直线平行．
9．解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠2＝90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，∵DG∥EF，
∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG
＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）
＝（90+n）°；
故答案为：（90+n）；
②∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n°＝120°﹣n°，
∵DG∥EF
∴∠1＝∠ABE＝120°﹣n°，
当∠1＝∠2时，120﹣n＝（90+n），
解得n＝；
当∠1＝∠2时，（120﹣n）＝90+n，
解得n＝；
综上所述，n值为或；
（3）当n＝60°时，AB⊥DE （GF）；
当n＝90°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝150°时，AB⊥DG （EF）；
当n＝180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）；
当n＝240°时，AB⊥DE（GF）；
当n＝270°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝330°时，AB⊥DG（EF）．
10．解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠1（ 两直线平行，内错角相等）．
∵CD∥AB（已知），
∴EF∥CD（ 平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（2）∠CED＝α+β，证明如下：
过点E作EF∥AD交CD于点F，如图：
∵EF∥AD，
∴∠DEF＝∠ADE＝α，
∵BC∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE＝β，
∴∠CED＝∠DEF+∠CEF＝α+β；
（3）分三种情况：
（Ⅰ）E在线段BA延长线上，过E作EG∥AD交直线CD于G，如图：
同（2）可证∠BCE＝∠CEG＝β，∠ADE＝∠DEG＝α，
∴∠CED＝∠CEG﹣∠DEG＝β﹣α；
（Ⅱ）E在线段AB上，由（2）知∠CED＝α+β；
（Ⅲ）E在线段AB延长线上，过E作EH∥AD交直线CD于H，如图：
同理可证∠BCE＝∠CEH＝β，∠ADE＝∠DEH＝α，
∴∠CED＝∠DEH﹣∠CEH＝α﹣β；
故答案为：∠CED＝α+β或∠CED＝α﹣β或∠CED＝β﹣α．
11．证明：因为FG∥CD（已知），
所以∠1＝∠2．
又因为∠1＝∠3（已知），
所以∠2＝∠3（等量代换）．
所以BC∥DE（ 内错角相等，两直线平行），
所以∠B+∠BDE＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠2；∠3；DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
12．证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BAC＝∠DCE（ 两直线平行，同位角相等）．
∵∠BAC+∠CDF＝180°（ 已知），
∴∠DCE+∠CDF＝180°（ 等量代换），
∴AE∥DF（ 同旁内角互补，两直线平行）．
13．证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知），
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等），
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知），
∴EF∥AC（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（ 等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；AC；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
14．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 垂直的定义），
∴EF∥AD （ 同位角相等，两直线平行），
∴∠1+∠2＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等），
∴AB∥DG（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （ 两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；∠3；同角的补角相等；AB；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
15．证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥DE（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠CGF＝90°（ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝∠3，
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；∠CGF；两直线平行，同位角相等；∠3；CD；内错角相等，两直线平行．
16．解：（1）∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠ABD+∠CDB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：AB，内错角相等，两直线平行，180°，两直线平行，同旁内角互补；
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知），
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性质），
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；
（3）∵CD⊥EF于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
又∵∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ACD＝125°．（ 两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：AB，CD，125°，两直线平行，同旁内角互补．
17．解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠CDF＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：CDF．
同位角相等，两直线平行．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
18．解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1＝∠ABC（角平分线的定义），
∠2＝∠BCD（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：已知，两直线平行，内错角相等，ABC，BCD，等量代换；
（2）BE∥CF；
由（1）知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
∵∠EBC＝∠ABC﹣∠1，
∠BCF＝∠BCD﹣∠2，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴BE∥CF．
19．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或．
20．解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴CD∥PQ．
∴∠CFP+∠FPQ＝180°
∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，
又∵PQ∥AB，
∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠CFP，
同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝α+∠AEP﹣∠HGE＝α．