2021-2022学年北师大版数学九年级下册3.3垂径定理课时练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版数学九年级下册3.3垂径定理课时练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 663.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 10:32:37 | ||
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文档简介
垂径定理
一、单选题
1．如图，CD为的直径，弦于点E，，，则直径CD的长是（ ）
A．4 B．8 C．26 D．10
2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．9 B．8 C． D．3
3．如图，在⊙O中，AE是直径，连接BE，若AB＝2，于点D，CD=1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，AB是的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM=BM B．CM=DM C． D．
8．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
10．如图，的直径交弦相于点，且若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
12．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关
C．只与，的值有关 D．只与，的值有关
二、填空题
13．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm．
14．如图，在⊙O中，弦AB长为4，圆心与弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为________．
15．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为_____________．
16．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，水面到管道顶部距离为，则修理工应准备内直径是_______的管道．
17．在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是_______cm．
三、解答题
18．如图，在⊙O中，半径弦AB于点C，，若，求OO的半径．
19．如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C和点D．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且⊙O到直线AB的距离为6，求AC的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．
(1)求证：；
(2)若，，求⊙的半径．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
22．如图，为的直径，过点作于点，交于点，．
(1)求证：为的中点；
(2)若圆的半径为6，求弦的长．
23．已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG．
(1)求证：OG⊥MN；
(2)联结AC，AM，CN，当CNOG时，求证：四边形ACNM为矩形．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
解：连接OA，设OA=r，则OE=r﹣1，
∵弦AB⊥CD于E，AB=6，
∴AE=3，
在Rt△AOE中，∵OA=r，AE=3，OE=r﹣1，
∴32+（r﹣1）2=r2，解得r=5，
∴CD=2r=10．
故选D．
2．C
解：如图所示，连接OC，
∵BC⊥OA，
∴∠ADC=∠ODC=90°，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
故选C．
3．B
解：，OC为⊙O的半径，AB＝2，
，
在Rt△AOD中，，
，即 ，
OA=4，
OD=OC-CD=3，
AO=OE，AD=DB，
∴BE=2OD=6，
故选：B．
4．D
解：如图1，连接OA，
OC⊥AB于点C， OB= 5， OC= 3，
BC= ，
AB= ，
AO≤AP≤AB，
5≤AP≤8，
AP的长度不可能是： 9
故选：D
5．C
解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝AC＝2．
故选C．
6．C
解：如图所示，过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，则EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C选项正确,
7．B
解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，，，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
8．C
解：∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误．
故选C．
9．C
解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴．
∴，
故选：C．
10．D
解：过点O作，连接OC，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
11．C
解：∵弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵，
∴四边形OACB是菱形.
12．D
解：如图，连接AD、BE，
∵DE为的弦，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故DE的长只与和的值有关．
故选：D．
13．6
解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，OC==6（cm）．
故答案为：6．
14．45°
解：连接AO，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB＝×4=2，
∵OC=2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC=45°，
故答案为：45°．
15．
解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CD=OD+OE=5+3=8，
在Rt△AED中，AD=，
故答案为．
16．
解：如图，，∵，
∴D为AB的中点，即，
设，，在中，．
则，解得，则直径为．
故答案为：100
17．5
解：如图所示，
设圆的半径为xcm，
∵BC=8cm，DE=2cm，
∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=5．
∴原形工件的半径为5cm．
故答案为：5．
18．9
解：如图，连OA，
∵半径弦AB于点C，
∴C是AB的中点，．
设⊙O的半径为r，
∵，
∴，，
在中由勾股定理可知：，代入数据：
∴，解得，(舍)，
故圆的半径为9．
19．(1)证明见解析 (2)
(1)
过点O作，垂足为E，如图
则CE=DE，AE=BE,
，
即．
(2)
连接OA，OC，如图所示，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
20．(1)见解析 (2)
(1)
证明：
连接，交于点．
是的切线，切点为，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
(2)
解：，过圆心
，
在中，，
，
设的半径为，则，
连接，
在中，，
即，
，
的半径为．
21．（1）6.5米；（2）不能顺利通过，理由见解析
解：（1）如图所示，设圆心为O，连接OC，OB，拱桥的半径r米，
在中，
，
解得米；
（2）当弦长为7.8时，弦心距．
∴此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥．
22．(1)见解析 (2)
(1)
证明；在中，于，
，
，
，
在与中，
，
，
，
是的中点；
(2)
解：圆的半径为6，
，
由勾股定理得：，
，
．
23．(1)证明过程见详解． (2)证明过程见详解．
(1)
证明：如图，连接OM，ON，OB，OD．
∵M，N分别是CB和AD的中点
∴OM⊥CB，ON⊥AD，
∵AD=BC，
∴BM=DN，
在Rt△OMB和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），
∴OM=ON，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），
∴GM=GN，
∵OM=ON，
∴OG⊥MN；
(2)
证明：∵OG⊥MN，CN∥OG，
∴CN⊥MN，
∴∠MNC=90°，
∵GM=GN，
∴∠GMN=∠GNM，
∵∠GMN+∠GCN=90°，∠GNM+∠GNC=90°，
∴∠GCN=∠GNC，
∴GC=GN，
∵CM=CB，AN=AD，BC=AD，
∴CM=AN，
∴AG=CG，
∴AG=GN=CG=GM，
∴四边形AMNC是平行四边形，
∵AN=CM，
∴四边形AMNC是矩形．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，CD为的直径，弦于点E，，，则直径CD的长是（ ）
A．4 B．8 C．26 D．10
2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．9 B．8 C． D．3
3．如图，在⊙O中，AE是直径，连接BE，若AB＝2，于点D，CD=1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，AB是的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM=BM B．CM=DM C． D．
8．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
10．如图，的直径交弦相于点，且若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
12．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关
C．只与，的值有关 D．只与，的值有关
二、填空题
13．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm．
14．如图，在⊙O中，弦AB长为4，圆心与弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为________．
15．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为_____________．
16．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，水面到管道顶部距离为，则修理工应准备内直径是_______的管道．
17．在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是_______cm．
三、解答题
18．如图，在⊙O中，半径弦AB于点C，，若，求OO的半径．
19．如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C和点D．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且⊙O到直线AB的距离为6，求AC的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．
(1)求证：；
(2)若，，求⊙的半径．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
22．如图，为的直径，过点作于点，交于点，．
(1)求证：为的中点；
(2)若圆的半径为6，求弦的长．
23．已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG．
(1)求证：OG⊥MN；
(2)联结AC，AM，CN，当CNOG时，求证：四边形ACNM为矩形．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
解：连接OA，设OA=r，则OE=r﹣1，
∵弦AB⊥CD于E，AB=6，
∴AE=3，
在Rt△AOE中，∵OA=r，AE=3，OE=r﹣1，
∴32+（r﹣1）2=r2，解得r=5，
∴CD=2r=10．
故选D．
2．C
解：如图所示，连接OC，
∵BC⊥OA，
∴∠ADC=∠ODC=90°，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
故选C．
3．B
解：，OC为⊙O的半径，AB＝2，
，
在Rt△AOD中，，
，即 ，
OA=4，
OD=OC-CD=3，
AO=OE，AD=DB，
∴BE=2OD=6，
故选：B．
4．D
解：如图1，连接OA，
OC⊥AB于点C， OB= 5， OC= 3，
BC= ，
AB= ，
AO≤AP≤AB，
5≤AP≤8，
AP的长度不可能是： 9
故选：D
5．C
解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝AC＝2．
故选C．
6．C
解：如图所示，过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，则EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C选项正确,
7．B
解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，，，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
8．C
解：∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误．
故选C．
9．C
解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴．
∴，
故选：C．
10．D
解：过点O作，连接OC，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
11．C
解：∵弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵，
∴四边形OACB是菱形.
12．D
解：如图，连接AD、BE，
∵DE为的弦，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故DE的长只与和的值有关．
故选：D．
13．6
解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，OC==6（cm）．
故答案为：6．
14．45°
解：连接AO，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB＝×4=2，
∵OC=2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC=45°，
故答案为：45°．
15．
解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CD=OD+OE=5+3=8，
在Rt△AED中，AD=，
故答案为．
16．
解：如图，，∵，
∴D为AB的中点，即，
设，，在中，．
则，解得，则直径为．
故答案为：100
17．5
解：如图所示，
设圆的半径为xcm，
∵BC=8cm，DE=2cm，
∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=5．
∴原形工件的半径为5cm．
故答案为：5．
18．9
解：如图，连OA，
∵半径弦AB于点C，
∴C是AB的中点，．
设⊙O的半径为r，
∵，
∴，，
在中由勾股定理可知：，代入数据：
∴，解得，(舍)，
故圆的半径为9．
19．(1)证明见解析 (2)
(1)
过点O作，垂足为E，如图
则CE=DE，AE=BE,
，
即．
(2)
连接OA，OC，如图所示，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
20．(1)见解析 (2)
(1)
证明：
连接，交于点．
是的切线，切点为，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
(2)
解：，过圆心
，
在中，，
，
设的半径为，则，
连接，
在中，，
即，
，
的半径为．
21．（1）6.5米；（2）不能顺利通过，理由见解析
解：（1）如图所示，设圆心为O，连接OC，OB，拱桥的半径r米，
在中，
，
解得米；
（2）当弦长为7.8时，弦心距．
∴此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥．
22．(1)见解析 (2)
(1)
证明；在中，于，
，
，
，
在与中，
，
，
，
是的中点；
(2)
解：圆的半径为6，
，
由勾股定理得：，
，
．
23．(1)证明过程见详解． (2)证明过程见详解．
(1)
证明：如图，连接OM，ON，OB，OD．
∵M，N分别是CB和AD的中点
∴OM⊥CB，ON⊥AD，
∵AD=BC，
∴BM=DN，
在Rt△OMB和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），
∴OM=ON，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），
∴GM=GN，
∵OM=ON，
∴OG⊥MN；
(2)
证明：∵OG⊥MN，CN∥OG，
∴CN⊥MN，
∴∠MNC=90°，
∵GM=GN，
∴∠GMN=∠GNM，
∵∠GMN+∠GCN=90°，∠GNM+∠GNC=90°，
∴∠GCN=∠GNC，
∴GC=GN，
∵CM=CB，AN=AD，BC=AD，
∴CM=AN，
∴AG=CG，
∴AG=GN=CG=GM，
∴四边形AMNC是平行四边形，
∵AN=CM，
∴四边形AMNC是矩形．
答案第1页，共2页