8.2 立体图形的直观图 同步训练——2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

8.2 立体图形的直观图（同步训练）
1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　)
A．90°，90°　 B．45°，90°
C．135°，90°　 D．45°或135°，90°
2.(2021年绵阳模拟)(多选)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(　　)
A　　　　　 B　　　　　 C　　　　　D
3.把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
4.(2021年南宁模拟)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A. 2＋ B. C. D. 1＋
5.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形　　　　B．直角三角形
C．钝角三角形　 D．任意三角形
6.下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是(　　)
A B
C D
7.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为(　　)
A．　　　B．　　 C．5　　　　D．
8.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
9.有一个长为4 cm，宽为3 cm的矩形，则其直观图的面积为________cm2.
10.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________
11.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
12.(2021年河南模拟)已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为_________
13.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________
14.如图所示的是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4，4)，则由斜二测画法画出该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________
15.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为__________________
16.画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．
17.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形OABC的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
18.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积．
参考答案：
1.D　
解析：根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2.CD　
解析：等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．
3.A　
解析：根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示，由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A.
4.A　
解析：画出其相应平面图易求S＝(1＋1＋)×2＝2＋，故选A.
5.C　
解析：将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．故选C.
6.C　
解析：C中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，高变为原来的，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高OC不变，底边AB变为原来的，故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．
7.A　
解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选A.
8.D　
解析：由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.
9.答案：3　
解析：该矩形的面积为S＝4×3＝12(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝3(cm2)．
10.答案：36　
解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
11.答案：矩形，8　
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
12.答案：72　
解析：如图，作出正方形OABC的直观图O′A′B′C′，作C′D′⊥x′轴于点D′.
S直观图＝O′A′×C′D′.又S正方形＝OC×OA.所以＝，
又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝C′D′，
即C′D′＝O′C′，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，
所以＝＝＝2.
又S直观图＝18，所以S正方形＝2×18＝72.
13.答案：4　
解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.
14.答案：　
解析：水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4，4)，由斜二测画法画出的该正方形的直观图如下：由斜二测画法的规则，得O′A′＝OA＝2，O′C′＝OC＝4，∠A′O′C′＝45°，四边形A′B′C′O′是平行四边形，∴顶点B′到x′轴的距离与A′到x轴的距离相等．∴顶点B′到x′轴的距离d＝|O′A′|sin 45°＝2×＝.
15.答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm　
解析：由20 m＝2 000 cm，＝4 cm，同理可得宽、高分别为1 cm、2 cm，四棱锥的高为1.6 cm.在直观图中，宽变为一半，长、高不变．
16.解：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝.连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．
(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.
(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．
17.解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；
在y轴上取OB＝2O′B′＝2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．
由作法可知OABC为平行四边形，OC＝＝＝3(cm)，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8(cm)，面积为S＝1×2＝2(cm2)．
18．解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC.
因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.