8.3 简单几何体的表面积与体积（第二课时）同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

8.3 简单几何体的表面积与体积（第二课时）（同步训练）
1.(2021年长春月考)高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为(　　)
A． B．
C． D．π
2.已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是(　　)
A．4π　 B．32
C．24　　 D．12π
3.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)
A．　　　 B．
C．8π　　 D．
4.把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球半径为(　)
A．　　　　 B．
C．　　　 D．
5.(2021年成都模拟)将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A．2π B．3π
C．4π D．6π
6.有三个球，第一个球可内切于正方体，第二个球可与这个正方体的各条棱相切，第三个球可过这个正方体的各个顶点，这三个球的表面积之比为(　　)
A．1∶∶　　 B．1∶4∶9
C．1∶1∶1　 D．1∶2∶3
7.已知长方体共顶点的三条棱长分别是3，4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上．若这个球的表面积为125π，则x的值为(　　)
A．5　　　 B．6　　　　
C．8　 D．10
8.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为(　　)
A．153π B．160π
C．169π D．360π
9.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　)
A．4∶3 B．3∶1
C．3∶2 D．9∶4
10.若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是(　　)
A．S球＜S圆柱＜S正方体　 　B．S正方体＜S球＜S圆柱
C．S圆柱＜S球＜S正方体　 　D．S球＜S正方体＜S圆柱
11.若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________
12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为________
13.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为________
14.在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________
15.(2021年沈阳月考)已知体积为的正三棱锥V－ABC的外接球的球心为O，满足＋＋＝0，则该三棱锥外接球的体积为________
16.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
17.已知过球面上A，B，C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
18.已知盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中．若取出这两个小球，则水面将下降多少厘米？
19.已知一倒置圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求该圆锥的高；
(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积．
参考答案：
1.B　
解析：根据题意，高为1的圆锥内接于半径为1的球，则圆锥底面圆的半径r＝1，
则该圆锥的体积为×πr2×h＝，故选B.
2.B　
解析：设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝，正方体的表面积S＝6a2＝6×＝32.故选B.
3.C　
解析：设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π＝(R2－1)π＝π.
∴R2＝2.∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
4.C　
解析：设铁球的半径为R，因为πr2h＝πR3，所以R＝.故选C.
5.B　
解析：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.
6.D　
解析：设正方体的棱长为2，则内切球的半径为1，与棱相切的球的半径就是正方体中相对棱的距离的一半，也就是面对角线长的一半为＝，外接球的半径为＝.∵球的表面积S＝4πR2，∴这三个球的表面积之比为4π×1∶4π×2∶4π×3＝1∶2∶3.故选D.
7.D　
解析：设球的半径为r，则4πr2＝125π，∴r2＝.又32＋42＋x2＝(2r)2，∴9＋16＋x2＝125，∴x2＝100，即x＝10.故选D.
8.C　
解析：由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝＝，所以球O的表面积S＝4π×＝169π，故选C.
9.C　
解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.
又∠PCB＝90°，∴CB＝PC＝r，PB＝2r，
∴圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2.
10.A　
解析：设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则
πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π. S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，
＝＝·＝＜1，＝＝·＝＞1.故选A.
11.答案：3　
解析：设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.
12.答案：16π　
解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a.由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.
13.答案：36π　
解析：∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，∴它们的高之比为1∶2，设高分别为h，2h，球的半径为R，则h＋2h＝3h＝2R，∴R＝h.又∵底面边长为4，∴R2＝＝＋(2)2，解得h＝2，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.
14.答案：　
解析：当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，
因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4>侧棱．所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.
15答案：π　
解析：由题意知，＋＝，说明正三角形ABC的顶点在球O的大圆上．
设球的半径为R，则该三棱锥的底面正三角形ABC的高为，△ABC的边长为R，
所以正三棱锥V－ABC的体积为××(R)2×R＝，解得R3＝4，
则该三棱锥外接球的体积为πR3＝π.
16.解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
17.解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．
设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r.
在Rt△O′CO中，由题设知sin ∠O′CO＝＝，所以∠O′CO＝30°，
所以＝cos 30°＝，即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30 r＝15，代入(*)得R＝10.
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10)2＝1 200π.
球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4 000π.
18.解：设取出小球后，容器中的水面下降了h cm，两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)．
该体积等于它们在容器中排开水的体积V＝52×π·h，所以＝π×52×h，解得h＝.
故取出这两个小球，水面将下降 cm.
19.解：(1)设圆锥的高为h cm，底面半径为R cm，母线长为l cm，则h＝＝＝8，
所以圆锥的高为8 cm.
(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为r cm.
易得△OCD∽△ACO1，则＝，即＝，解得r＝3.
圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即
V圆锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为60π cm3.