8.4.1 平面 同步训练-2021-2022学年高一下学期数学 人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

8.4.1 平面（同步训练）
1.已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是(　　)
①A∈a，a α A α；②A∈a，a∈α A∈α；
③A a，a α A α；④A∈a，a α A α.
A．0　　　B．1　　　C．2　 D．3
2.(2021年郑州模拟)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．三角形是平面图形 B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形 D．圆是平面图形
3.若两个平面有三个公共点，则这两个平面(　　)
A．相交　 B．重合
C．相交或重合　　 D．以上都不对
4.(多选)以下命题中错误的是(　　)
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
5.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(　　)
A．0　　　　 B．1
C．0或1　 D．1或3
6.空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中(　　)
A．必有三点共线　　　　　B．必有三点不共线
C．至少有三点共线　　　　D．不可能有三点共线
7.(2021年郴州月考)设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8.(2021年焦作模拟)(多选)如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面 D．B，B1，O，M四点共面
9.设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l
10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
11.已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条
12.如图，若直线l与平面α相交于点O，且A∈l，B∈l，C∈α，D∈α，AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1CC1与平面BDC1的交线是________．
14.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．
求证：直线AD，BD，CD共面．
15.求证：三棱台A1B1C1－ABC三条侧棱延长后相交于一点．
16.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．
17.在四面体ABCD中，作截面PQR.若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.求证：M，N，K三点共线．
18.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
参考答案：
1.A　
解析：①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．故选A.
2.AD　
解析：根据基本事实1可知AD正确，BC错误．故选AD.
3.C　
解析：若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合；若三点不共线，则这两个平面重合．
4.BCD　
解析：对A，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；对B，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；C显然不正确；D不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．故选BCD.
5.D　
解析：当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面．当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．故选D.
6.B　
解析：若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，则可排除D.故选B.
7.A　
解析：由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，可得P1，P2，P3，P4在同一个平面内，故充分条件成立．由过两条平行直线有且只有一个平面可得，当P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2时，P1，P2，P3，P4在同一个平面内，但P1，P2，P3，P4中无三点共线，故必要条件不成立．故选A.
8.ABC　
解析：因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知ABC均正确．
9.答案：∈　
解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
10.答案：5　
解析：由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．
11.答案：1或2或3　
解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线．当β与γ平行时，有2条交线．
12.答案：共线　
解析：∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB β，∴O∈直线CD.∴O，C，D三点共线．
13.答案：C1M　
解析：因为C1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同时M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，所以平面A1CC1与平面BDC1的交线是C1M.
14.证明：因为D l，所以l与D可以确定平面α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α.
同理，BD α，CD α.
所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．
15.证明：如图，延长AA1，BB1. 设AA1∩BB1＝P，
又BB1 平面BC1，∴P∈平面BC1，AA1 平面AC1.
∴P∈平面AC1. ∴P为平面BC1和面AC1的公共点．
又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
16.证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.∴a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．
同理可证c在a，l确定的平面内．
∵过a与l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面于a，l确定的平面．
17.证明：∵M∈PQ，PQ 面PQR，M∈BC，BC 面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点．
即M在平面PQR与平面BCD的交线上．
同理可证N，K也在该交线上．∴M，N，K三点共线．
18.证明：(1)易知EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，E，F四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.
又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点．同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．