苏科版初中数学七年级下册 7.5 多边形的内角和与外角和 同步训练（基础版）
一、单选题
1．（2020七下·福绵期末）已知一个多边形的内角和为720°，则这个多边形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
则这个多边形是六边形.
故答案为：D.
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案.
2．（2021七上·南海期末）一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4条，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个n多边形从某个顶点可引出的对角线条数为（n-3）条，
而题目中从一个顶点引出4条对角线，
∴n-3=4，得到n=7，
∴这个多边形的边数是7．
故答案为：C．
【分析】根据从n边形的一个顶点引出对角线的条数为n-3，即可得出答案。
3．（2021七上·山亭期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2=10，
解得n=12．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出n﹣2=10，再解方程即可。
4．（2021七上·长春期末）下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正七边形 D．正九边形
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正方形的内角和为 ，
∴正方形的每个内角为90°，
而 ，
∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；
B、正五边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
C、正七边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
D、正九边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除360°即可。
5．（2021七下·仁寿期末）如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是（ ）
A．35° B．50° C．65° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中∠BAC=180°-∠CBA-∠ACB＝180°-65°-65°=50°，
又在△BCE中∠BAC=∠ACE+∠AEC=50°，
所以∠AEC=50°-∠ACE＝50°-15°=35°.
故答案为：A.
【分析】在△ABC中，由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在△BCE中，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠BAC=∠ACE+∠AEC可求解.
6．（2021七下·泉州期末）如右图，五边形ABCDE的一个内角∠A =110°，则∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4等于（ ）
A．360° B．290° C．270° D．250°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A =110°
∴∠A的外角度数为180°-110°=70°
由多边形外角和为360°
∴∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4+70°=360°
∴∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=290°
故答案为：B.
【分析】利用多边形的一个内角与它相邻的一个外角的和为180°，可求出∠A的外角度数；利用任意多边形的外角和为360°，可得到∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4的值.
7．如图所示，已知直线 AB∥CD，点E，F分别在直线AB和CD上，EH平分∠AEN，EN//MF，HE∥FN．若∠N=114°，则∠MFH的度数为（ ）
A．48° B．58° C．66° D．68°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】 ∵HE∥FN，
∠MEN=180°-∠N= 180°- 114°= 66°．
∵AB∥CD，
∴∠AEH=∠MHF．
∵EN∥MF，
∴∠MEN=∠HMF= 66°，
又∵EH平分∠AEN，
∴∠AEH=∠MEN=66°，
∴∠MHF=∠HMF=66°，
在三角形MHF中，∠MFH= 180°-66°-66°=48°．
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求出∠MEN的度数；再利用平行线的性质可证得∠AEH=∠MHF，∠MEN=∠HMF= 66°；然后利用角平分线的定义求出∠MFH的度数即可.
8．（2021七上·东平月考）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠C＝46°，∠DAE＝10°，∠B的度数为（ ）
A．66° B．68° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：是边上的高，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角的运算可求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用三角形的内角和求出即可。
9．（2020七下·重庆期末）如图所示，光线L照射到平面镜I上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=55°，∠γ=75°，则∠β为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：
由反射规律可知： ， ， ，
又∵
∴ ，
.
故答案为：D.
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是 求解.
10．（2021七上·龙凤期中）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长ED交BF于C，
∵BA∥DE，
∴∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，
又∵∠FDE是△CDF的外角，
∴∠1=∠FDE-∠DCF=150°-60°=90°，
故答案为：C．
【分析】延长ED交BF于C，根据平行的性质可得∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，再利用三角形的外角的性质可得∠1=∠FDE-∠DCF=150°-60°=90°。
二、填空题
11．（2021七下·楚雄期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝46°，则∠B＝ °．
【答案】44
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝46°，
∴∠B＝90°﹣46°＝44°，
故答案为：44．
【分析】利用三角形的内角和求解即可。
12．（2021七下·南开期末）若直角三角形的一个锐角为 ，则另一个锐角等于 ．
【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵另一个锐角为15°，
∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可。
13．（2021七上·会宁期末）从n边形的一个顶点可以引出2020条对角线，则n的值为
【答案】2023
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：根据题意得：n 3＝2020，
则n＝2023.
故答案为：2023.
【分析】根据从一个多边形的一个顶点发出的对角线有（n-3）条可列方程求解.
14．（2022七下·渠县开学考）已知 中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则这个三角形是 三角形.
【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=20°，∠B=60°∠C=100°，
∵∠C>90°，
∴这个三角形是钝角三角形.
故答案为：钝角.
【分析】根据已知条件结合内角和定理求出∠A、∠B、∠C的度数，据此判断.
15．（2021七下·新洲期末）如图，已知 ， ， ，则 的度数是 .
【答案】30°
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据对顶角相等得出∠BED=∠1=40°，再根据三角形外角性质得出∠EBA=∠2-∠BED，即可得出答案.
16．（2021七上·通榆期末）我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则 °．
【答案】45
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意，∠A=60°，∠C=30°，∠D=∠DBG=45°，∠ABC=∠DGB=∠DGC=90°，
∴∠β=∠DBG+∠C=75°，∠α=∠DGC+∠C=120°，
∴∠α ∠β=120°-75°=45°，
故答案为：45．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠β=∠DBG+∠C=75°，∠α=∠DGC+∠C=120°，再利用∠α ∠β=120°-75°=45°计算即可。
17．（2021七下·嘉祥开学考）如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝ 度，若∠AIB＝155°，则∠C＝ 度.
【答案】125；130
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：连接CI并延长交AB于P，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
当，
，
又的平分线，相交于点I，
，
，
，
故答案为：125；130.
【分析】连接CI并延长交AB于P，易得∠1=∠2，∠3=∠4，则∠1+∠3=(∠CAB+∠CBA)=55°，根据外角的性质得∠7+∠8=∠1+∠5+∠3+∠6=125°，当 ∠AIB＝155°时，根据内角和定理得∠2+∠4=25°，由角平分线的概念可得∠CAP+∠CBP=50°，然后由内角和定理就可求出∠ACB的度数.
18．（2021七下·宛城期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”.例如，三个内角分别为 ， ， 的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形 中， ， ， 是边 上一动点.当 是“和谐三角形”时， 的度数是 .
【答案】30°或52.5°或80°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
①当∠CDA＝3∠C时，∠CDA＝90°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝30°；
②当∠C＝3∠CAD时，
∴∠CAD＝10°，
∴∠DAB＝80°；
③∠CDA＝3∠CAD时，
∴∠CAD＝ ×(180°-30°)=37.5°，
∴∠DAB＝52.5°，
故答案为：30°或52.5°或80°.
【分析】由三角形内角和定理求出∠C的度数；由题意分三种情况讨论：
①当∠CDA＝3∠C时，∠CDA＝90°，②当∠C＝3∠CAD时；③∠CDA＝3∠CAD时，结合“和谐三角形”定义和三角形内角和定理可求解.
三、解答题
19．（2020七下·柳州期末）如图， ， 平分 交 于点 ，且 ，求 的度数.
【答案】解：∵AC∥BD，
∴∠ABE=∠1=64°.
∴∠BAC=180°-∠1=180°-64°=116°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=58°.
∴∠2=∠BAE+∠ABE=58°+64°=122°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠ABE的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数.
20．（2020七下·金昌期末）如图， 中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB交AB于点E，CD是AB边上的高，求：∠DCE的度数
【答案】解：∵∠A=30°，∠B=70°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE=
∵CD是AB边上的高
∴∠BDC=90°
∴∠BCD=90°-∠B =20°
∴∠DCE=∠BCE—∠BCD=40°-20°=20°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】由题意根据三角形内角和以及角平分线的性质与高线的定义进行分析即可得出答案.
21．（2020七下·偃师月考）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°.求∠1的度数.
【答案】解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，
又∵∠1+∠D=∠ABC，
∴∠1=∠ABC-∠D=70°-25°=45°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据三角形的外角性质求出∠1的度数即可.
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【答案】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO=30°
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出
∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°； 根据角平分线定义得出
∠BAO=25°，∠ABO=30° 利用三角形内角和定理得出
∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
23．（2020七上·广饶期中）在△ABC.∠A=35°，∠B=69°， CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB， DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．
【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-69°=21°，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-35°-69°=76°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE= ∠ACB=38°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=38°-21°=17°
∵DP⊥CE，
∴∠DPC=90°，
∴∠CDP=90°-∠DCP=90°-17°=73°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】先由CD⊥AB得到∠BDC=90°，则利用互余计算出∠BCD=90°-∠B=21°，接着根据三角形内角和定理计算出∠ACB=76°，于是利用角平分线的定义得到∠BCE= ∠ACB=38°，所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=17°，然后再利用互余计算∠CDP的度数．
24．（2021七下·西湖期末）如图，∠MON＝50°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B、C不与点O重合），且AB ON，连结AC交射线OE于点D.
（1）求∠ABO的度数；
（2）当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数.
【答案】（1）解：∵∠MON=50°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=25°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=∠BON=25°；
（2）解：当∠BAD=∠ABD时，
∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=25°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=105°；
当∠BAD=∠BDA时，
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=25°，
∴∠BAD=77.5°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=52.5°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得∠AOB=∠BON=25°，利用平行线的性质可得∠ABO=∠BON=25°；
（2） 分两种情况：当∠BAD=∠ABD时；当∠BAD=∠BDA时，分别求解即可.
25．（2021七下·拱墅期末）如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
【答案】（1）解：∵EG平分∠BEF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵FG平分∠EFD，
∴ .
（2）解：∵EG平分∠BEF，EH平分∠AEF，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理，由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ，
可得： ，
∴ ，
所以 ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，从而求出，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得（2）由角平分线的定义可得从而求出∠HEG=，同理求出，利用三角形内角和求出∠G=90°，从而得出，利用平行线的判定即证结论.
26．（2021七下·苏州期末）如图，在四边形 中， 与 互补， 、 分别平分 、 ， 与 相交于点G.
（1） 与 有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：∠1与∠2互余.
∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1= ∠ADC，∠ABE= ∠ABC，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE，
∴∠1+∠2= ∠ADC+ ∠ABC= ×（∠ABC+∠ADC）=90°，
即∠1与∠2互余.
（2）解：由（1）知，∠1+∠2=90°，
∵∠A=108°，∠1=46°，∠A与∠C互补，
∴∠C=180°-∠A=72°，∠2=44°，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE=44°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=44°，
∴∠BEC=180°-44°-72°=64°，
∴∠CEG=64°-44°=20°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）∠1与∠2互余.理由： 由 四边形内角和为360° ，可求出∠ABC+∠ADC=180°，由角平分线的定义可得∠1= ∠ADC，∠ABE= ∠ABC，根据平行线的性质可得∠2=∠ABE，从而得出∠1+∠2= ∠ADC+ ∠ABC= ×（∠ABC+∠ADC）=90°，即得结论；
（2）由∠1+∠2=90°，∠A与∠C互补可求出∠C=72°，∠2=44°，由EG∥AB，可得∠2=∠ABE=44°，由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE=44°，利用三角形内角和可求出∠BEC=180°-∠CBE-∠C=64°，由∠CEG =∠BEC-∠2即可求出结论.
27．（2021七下·武汉开学考）如图1，将线段平移至，使与对应，与对应，连、.
（1）填空：与的关系为 ，与的大小关系为 .
（2）如图2，若，、为的延长线上的点，，平分交于，求.
（3）在（2）中，若，其它条件不变，则 .
【答案】（1）且；
（2）解：∵
∴
又∵
∴
在中，
在中，
∴
又∵平分
∴
∴
∴
∴
∵
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；平移的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵线段平移至，且与对应，与对应
∴且，
∴，
∴
故与的大小关系为相等.
（3）解：由第二问知：
∵
∴
【分析】（1）根据平移的性质可得AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠B+∠BCD=180°，∠D+∠BCD=180°，据此解答；
（2）由平行线的性质可得∠B=∠DCE，由外角的性质可得∠DFE=∠CDF+∠DCF，则∠CDG=∠DFE-∠DCF+∠FDG，根据内角和定理可得∠DEF=180°-2∠DFE，∠DGF=180°-∠FDG-∠DFE，由外角的性质可得∠EDG=∠DGF-∠DEF=∠DFE-∠FDG，根据角平分线的概念可得∠CDG=∠EDG，则∠FDG=∠DCE=∠B，据此求解；
（3）根据（2）可知∠FDG=∠B，据此解答.
28．（2019七下·滦县期末）已知，如图一： 中， 平分 ，CO平分外角 .
（1）①若 ，则 的度数为 .
②若 ，则 的度数为 .
（2）试写出 与 的关系，并加以证明.
（3）解决问题，如图二， 平分 ， 平分 ，依此类推， 平分 ， 平分 ， 平分 ，依此类推， 平分 ，若 ，请根据第（2）间中得到的结论直接写出 的度数为 .
【答案】（1）35°；65°
（2）解：结论：∠O=
理由：∵BO平分 ，CO平分
∴ ，
设∠OBC=x,∠OCD=y,则∠ABC=2x,∠ACD=2y
∴
∵
∴
∴
（3）
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）设 ， ，
①
②
①②可得 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ．（3） ，
由（2）的求解过程，易知：
，
，
，
∴
∴ ．
故答案为 ．
【分析】（1）设 ， ，构建方程组，可得 ．（2）由（1）中过程易证．（3）利用 ，探究规律解决问题即可．
1 / 1苏科版初中数学七年级下册 7.5 多边形的内角和与外角和 同步训练（基础版）
一、单选题
1．（2020七下·福绵期末）已知一个多边形的内角和为720°，则这个多边形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（2021七上·南海期末）一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4条，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2021七上·山亭期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2021七上·长春期末）下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正七边形 D．正九边形
5．（2021七下·仁寿期末）如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是（ ）
A．35° B．50° C．65° D．80°
6．（2021七下·泉州期末）如右图，五边形ABCDE的一个内角∠A =110°，则∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4等于（ ）
A．360° B．290° C．270° D．250°
7．如图所示，已知直线 AB∥CD，点E，F分别在直线AB和CD上，EH平分∠AEN，EN//MF，HE∥FN．若∠N=114°，则∠MFH的度数为（ ）
A．48° B．58° C．66° D．68°
8．（2021七上·东平月考）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠C＝46°，∠DAE＝10°，∠B的度数为（ ）
A．66° B．68° C．50° D．60°
9．（2020七下·重庆期末）如图所示，光线L照射到平面镜I上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=55°，∠γ=75°，则∠β为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．（2021七上·龙凤期中）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021七下·楚雄期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝46°，则∠B＝ °．
12．（2021七下·南开期末）若直角三角形的一个锐角为 ，则另一个锐角等于 ．
13．（2021七上·会宁期末）从n边形的一个顶点可以引出2020条对角线，则n的值为
14．（2022七下·渠县开学考）已知 中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则这个三角形是 三角形.
15．（2021七下·新洲期末）如图，已知 ， ， ，则 的度数是 .
16．（2021七上·通榆期末）我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则 °．
17．（2021七下·嘉祥开学考）如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝ 度，若∠AIB＝155°，则∠C＝ 度.
18．（2021七下·宛城期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”.例如，三个内角分别为 ， ， 的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形 中， ， ， 是边 上一动点.当 是“和谐三角形”时， 的度数是 .
三、解答题
19．（2020七下·柳州期末）如图， ， 平分 交 于点 ，且 ，求 的度数.
20．（2020七下·金昌期末）如图， 中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB交AB于点E，CD是AB边上的高，求：∠DCE的度数
21．（2020七下·偃师月考）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°.求∠1的度数.
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
23．（2020七上·广饶期中）在△ABC.∠A=35°，∠B=69°， CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB， DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．
24．（2021七下·西湖期末）如图，∠MON＝50°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B、C不与点O重合），且AB ON，连结AC交射线OE于点D.
（1）求∠ABO的度数；
（2）当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数.
25．（2021七下·拱墅期末）如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
26．（2021七下·苏州期末）如图，在四边形 中， 与 互补， 、 分别平分 、 ， 与 相交于点G.
（1） 与 有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若 ， ，求 的度数.
27．（2021七下·武汉开学考）如图1，将线段平移至，使与对应，与对应，连、.
（1）填空：与的关系为 ，与的大小关系为 .
（2）如图2，若，、为的延长线上的点，，平分交于，求.
（3）在（2）中，若，其它条件不变，则 .
28．（2019七下·滦县期末）已知，如图一： 中， 平分 ，CO平分外角 .
（1）①若 ，则 的度数为 .
②若 ，则 的度数为 .
（2）试写出 与 的关系，并加以证明.
（3）解决问题，如图二， 平分 ， 平分 ，依此类推， 平分 ， 平分 ， 平分 ，依此类推， 平分 ，若 ，请根据第（2）间中得到的结论直接写出 的度数为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
则这个多边形是六边形.
故答案为：D.
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个n多边形从某个顶点可引出的对角线条数为（n-3）条，
而题目中从一个顶点引出4条对角线，
∴n-3=4，得到n=7，
∴这个多边形的边数是7．
故答案为：C．
【分析】根据从n边形的一个顶点引出对角线的条数为n-3，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2=10，
解得n=12．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出n﹣2=10，再解方程即可。
4．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正方形的内角和为 ，
∴正方形的每个内角为90°，
而 ，
∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；
B、正五边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
C、正七边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
D、正九边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除360°即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中∠BAC=180°-∠CBA-∠ACB＝180°-65°-65°=50°，
又在△BCE中∠BAC=∠ACE+∠AEC=50°，
所以∠AEC=50°-∠ACE＝50°-15°=35°.
故答案为：A.
【分析】在△ABC中，由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在△BCE中，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠BAC=∠ACE+∠AEC可求解.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A =110°
∴∠A的外角度数为180°-110°=70°
由多边形外角和为360°
∴∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4+70°=360°
∴∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=290°
故答案为：B.
【分析】利用多边形的一个内角与它相邻的一个外角的和为180°，可求出∠A的外角度数；利用任意多边形的外角和为360°，可得到∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4的值.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】 ∵HE∥FN，
∠MEN=180°-∠N= 180°- 114°= 66°．
∵AB∥CD，
∴∠AEH=∠MHF．
∵EN∥MF，
∴∠MEN=∠HMF= 66°，
又∵EH平分∠AEN，
∴∠AEH=∠MEN=66°，
∴∠MHF=∠HMF=66°，
在三角形MHF中，∠MFH= 180°-66°-66°=48°．
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求出∠MEN的度数；再利用平行线的性质可证得∠AEH=∠MHF，∠MEN=∠HMF= 66°；然后利用角平分线的定义求出∠MFH的度数即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：是边上的高，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角的运算可求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用三角形的内角和求出即可。
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：
由反射规律可知： ， ， ，
又∵
∴ ，
.
故答案为：D.
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是 求解.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长ED交BF于C，
∵BA∥DE，
∴∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，
又∵∠FDE是△CDF的外角，
∴∠1=∠FDE-∠DCF=150°-60°=90°，
故答案为：C．
【分析】延长ED交BF于C，根据平行的性质可得∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，再利用三角形的外角的性质可得∠1=∠FDE-∠DCF=150°-60°=90°。
11．【答案】44
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝46°，
∴∠B＝90°﹣46°＝44°，
故答案为：44．
【分析】利用三角形的内角和求解即可。
12．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵另一个锐角为15°，
∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可。
13．【答案】2023
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：根据题意得：n 3＝2020，
则n＝2023.
故答案为：2023.
【分析】根据从一个多边形的一个顶点发出的对角线有（n-3）条可列方程求解.
14．【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=20°，∠B=60°∠C=100°，
∵∠C>90°，
∴这个三角形是钝角三角形.
故答案为：钝角.
【分析】根据已知条件结合内角和定理求出∠A、∠B、∠C的度数，据此判断.
15．【答案】30°
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据对顶角相等得出∠BED=∠1=40°，再根据三角形外角性质得出∠EBA=∠2-∠BED，即可得出答案.
16．【答案】45
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意，∠A=60°，∠C=30°，∠D=∠DBG=45°，∠ABC=∠DGB=∠DGC=90°，
∴∠β=∠DBG+∠C=75°，∠α=∠DGC+∠C=120°，
∴∠α ∠β=120°-75°=45°，
故答案为：45．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠β=∠DBG+∠C=75°，∠α=∠DGC+∠C=120°，再利用∠α ∠β=120°-75°=45°计算即可。
17．【答案】125；130
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：连接CI并延长交AB于P，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
当，
，
又的平分线，相交于点I，
，
，
，
故答案为：125；130.
【分析】连接CI并延长交AB于P，易得∠1=∠2，∠3=∠4，则∠1+∠3=(∠CAB+∠CBA)=55°，根据外角的性质得∠7+∠8=∠1+∠5+∠3+∠6=125°，当 ∠AIB＝155°时，根据内角和定理得∠2+∠4=25°，由角平分线的概念可得∠CAP+∠CBP=50°，然后由内角和定理就可求出∠ACB的度数.
18．【答案】30°或52.5°或80°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
①当∠CDA＝3∠C时，∠CDA＝90°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝30°；
②当∠C＝3∠CAD时，
∴∠CAD＝10°，
∴∠DAB＝80°；
③∠CDA＝3∠CAD时，
∴∠CAD＝ ×(180°-30°)=37.5°，
∴∠DAB＝52.5°，
故答案为：30°或52.5°或80°.
【分析】由三角形内角和定理求出∠C的度数；由题意分三种情况讨论：
①当∠CDA＝3∠C时，∠CDA＝90°，②当∠C＝3∠CAD时；③∠CDA＝3∠CAD时，结合“和谐三角形”定义和三角形内角和定理可求解.
19．【答案】解：∵AC∥BD，
∴∠ABE=∠1=64°.
∴∠BAC=180°-∠1=180°-64°=116°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=58°.
∴∠2=∠BAE+∠ABE=58°+64°=122°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠ABE的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数.
20．【答案】解：∵∠A=30°，∠B=70°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE=
∵CD是AB边上的高
∴∠BDC=90°
∴∠BCD=90°-∠B =20°
∴∠DCE=∠BCE—∠BCD=40°-20°=20°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】由题意根据三角形内角和以及角平分线的性质与高线的定义进行分析即可得出答案.
21．【答案】解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，
又∵∠1+∠D=∠ABC，
∴∠1=∠ABC-∠D=70°-25°=45°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据三角形的外角性质求出∠1的度数即可.
22．【答案】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO=30°
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出
∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°； 根据角平分线定义得出
∠BAO=25°，∠ABO=30° 利用三角形内角和定理得出
∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
23．【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-69°=21°，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-35°-69°=76°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE= ∠ACB=38°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=38°-21°=17°
∵DP⊥CE，
∴∠DPC=90°，
∴∠CDP=90°-∠DCP=90°-17°=73°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】先由CD⊥AB得到∠BDC=90°，则利用互余计算出∠BCD=90°-∠B=21°，接着根据三角形内角和定理计算出∠ACB=76°，于是利用角平分线的定义得到∠BCE= ∠ACB=38°，所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=17°，然后再利用互余计算∠CDP的度数．
24．【答案】（1）解：∵∠MON=50°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=25°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=∠BON=25°；
（2）解：当∠BAD=∠ABD时，
∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=25°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=105°；
当∠BAD=∠BDA时，
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=25°，
∴∠BAD=77.5°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=52.5°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得∠AOB=∠BON=25°，利用平行线的性质可得∠ABO=∠BON=25°；
（2） 分两种情况：当∠BAD=∠ABD时；当∠BAD=∠BDA时，分别求解即可.
25．【答案】（1）解：∵EG平分∠BEF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵FG平分∠EFD，
∴ .
（2）解：∵EG平分∠BEF，EH平分∠AEF，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理，由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ，
可得： ，
∴ ，
所以 ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，从而求出，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得（2）由角平分线的定义可得从而求出∠HEG=，同理求出，利用三角形内角和求出∠G=90°，从而得出，利用平行线的判定即证结论.
26．【答案】（1）解：∠1与∠2互余.
∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1= ∠ADC，∠ABE= ∠ABC，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE，
∴∠1+∠2= ∠ADC+ ∠ABC= ×（∠ABC+∠ADC）=90°，
即∠1与∠2互余.
（2）解：由（1）知，∠1+∠2=90°，
∵∠A=108°，∠1=46°，∠A与∠C互补，
∴∠C=180°-∠A=72°，∠2=44°，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE=44°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=44°，
∴∠BEC=180°-44°-72°=64°，
∴∠CEG=64°-44°=20°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）∠1与∠2互余.理由： 由 四边形内角和为360° ，可求出∠ABC+∠ADC=180°，由角平分线的定义可得∠1= ∠ADC，∠ABE= ∠ABC，根据平行线的性质可得∠2=∠ABE，从而得出∠1+∠2= ∠ADC+ ∠ABC= ×（∠ABC+∠ADC）=90°，即得结论；
（2）由∠1+∠2=90°，∠A与∠C互补可求出∠C=72°，∠2=44°，由EG∥AB，可得∠2=∠ABE=44°，由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE=44°，利用三角形内角和可求出∠BEC=180°-∠CBE-∠C=64°，由∠CEG =∠BEC-∠2即可求出结论.
27．【答案】（1）且；
（2）解：∵
∴
又∵
∴
在中，
在中，
∴
又∵平分
∴
∴
∴
∴
∵
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；平移的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵线段平移至，且与对应，与对应
∴且，
∴，
∴
故与的大小关系为相等.
（3）解：由第二问知：
∵
∴
【分析】（1）根据平移的性质可得AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠B+∠BCD=180°，∠D+∠BCD=180°，据此解答；
（2）由平行线的性质可得∠B=∠DCE，由外角的性质可得∠DFE=∠CDF+∠DCF，则∠CDG=∠DFE-∠DCF+∠FDG，根据内角和定理可得∠DEF=180°-2∠DFE，∠DGF=180°-∠FDG-∠DFE，由外角的性质可得∠EDG=∠DGF-∠DEF=∠DFE-∠FDG，根据角平分线的概念可得∠CDG=∠EDG，则∠FDG=∠DCE=∠B，据此求解；
（3）根据（2）可知∠FDG=∠B，据此解答.
28．【答案】（1）35°；65°
（2）解：结论：∠O=
理由：∵BO平分 ，CO平分
∴ ，
设∠OBC=x,∠OCD=y,则∠ABC=2x,∠ACD=2y
∴
∵
∴
∴
（3）
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）设 ， ，
①
②
①②可得 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ．（3） ，
由（2）的求解过程，易知：
，
，
，
∴
∴ ．
故答案为 ．
【分析】（1）设 ， ，构建方程组，可得 ．（2）由（1）中过程易证．（3）利用 ，探究规律解决问题即可．
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