2022年北师大版初中数学九年级下册 教案【255页】
文档属性
| 名称 | 2022年北师大版初中数学九年级下册 教案【255页】 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 9.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 15:47:02 | ||
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文档简介
2022年北师大版初中数学九年级下册教案【255页】
第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起（一）
广东省深圳市翠园中学 邹荧桢
一、学生知识状况分析
本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角三角形三边的关系来判断。
二、教学任务分析
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
过程与方法：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感态度与价值观：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、统计图的选择、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 生活情景（获取信息，体会特点）
活动内容：从生活实践开始，让学生思考如何测量一座古塔的高度，
并回答以下问题：
１在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗？
２猜一猜,这座古塔有多高
３想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得
∠2的大小,根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？
活动目的：让学生初步从生活中去体会利用直角三角形的边角关系，可以知道一边和一个锐角,求出其它的边和角，并通过测古塔高度这一实验，让学生初步感受到倾斜程度在生活中的应用。
实际教学效果：学生能理解小明测古塔的方法，并能初步感受到倾斜程度在生活中的应用，生动的课堂引入让学生很快进入了求知的状态。
第二环节 同类问题的多种分析，课题引入
活动内容：
1、分析４位同学的四个相同的问题，让学生学习探索梯子的倾斜程度。
问题：下列４个图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
２、引出思考：
直角三角形的边与角的关系
1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
３如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢
４由此你得出什么结论
活动目的：让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。并让他们从实例中发现不同情况中对比梯子的倾斜程度需要除了观察还需要更多其他方法。
实际教学效果：学生经过前一环节对测量古塔的高度一例已经有了对梯子倾斜度的初步认识，对与上面4个图，学生可以很快分辨出图1和图4中梯子的倾斜程度，但是对于两条直角边长度都不一致的图2图3感到难度，并且发现需要利用其他新的知识来认识梯子的倾斜程度，这也就很自然地引入了本节课的知识点：正切值。
第四环节 课题重点
活动内容：
正切的定义
（1）明确各边的名称。
（2）。
（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
（4）tanA的值越大，梯子AB越陡；∠A越大,梯子AB越陡。
活动目的：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
实际教学效果：
学生经历了观察、探索等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。通过上面的例子体验了数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系。
第五环节 练习与提高
活动内容： １例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
２如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6， ，求BC、AB的长。
３、如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.
活动目的：让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。学生能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。
实际教学效果：以上３个例题都比较基础，并且层层深入，其中第３题，学生需要做辅助线，加深学生对正切的理解，正切的前提必须是一个直角三角形。
第六环节 小结与拓展
活动内容：师生互相交流总结本堂课所学的知识点
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），让学生能正确阐述对正切、倾斜程度、坡度等数学意义的理解。
实际教学效果：学生能畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对各知识点掌握透彻。
第七环节 布置作业
作业：书本 P 6 随堂练习： 1、2 ； 习题1.1 1、2
四、教学反思
通过本节课的学习，学生能运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。但是课堂上学生的参与还不足，学生的积极回答还有待进一步提高。
第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起（二）
广东省深圳市翠园中学 李秀英
一、学生知识状况分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，由于学生在前一节课学习过有关正切的知识，但对于直角三角形只能停留在两直角边之间的关系，那么，直角三角形中斜边与直角边之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系。
二、教学任务分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，是通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的直角边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的。在试验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.
在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视试验的作用。鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证试验结果的合理性。
本节课教学目标如下：
教学目标：
（一）教学知识点：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中斜边与直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
(二)能力训练要求：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
(三)情感与价值观要求：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：
理解正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正弦、余弦的数学意义，并用它来表示两边的比.
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节 创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节： 布置作业。
第一环节 创设情境
（1）我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数。即：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,
当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗 今天这节课，我们就来学习第九册（下）第一章：直角三角形的边角关系：正弦与余弦。
（2）上节课，我们研究了“陡”这个字，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”，是与梯顶、 梯脚到墙角的距离比有关的。下面请同学们模拟实验，是否还与梯长与梯顶或梯脚到墙角的距离比有关呢？
第二环节 探求新知
1、摆一摆
请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子：
（1）首先，把两架梯子摆在同一面墙上，使其中一架梯子比较陡。
（2）我们在摆的过程中，要仔细观察，认真思考，探索一下，要想把一个
梯子摆得陡一些，除了与倾斜角的大小有关之外，还与那些因素有关呢？
（3）通过观察，我们可以得到：要想把一个梯子摆得陡一些，与梯子的对边与邻边有关。那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢？为了探索这个一般规律，请同学们接着来摆梯子，使其中一架梯子比较陡。这一次，我们要边摆，边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边，并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值，之后每组填好实验报告。（展示数据及结论）
（4）实验结论：梯子越陡，倾斜角的对边与斜边的比值越大，邻边与斜边的比值越小。
2、想一想：
上节课，我们研究了：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，我们可以用一种巧妙的方法得到梯子的倾斜程度：在梯子上任选一点B1，、B2，
如图1-3，通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；也可通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。在这里，我们能否类似的研究呢？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2）和有什么关系？和有什么关系？
（3）如果改变梯子的位置呢？ 由此你得出什么结论？
3、有关的概念
在Rt △ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。记作sinA.
∠A的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A的余弦。记作cosA.
注意的问题：
（1）sinA,cosA中常省去角的符号“∠”。
（2）sinA,cosA没有单位，它表示一个比值。
（3）sinA,cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”。
（4）在初中阶段，sinA,cosA中,∠A是一个锐角。
4、议一议：
梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：
梯子AB越陡，sinA的值越大 , cosA的值越小
5、例题分析：
例1：如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.
（老师期望:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗 ）
例2．如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10，cosA=，求:AB,sinB
（老师期望:注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系 ）
第三环节 随堂练习
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB
（老师提示:过点A作AD垂直于BC于D. ）
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,sinA=，求:△ABC的周长
3.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB. SinB=( )=( )=( )
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
（老师提示:模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.）
7.如图,分别根据下面两图，求出∠A的三个三角函数值.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3,AB=6,求sinA和cosB
(老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.)
9．在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.
10.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18
求:sinB,cosB,tanB.
（老师提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.）
第四环节 小结
1.锐角三角函数定义:
①sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
②sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
③sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
④sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
⑤角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
2．请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系
第五环节 体会
数学中的某些定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏极深.
——高斯
第六环节 作业
1.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
2.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.
求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
四、教学反思
由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程。
第一章 直角三角形的边角关系
2. 30°、45°、60°角的三角函数值
广东省深圳市翠园中学 黎安丽
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1．历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算
3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
过程与方法：
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
情感态度与价值观：
1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
教学难点：三角函数值的应用
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、小结与拓展、作业布置。
第一环节 复习巩固
活动内容：如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
B （1）a、b、c三者之间的关系是 ，
∠A+∠B= 。
c a （2）sinA= ，cosA= ，
A b C
tanA= 。
sinB= ，cosB= ，tanB= 。
（3）若A=30°，则= 。
活动目的：复习巩固上一节课的内容
第二环节 活动探究
活动内容：
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗
活动目的：引出课题，激发学生的学习积极性
第三环节 讲解新课
活动内容：探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
② sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
③cos30°等于多少 tan30°呢
学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值
2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
3．请学生完成下表
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
（1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
（2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑
a随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。
b若对于锐角有sin=,则= .
4.例题讲解(多媒体演示),
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
活动目的：探索30°、45°、60°角的三角函数值，并能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
第四环节 知识运用
活动内容：1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
第五环节 小结与拓展
活动内容：1）直角三角形三边的关系.
2）直角三角形两锐角的关系.
3）直角三角形边与角之间的关系.
4）特殊角30°、45°、60°角的三角函数值.
5）互余两角之间的三角函数关系.
6）同角之间的三角函数关系
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想
第六环节 作业布置
1．在 Rt△ABC中，∠C=90°。
（1）若∠A=30°，则sinA= ，cosA= ，tanA= 。
（2）若sinA=，则∠A= ，∠B= 。
（3）若tanA=1，则∠A= 。
2．在 △ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则tanA＝
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则∠C =
4．计算
(1)3sin60°-cos30°
(2)sin30°tan60°
(3)2sin30°-3tan45°+4cos60°
5．如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A（∠ACB=90°），测得∠CAB=45°。问河宽是多少？
B
C A
四、教学反思
三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力。另外通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（一）
广东省深圳市东湖中学 李观上 王义平
一、学生知识状况分析
1、本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上尝试了用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用推导了30°，45°，60°的三角函数值。
2、学生已经学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除及平方运算，对科学计算器的功能及使用方法有了初步的了解。
二、教学任务分析
随着学习的进一步深入，例如解决测量类的应用问题,面临两个必须解决的问题：一是一般角的三角函数值如何计算？二是已知一个三角函数值，怎样求对应的角度？
为此，本节第一课时学习用计算器计算sinα、cosα、tanα的值，第二课时，学习在已知三角函数值时求相应的角度。解决这两个问题实际上就解决了具体计算上的困难，而且使解应用题成为可能，与此同时，掌握了用科学计算器求角度，使学生对三角函数的意义，对于理解sinα、cosα、tanα的值∠α之间函数关系有了更深刻的认识。
根据学生的起点和课程标准的要求，本节课的教学目标和任务是：
(一)知识与技能
1.会使用计算器由已知锐角求三角函数值.
2.沟通问题的已知与未知事项，进而运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
(二)过程与方法
1.通过运用计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的意义.
2.在具体的情境中，用三角函数刻画事物的相互关系.
3．在求上升高度、水平移动的距离的过程中发现并提出数学问题。
4．运用三角函数方法，借助于图形或式子清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。
（三）情感态度与价值观
体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，增强对数学方法（三角方法）科学性、完美性的认识。
教学重点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题
教学难点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、探索新知、随堂练习、活动与探究课堂小结、布置作业、。
第一环节 情境引入
活动内容：
用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题，感知问题中已知条件和未知事项。
[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少
在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC.
根据正弦的定义，sin16°=,
∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°(米).
活动目的：由实际问题引出利用三角函数计算的必要性；为了计算缆车垂直上升的距离，需要求出16°角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数的计算问题。
实际教学效果：因为问题情境贴近学生的生活，所以学生参与活动的热情很高。学生能根据之前所学的三角函数的定义得出BC、AB、sin16°三者的关系，而这里的sin16°学生不知道怎样计算，由此感受到学习新知识的需要，产生探索的欲望。
第二环节 探索新知
活动内容：
200sin16°米中的“sin16°”是多少呢 我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.
对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎么办？我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢
1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.
用科学计算器求三角函数值，要用到和键.例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.(多媒体演示)
按键顺序 显示结果
sin16° sin16°=0.275637355
cos42° cos42°=0.743144825
tan85° tan85=11.4300523
sin72°38′25″ sin72°38′25″=0.954450312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.
(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)
用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.
用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m).
2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.
多媒体演示本节开始的问题：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么
学生思考后，有如下几种解决方案：
方案一：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.
方案二：可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离.
用计算器辅助计算出结果
（1）在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米).
（2）由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米).
（3）在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米).
在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×0.7431=148.63(米).
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米).
活动目的：引导学生利用计算器探索计算三角函数值的具体步骤；让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识；让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角函数值的过程。
实际教学效果：学生学会了利用计算器探索计算三角函数值，并解决含有三角函数值计算的实际问题，在小组活动的过程中，学生能积极地参与小组交流、讨论，表现出较高的思维水平和语言表达能力，更感受到科学的方法与科学计算工具结合所产生的独特魅力。
第三环节 随堂练习
活动内容：
下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示).
1、用计算器求下列各式的值。
(1)sin56°；(2)sin15°49′；
(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°.
(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)
答案：(1)sin56°≈0.8290；
(2)sin15°49′≈0.2726；
(3)cos20°≈0.9397；
(4)tan29°≈0.5543；
(5)tan44°59′59″≈1.0000；
(6)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.
2、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)；
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°
=100×
=50(m).
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).
3、求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56°
≈20×1.4826
＝29.652(m)；
在Rt△CBA中，CB=ABtan50°
=20×1.1918
=23.836(m).
所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).
活动目的：进一步加深对新知识的理解和应用，并在练习探究中相互交流，取长补短，优化解决问题策略，激发学生创新思维灵感性。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，正确使用计算器求出三角函数的值，熟练程度比之前有所提高；绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题，进一步体会了三角函数与现实生活的联系，感受数学来源于生活，又服务于生活，应用意识得以提高。
第四环节 活动与探究
活动内容：拓展创新演练：
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，
房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个
水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度.
(结果精确到0.01 m)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线应沿CB射入.所以在Rt△ABC中，AB＝1.8 m，∠ACB＝80°.求AC的长度.
[结果]因为tan80°＝＝0.317≈0.32(米).
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.
活动目的：通过解决现实问题，拓展知识与应用的空间，进一步加深对新知识的理解和运用。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题。不要求每一个学生都能顺利画图、转化，但可以通过做得好的学生帮助不会的学生解决这一问题。
第五环节 课堂小结
活动内容：谈一谈：这节课你学习掌握了哪些新知识？通过这节课的学习你有哪些收获和感想？
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，从数学方法、数学思维与科学工具等方面谈自己的收获与感想。
实际教学效果：学生畅所欲言谈自己的学习感受和实际收获： 学会了运用计算器计算已知锐角的三角函数值；运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题；三角函数的有关知识与现实生活有密切的联系。进一步认识数学方法、数学思维与科学工具的功能，增强在解决问题的过程中综合运用三个方面解决问题的意识。
第六环节 布置作业
习题1.4的第1、2题
四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维方法。
（2）以现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大多数学生发挥主体作用。
第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（二）
广东省深圳市东湖中学 胡党华 王义平
一、学生知识状况分析
1．本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用定义法推导了300，450，600的三角函数值。
2．在计算器的使用上，学生学习了用计算器进行实数加减乘除及平方开方运算，上节 课学习了用计算器求已知角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解。有上述知识技能作基础为学生进一步学习“已知三角函数值求角度”创造了必要条件。
二、教学任务分析
在三角函数中，非特殊角的求法，全部用定义求是不现实的，这就需要借助科学计算器，那么怎样使用科学计算器解决相应的实际问题，对这一问题的预期，就构成本节课的教学目的与任务。下面从三个方面来具体分析：
（一）知识与技能
1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义。
2、能够利用计算器进行有关三角函数值的计算。
3、能够运用计算器辅助解决含三角函数值以及角度计算的实际问题。
（二）过程与方法
1、借助计算器解决含三角函数值计算的实际问题，提高解题效率，提高用现代工具解决实际问题的能力。
2、发现实际问题中的边角关系，并运用三角函数定义解决有关计算问题，在解决简单的应用题基础上体会三角函数方法独特意义，感受三角函数值随角度变化而连续变化的过程。
（三）情感与态度
1、主动参与数学活动，从中体会解决问题的乐趣。
2、形成实事求是的、严谨的学习态度。
教学难点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小
教学重点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小
三、教学过程分析
本节课总共设计了八个教学环节：第一环节 问题引入；第二环节 寻求方法；第三环节 练习巩固；第四环节 解决问题；第五环节 拓展重建；第六环节 自测评价；第七环节 课堂小结；第八环节 布置作业。
第一环节 问题引入
活动内容：（出示问题，感受问题）
随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少 (如下图所示)
活动目的：通过上例创设问题情境，激发学习兴趣，学生要解决这个问题必须先求
sinA＝，再求∠A，把这个问题归结为“已知三角函数值求相应锐角的大小”。
实际教学效果：学生的求知欲被激发起来，思维处于活跃状态，每个同学都积极探索解决这个实际问题的办法与途径。
第二环节 寻求方法
活动内容：练习掌握已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。
例如： ①已知sinA＝0.9816，求锐角A。
②已知cosA＝0.8607，求锐角A。
③已知tanA＝0.1890，求锐角A。
④已知tanA＝56.78，求锐角A。
按键顺序如下表:
按键顺序 显示结果
sinA=0.9816 sin-10.9816=78.99184039
cosA=0.8607 cos-10.8607=30.60473007
tanA=0.1890 tan-10.1890=10.70265749
tanA=56.78 tan-156.78=88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的。再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果。
第一环节的引例中sinA=＝0.25。按键顺序为 ，
显示结果为sin-10.25=14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″,所以
∠A=14°28′39″。（以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，结果精确到1″即可。）
(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤。)
活动目的：前一节课已经学习如何利用科学计算器求已知角的三角函数值，通过本环节学习，使学生掌握如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐角的大小，即已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。此外，通过这一环节促进学生的可逆性联想。
实际教学效果：学生能够利用科学计算器由已知锐角三角函数值反过来求相应的锐角的大小，并从中体会用科学计算器解决问题的优势，体会了三角函数值和对应角度的对应关系。
第三环节 练习巩固
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ＝0.3957；
(3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972；
(5)sinθ＝； (6)cosθ＝ 。
2.一辆汽车沿着一山坡行驶了150米，其铅直高度上升了25米，求山坡与水平面所成锐角的大小？
(请同学们完成后，在小组内讨论、交流。教师巡视，对有困难的学生给予及时指导。)
参考答案如下：
1.解：(1)∠θ＝71°30′2″； (2) ∠θ＝23°18′35″；
(3) ∠θ＝38°16′46″； (4) ∠θ＝41°53′54″；
(5) ∠θ＝30°； (6) ∠θ=45°。
2.解：设山坡与水平面所成锐角为α，
根据题意得sinα＝=，
∴∠α＝9°35′39″。
所以山坡与水平面所成锐角为9°35′39″。
活动目的：通过上面的练习，使学生通过亲手操作掌握利用计算器由已知锐角三角函数
值求相应锐角大小的方法，并能进行不同角度单位之间的转换。
实际教学效果：学生能够正确使用计算器解决已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的
问题（包括函数值为无理数的情形）。
第四环节 解决问题
活动内容：（引导学生利用计算器求解下面的实际问题）
[例1]如图，工件上有一V形槽,测得它的上口
宽20 mm，深19.2mm，求V形角(∠ACB)的大小？
(结果精确到1°)
[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一
肿瘤。在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗
效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。
已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧
9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角？
注：这两例都是实际应用问题，需要求角度且角度不易测量，这时我们可以根
据直角三角形的边角关系，用计算器计算出角度，使实际问题得到解决。
活动目的：使学生能运用三角函数解决应用题中的计算问题，把现实问题转化为三角函数的计算问题，并使学生从中了解到三角函数能有效地解决医学等领域的现实问题。
实际教学效果：学生能把实际问题转化数学问题，用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题，具体解题步骤如下：
[例1] 解：∵tan∠ACD=≈0.5208
∴∠ACD≈27.5°
∴∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°。
[例2] 解：如图，在Rt△ABC中，
AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm，
∴tanB=≈0.6429。
∴∠B≈32°44′13″。
因此，射线与皮肤的夹角约为32°44′13″。
第五环节 拓展重建
活动内容：（归纳解直角三角形的基本知识系统）
1、解直角三角形的基本理论依据：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c。
(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)角的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ，sinB＝，cosB＝，tanB= 。
2、由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，然后运用直角三角形中元素之间的关系，通过计算，使实际问题都得到解决。
活动目的：通过归纳提炼，把本节的知识纳入解三角形的系统中考虑，更好地掌握知识之间的联系，从而更好地掌握解决问题的方法与策略。
实际教学效果：把实际问题转化为解直角三角形的问题，使问题得到解决。
第六环节 自测评价
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.已知sinθ＝0.82904，求锐角θ的大小？
解：∠θ≈56°1″
2.一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角？
解：如右图。
∵cosα＝＝0.625
∴∠α≈51°19′4″。
所以梯子与地面所成的锐角约为51°19′4″。
活动目的：通过学生独立完成，以进一步提高学生由三角函数值求角度的技能，从操作、分析、表达、反思几方面评价学生知识能力目标达成情况。
实际教学效果：通过自测评价矫正学习中的缺失，不断优化解决此类问题的方法，学生的转化意识和解决实际问题的能力得到进一步的提高。
第七环节 课堂小结
活动内容：（师生共同小结）
本节课我们学习了利用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程；进一步体会三角函数的意义；并且利用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
活动目的：让学生一起参与归纳本堂课的知识点以及重点、难点，让学生自己参与学习，自己探寻方法，自己去解决问题，使学生的主体地位得以充分发挥。
实际教学效果：学生掌握了本节课的全部内容，会利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，进一步提高了分析问题、解决问题的能力。
第八环节 布置作业
1、必做题：课本P20页 习题1.5 第2、3题
2、选做题：
如图,为某小区的两幢10层住宅楼,由地面向上依次为第1层、第2层、……、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m。现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况。假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼上的影子长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α。
（1） 用含α的式子表示h；
（2） 当α=30o时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每时增加10o，多久后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光？
四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的建模能力及转化思想。
（2）将现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
（3）为了满足不同层次同学们的需要，布置作业时采用必做题与选做题相结合的方法，对成绩一般的同学只需完成必做题即可，而对学有余力的同学则要求必须同时完成必做题和选做题。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大
多数学生发挥主体作用。
第一章 直角三角形的边角关系
4.船有触礁的危险吗
广东省深圳市罗湖外语学校 刘芳亚
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经知道直角三角形三角关系(两锐角互余),三边关系(勾股定理)既边角关系(锐角三角函数).
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对直角三角形的认识，提出了本课的具体学习任务：利用锐角三角函数知识解决船有触礁的危险吗等实际问题。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“三角学”这一数学学习领域，因而务必服务于三角学教学的远期目标：“三角函数的性质及其应用”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,发展数学应用意识和解决问题的能力.
过程与方法
1．经历探索船是否有触礁的危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2．通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生用数学知识分析问题、解决问题的良好习惯。
情感态度与价值观
让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
教学重点：能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算
教学难点：能够把实际问题转化为数学问题
三、教学过程分析
本节课设计了四个教学环节：
第一环节：知识准备
第二环节：实际应用（船有触礁的危险吗、古塔有多高、楼梯加长了多少、钢缆有多长、大坝中的数学计算、利用三角函数值求锐角）
第三环节：课堂小结
第四环节：布置作业
第一环节 知识准备
复习回顾：
1． 直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？
2． 30°、45°、60°角的三角函数值是多少？
第二环节 实际应用
1．船有触礁的危险吗
海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则
2。古塔有多高
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
：
解:如图,由题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
3．楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.
4．钢缆有多长
一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少 (结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
5．大坝中的数学计算
水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
解: (1)如图,求坡角∠ABC的大小，过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
6．利用三角函数值求锐角
活动内容：填表——由锐角的三角函数值反求锐角
第三环节 课堂小结
在Rt 中除直角外有5个元素(三边和两锐角) ，利用三个关系研究这个问题.
(1) 三边的关系c2= a2+b2关系式中有a,b,c三个量 , 已知两个可求出第三个.
(2) 锐角的关系∠A+∠B=90°关系式中有A,B两个量 , 已知一个可求出另一个.
(3)边角的关系(其中A可以换成B)
每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.
利用三个关系,在Rt 除直角外的5个元素中, 知道
其中的2个元素(至少有一个是边), 就可以求出其余的三个未知元素.
第四环节 布置作业
P24 习题1.6 1,2,3题;
四、教学反思
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在小学已经学过统计图的特点，而且普遍掌握较好，因此没有必要再以问题的形式逐步总结认识，教学中将重点放在怎样根据“研究问题的需要、数据本身的特点及统计图本身的特点”科学合理的选择统计图。而且能让学生通过社会调查亲自去感受统计图在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。并且让学生利用小组调查搜集来的自己感兴趣的数据制作统计图。从而培养学生善于观察生活、搜集数据、选择决策的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过课前小组合作社会调查、课堂展示讲解统计图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
第一章 直角三角形的边角关系
5.测量物体的高度（一）
广东省深圳市桂园中学 黎幼彦
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习，已经掌握了三角函数的概念和运用三角函数解直角三角形的知识，并具有了解决与直角三角形有关的简单的实际问题的能力。
学生活动经验基础：学生已经经历过如何在直角三角形中用三角函数解决实际问题，同时在以前的数学学习中学生也经历了很多的合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了合作与交流的能力
二、教学任务分析
本节课是在对三角函数的理解基础上综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题的活动课。本节课分两课时，一.讨论课，二.室外活动课.第一节课首先以研究讨论问题的解决入手,为第二节的室外活动课铺垫.
为此，本节课为讨论课,其教学目标是：
知识与能力目标：能根据实际问题设计活动方案，自制仪器或运用仪器实地测量及撰写活动报告。能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题。
过程与方法目标：经历设计活动方案，实地测量和撰写报告的过程，学会对所得的数据进行分析，对仪器进行调整，和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果
情感与价值观要求：培养学生不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：测角仪使用的介绍；测量原理；误差的解决办法；应用；总结；作业。
第一环节 测角仪使用的介绍
活动内容：测角仪的使用
活动目的：培养学生的使用工具的能力。
活动的注意事项：展示样品，让学生亲身使用
第二环节 测量原理
活动内容：一、讨论测量底部可以到达的物体的高度的原理。
二、讨论测量底部不可以到达的物体的高度的原理。
活动目的：掌握测量的原理
活动的注意事项：提醒学生注意：
1）方法的选择；
2）不要忽略了测角仪到地面的高度。
1．当测量底部可以到达的物体的高度
1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
MN=ME+EN=L tanα+a
2．当测量底部不可以直接到达的物体的高度
1、在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
2、在测点A与物体之间B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测
量数据,可求出物体MN的高度
第三环节 应用
活动内容：解决实际问题
活动目的：加深巩固解直角三角形的能力
活动的注意事项：计算能力
应用1：
如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m)
解：如图，作EM垂直CD于M点,根据题意，可知
EB=1.4m，∠DEM=30°,BC=30 m,BE=CM=1.4m
在Rt△DEM中，
DM=EMtan30° ≈30×0.577 =17.32(m)
CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m)
应用2：
下表是小亮所填实习报告的部分内容:
课题 在平面上测量地王大厦的高AB
测量示意图
测得数据 测量项目 ∠α ∠β CD的长
第一次 30° 16’ 45° 35’ 60.11M
第二次 30° 44’ 45° 25’ 59.89M
平均值
1.请根据小亮测得的数据,填表中的空格;
2.通过计算得地王大厦的高为(已知测倾器的高CE=DF=1m)______米 (精确到米).
解：1. 30° 45° 60m
2. 在Rt△AEG中，EG=AG/tan30°=1.732AG
在Rt△AFG中，FG=AG/tan45°=AG
FG-EG=CD
1.732AG-AG=60
AG=60÷0.732≈81.96
AB=AG+1≈83(m)
注意事项：在测量当中误差的处理办法
巩固练习
1.(2005深圳)大楼AD的高为100米,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60度,爬到楼顶D测得塔顶B点仰角为30度,求塔BC的高度.
2.如图,在离铁塔150米的A处,用测角仪测得塔顶的仰角为30度,已知测角仪高AD=1.5米,求铁塔高BE.
第四环节 误差的解决办法
活动内容：学生讨论误差的处理
活动目的：了解实验存在误差和误差的处理办法
活动的注意事项：误差的处理
第五环节 总结
活动内容：学生总结实验的设计及原理
活动目的：加深巩固解直角三角形的能力
第六环节 作业
活动内容：分组制作测倾器和设计实验报告
活动目的：为下节活动课做好准备
四、教学反思
1. 要学会用已有的知识解决生活实际问题
2. 充分培养学生互动合作的精神
第一章 直角三角形的边角关系
5.测量物体的高度（二）
广东省深圳市桂园中学 赖燕军
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习，已经掌握了如何使用测角仪测量角度，及利用测量出来的数据计算物体高度的原理。
学生活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了一些测量活动，解决了一些简单的现实问题，获得了从事测量活动所必须的一些数学活动经验的基础，及在合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节课是在对三角函数的理解基础上运用三角函数解决实际问题，反过来，又是在解决实际问题的过程中加深对三角函数概念的理解。为此，本节课的教学目标是：
知识与能力目标：能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.
过程与方法目标：经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.积极参与数学活动，积累数学活动的经验，提高对实验数据的处理能力；学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识.
情感与价值观要求：能够主动积极地想办法，积极地投入到数学活动中去，提高学习数学的兴趣；培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备——自制测角仪、原理回顾、展示测量对象及说明、测量活动及数据收集、统计分析及总结、布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容：自制测角仪、分组（5——6人）
活动目的：培养学生的动手能力。
活动的注意事项：学生所做的测角仪测量角时不方便、误差较大。（解决方法：先展示样品）
第二环节 原理回顾
活动内容：简单地回忆利用测角仪测量物体高度的方法：1、测量底部可以到达的物体的高度；2、测量底部不可以到达的物体的高度
活动目的：明确操作步骤
活动的注意事项：提醒学生注意：1）方法的选择；2）不要忽略了测角仪到地面的高度。
第三环节 展示测量对象及说明
活动内容：，把学生分成5～6人一组.引导学生选定测量对象（即旗杆或其他物体），根据上节课的分析设计出本组测量的方案。同时发放记录表。
活 动 报 告 年 月 日
课题
测量示意图
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
计算过程
活动感受
负责人及参加人员
计算者和复核者
指导教师审核意见
备注
活动目的：体验合作，为后面的活动作好准备。
活动的注意事项：1.教师要引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 2.要做好分工。
第四环节 测量活动及数据收集
活动内容：根据自己设计的方案进行测量与填写记录。
活动目的：体验合作、培养学生发现问题解决问题的能力。
活动的注意事项：教师提示要注意的实验的细节：(1)注意实验时的安全.(2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥(3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数.(4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决.
第五环节 统计分析及总结
活动内容：汇报各组实验活动的结果、比较分析结果。反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受。
活动目的：1.总结数学活动经验，培养学生理论联系实际的能力.2.培养学生反思的习惯，提高学生活动的能力.
活动的注意事项：通过学生的感受，教师要引导学生总结测量物体高度的方法及恰当的选择方法。
第六环节 布置作业
补充完善活动报告
四、教学反思
1.本节课是一节活动课，活动的目的是为了让学生体验“生活中的数学”。故在课堂上，要做到收放恰当，注意引导学生体验“用数学解决实际问题，在实际问题中理解数学”。
2.课前的准备、原理的了解是上好本节课的前提；小组的合作交流是上好本节课的保证；全班的交流是对问题解决的升华。
第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考
广东省深圳市滨河中学 杨 霞
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角互余），以及有一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）。而通过本章的学习，学生才更多的认识到一般直角三角形的边角关系，掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，也能利用三角函数知识解决相关的实际问题。
学生活动经验基础：，学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，通过计算器进行了一般角的度数与其对应的三角函数值的互换，也能把简单的实际问题转化为数学问题。因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力。
二、教学任务分析
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“数形结合”思想的理解和应用。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2．通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3．通过联系使学生进一步利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
过程与方法：
练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：基础练习——知识小结——巩固提高——章节回顾——作业布置。
第一环节 基础练习
活动内容：
1、根据给出的三角函数值，由学生给出相应的角（30°，45°，60°）的度数。
2、学生独立练习：教科书第一章复习题A组的1、2、3、4、5、7题
活动目的：通过“回味无穷”让学生熟练掌握特殊角的三角函数值且能根据具体三角函数值说出对应的角的度数；通过做几道练习题，巩固三角函数的相关运算，及对三角函数公式的应用；熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换；解决简单的实际问题。主要是让学生回顾基础知识，巩固基本解题能力，也有利于下一环节学生对知识点的总结。
实际教学效果：这些题涉及到的知识点多，难度不是很大，大部分学生都做得比较快，正确率也高，能起到“抛砖引玉”的效果。
第二环节 知识小结
活动内容：总结和直角三角形相关的边、角的计算，以及本章的知识点。
活动目的：通过知识回顾总结，让学生把所做的练习题与知识点相对应，使学生全面掌握、理解并应用相关知识点。
实际教学效果：学生对本章知识点有了全面、清晰的认识，为下一步在解决实际问题时，把实际问题转化为数学问题打下了基础。
第三环节 巩固提高
活动内容：
1、教科书复习题A组第10题，B组第5题；
2、课外拓展2个小题
课外拓展题题目及答案：
1 如图在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若
C
D
A E B
分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。
中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE与BE的长度关系，再结合等腰Rt△的性质，此题就不难解答了。
解：过D作DE⊥AB于E
∴△DBE和△DEA为Rt△
②如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。
北
C
西 B A
分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。
解：（1）过B作BD⊥AC于D
根据题意得：∠BAC=30°，在Rt△ABD中
∴B处会受到影响。
（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在Rt△DBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt△BAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：
∴该船应在3.8小时内卸完货物。
活动目的： 增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转为数学问题，并能针对性的利用三角函数来解决。其中渗透“数形结合”思想和方法。
实际教学效果： 对第7题有小部分同学需要老师提示，主要是点拨如何将题目的已知与问题联系起来，利用图形的特点来添加辅助线解题，在此基础上第8题大部分学生都能独立完成。 同样，第9题是给学生一个缓冲的容易接受的题目，感受到解决实际问题的基本方法和过程，而第10题则是对学生一个解题能力的挑战，有部分同学能做出一些，只有部分同学解决的较好。通过这4道题的练习，每个学生的解题能力都能到了巩固和提高，层次较高的学生也有机会得到更大空间的锻炼。
第四环节 知识回顾
活动内容：师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系。
活动目的：鼓励学生自己进行章节知识总结，加深印象，形成系统的知识体系。
实际教学效果：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“直角三角形的边角关系”的认识和理解，通过老师的小结以及框图概述，清晰展现各知识点之间的联系，
第五环节 布置作业
活动内容：1、复习题A组6、9题2、复习题B组1、6题3、选作题（附后）
选作题及答案：
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体需求如下：
（1）测量数据尽可能少
（2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间的距离用m表示；如果测D、C间距离用n表示；如果测角用α、β、γ等表示，测倾器高度不变。）
（3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）
H
A D
B C G
分析：要设计一个测量HG高度的方案，且要求测量数据尽可能少，根据以往的经验，若已知AD的长度，再分别测在A和D两处观测的H的仰角即可求出H点距AD的高度。但要求HG的长度还需测得DC的高度，因此采用这种方法，需4个数据；若分别测得在D和C两处观测的H的仰角再测出DC的长度也可以求出HG的长度，而采用这种方案需3个数据，因此本题最佳的解决方案有两套。有了方案第3小题便可轻松解决了。
解：（1）延长AD交HG于M，
方案1：分别测量AD=m，DC=n，在A处测得H的仰角为γ，在D处测得H的仰角为α。
（2）解设HG=x，
方案2：（1）分别在D、C两点测得H的仰角为α、β及DC长为n
H
A γD α
m M
β
B C G
活动目的：在布置了基础型练习题后，根据 “不同学生有不同发展需要”的思想，设计了选作题，使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。
实际教学效果： 加强学生对三角函数与其他运算公式结合的的运算能力，巩固利用三角函数解决楼高的实际问题。选作题让学生学会根据实际背景、有限的条件进行综合分析、思考，多次分散和组合应用三角函数，并在对三角函数的应用中渗透数形结合的思想。
四、教学反思
1．选用的适当的练习题组，做到层次分明
教科书为教师提供了大家都适用的教学素材，而我们可以根据学生的实际情况进行适当调整。我的班级学生总体素质和能力较高，但不可避免也有部分学生请况不同。因此，我只在课本上选用了部分练习题做为基础练习，另外附加了几道难度较大，题目较新课外题分别做为课内练习和课外作业，这可以让不同层次的学生都有不同的施展空间，能得到不通的收获。而且练习题难度层层深入，让学生容易接受，逐步进入状态。
2．练习题复习和知识点总结的恰当结合
复习课要注意知识总结又要兼顾题目练习，时间上容易顾此失彼，而且通常的做法是一上课就总结知识点，这容易让学生觉得枯燥，进而影响整节课的学习状态和学习效率。我这节课不同的处理在于先用几道基础题让学生产生成功的喜悦，在题目中回顾知识点，顺理成章的和学生一起总结知识点；然后在此基础上抛出三角函数的实际应用问题，难度逐步增加的练习题，学生容易接受，有利于学生不断总结方法，提高解题能力，使得学生产生强烈的征服欲；最后在课的最后阶段再次对本章内容进行概述并给出框图，使学生对整章知识有了系统的认识。
这样的处理方式，让学生在练习中将知识清晰化、系统化，又能在知识总结过程中，加深对实际问题的实质剖析和理解。
3．注意改进的方面
本节课内容较不是很多，但是在进行知识总结和难题解决时都比较花时间，因此整个课堂时间比较紧促，可以考虑课前让学生先自己进行知识总结，在课堂上不留思考讨论的时间，直接师生交流总结；此外，最后一道题的时间有可能不够，应灵活处理，也可增加为课后作业。
第二章 二次函数
1.二次函数所描述的关系
广东省深圳市笋岗中学 廖伟环
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题． 让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
教学目标
(一)知识与技能
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)过程与方法
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感态度与价值观
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
教学重点：二次函数的概念
教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备、创设问题情境引入新课、想一想、做一做、归纳小结、课堂反馈、布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容：引导学生复习函数的概念及已经学习过的几种函数：
1.对“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？
2.函数的定义是怎样下的？
3.让我们一起来回忆一下这些函数的一般形式。
活动目的：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔，这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习作好铺垫。
实际教学效果：通过“温故”又可重新唤起学生对变量、自变量、因变量、函数等概念的理解，在回顾以前学习过的具体实例中能更好的帮助学生了解“函数”本质所在，而同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆学习函数的过程。
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：投影片：(§2．1A)
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
请大家先独立思考，再互相交流后回答
活动目的：此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，为引出二次函数的概念作铺垫，使学生感受二次函数与生活的密切联系。第（4）个问题让学生初次接触到本节课所要学习的新函数，为下面的学习作了一引子。
实际教学效果：学生在一个实际问题中第二次回忆起几种变量，及时对第一环节的“温故”进行反馈，而问题的设置由浅入深，学生在初三再学习函数有了好的开端，问题中的变化过程也恰好反映了函数本质所在，学生在不知不觉中也在复习函数的表示方法中的解析式法。开放问题（４）在小组之间互相猜测、互相补充，通过判断对比也加深了对一次函数、反比例函数印象。
第三环节 想一想
活动内容：如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么 （在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象
活动目的：让学生作主，在生活情景中学习数学，带着兴趣学数学，体验每个人都学有用的数学。用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后。从上面的活动中，使学生初步了解新函数的增减性的与众不同和新函数的重要应用 (求最值)。
实际教学效果：学生经过前两个环节的学习，对新函数有了一定了解，事实上新函数的很多相关知识已经出现，学生知道它是确实有别于一次函数、反比例函数的新函数，这种新函数也是从实际问题中出现的，而且新函数的增减性也有别于其它函数。
第四环节 做一做
活动内容：投影片：(§2．1B)
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．（本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．）
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？
活动目的：通过解决生活中数学问题，进一步熟悉用函数解析式反映变化过程，
实际教学效果：学生对本金、利息、利率、本息和等到概念不是很熟悉，需要老师的指引，加之有了上面的学习，之后学生则能够较容易列出函数解析式。
第五环节 归纳总结
活动内容：从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1) +1 (2)y=x+1/x
(3)s=3-2t (4) y=1/x -x
(5) v=Л r
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
活动目的：在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，通过练习加强对二次函数的理解。
实际教学效果：通过对比前面得到函数解析式以及一次函数的定义，学生能够得到二次函数的定义，开始对没有一次项或常数项的二次函数不能判断，对但通过例题练习，学生能较好地掌握二次函数定义。
注意：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
第六环节 课堂反馈
活动内容
①.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）v=10πr (3) s=3-2t
(5) y=(x+3) -x (6) y=3(x-1) +1;
②.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？
③.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
④.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
⑤圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？
活动目的：通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。
实际教学效果：学生基本都能理解二次函数的概念，判断那些函数是二次函数，使学生感受二次函数与生活的密切联系。
第七环节 布置作业
必做题： 课本P36-37习题2.1第1、2题；
选做题： 课本P77B组第2题。
四、教学反思
1．给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算的思想，分段取值，逐步逼近。发现函数与方程的联系（如：令－5x2+100x＝0解得x1＝0，x2=20），发现变与不变的关系（如：发现60000是常量，进而去研究－5x2+100x的值的大小）。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。第二天的教学就能很好地说明这点，在学习第二节课二次函数的图象时，学生能很快想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习不再变得抽象难懂。
2． 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
第二章 二次函数
2.结识抛物线
广东省深圳市滨河中学 邹 宁
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法。在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验。
学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法作出函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法作出函数y＝±x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。为此，本节课的教学目标是：
(一)知识与技能
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。
教学难点：由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、温故知新、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 情境引入（生活中的抛物线）
活动内容：
寻找生活中的抛物线
活动目的：
通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。
实际教学效果：
学生通过开动脑筋，产生联想，寻找出生活中大量的类似抛物线的事物，再通过师生共同鉴定、修正，使学生获得大量对抛物线感性认识的经验。
第二环节 温故知新
活动内容：
复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，（3）根据函数y=x2列表
活动目的：
让学生回忆与本节课有关的主要知识，为本节课探究二次函数的图象和性质做知识上、经验上的准备。
实际教学效果：
通过对有关知识的复习，学生对二次函数的概念、画函数的图象的主要步骤有了进一步的认识。
第三环节 合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质）
活动内容：
1. 用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。
2. 观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：
(1) 你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？
你是如何知道的？
3.二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象
4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。
5.说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质？与同伴交流。
活动目的：
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，
获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
4．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
实际教学效果：
1. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
第四环节 练习与提高
活动内容：
1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。
（1）求A的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
与同伴进行交流.
活动目的：
1.对本节知识进行巩固练习。
2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳入知识系统。
3.培养学生整合知识的能力。
实际教学效果：
1.学生通过练习，进一步认识了二次函数y＝±x2的图象，
理解了二次函数y＝±x2的性质；
3. 让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而培养学生全面思考问题的良好思维习惯。
第五环节 课堂小结
活动内容：
小结：二次函数y=± x2的性质
根据图形填表：
抛物线 y=x2 y=－x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
活动目的：
培养学生整理知识、归纳知识的习惯。
实际教学效果：
学生通过整理、归纳知识，厘清了知识之间的内在联系，有利于知识的储存和应用。
第六环节 布置作业
P41 习题2.2 1,2题
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状.
2．设正方形的边长为a,面积为S,试作出S随a的变化而变化的图象.
四、教学反思
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在以前已学过解一元二次方程，等腰三角形等知识，本节课根据学生的实际情况增加了两道较综合的练习，目的是引导学生及时整合所学知识，有利于培养学生分析问题解决问题的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
小组合作学习交流，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助
第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起（一）
广东省深圳市翠园中学 邹荧桢
一、学生知识状况分析
本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角三角形三边的关系来判断。
二、教学任务分析
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
过程与方法：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感态度与价值观：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、统计图的选择、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 生活情景（获取信息，体会特点）
活动内容：从生活实践开始，让学生思考如何测量一座古塔的高度，
并回答以下问题：
１在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗？
２猜一猜,这座古塔有多高
３想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得
∠2的大小,根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？
活动目的：让学生初步从生活中去体会利用直角三角形的边角关系，可以知道一边和一个锐角,求出其它的边和角，并通过测古塔高度这一实验，让学生初步感受到倾斜程度在生活中的应用。
实际教学效果：学生能理解小明测古塔的方法，并能初步感受到倾斜程度在生活中的应用，生动的课堂引入让学生很快进入了求知的状态。
第二环节 同类问题的多种分析，课题引入
活动内容：
1、分析４位同学的四个相同的问题，让学生学习探索梯子的倾斜程度。
问题：下列４个图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
２、引出思考：
直角三角形的边与角的关系
1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
３如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢
４由此你得出什么结论
活动目的：让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。并让他们从实例中发现不同情况中对比梯子的倾斜程度需要除了观察还需要更多其他方法。
实际教学效果：学生经过前一环节对测量古塔的高度一例已经有了对梯子倾斜度的初步认识，对与上面4个图，学生可以很快分辨出图1和图4中梯子的倾斜程度，但是对于两条直角边长度都不一致的图2图3感到难度，并且发现需要利用其他新的知识来认识梯子的倾斜程度，这也就很自然地引入了本节课的知识点：正切值。
第四环节 课题重点
活动内容：
正切的定义
（1）明确各边的名称。
（2）。
（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
（4）tanA的值越大，梯子AB越陡；∠A越大,梯子AB越陡。
活动目的：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
实际教学效果：
学生经历了观察、探索等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。通过上面的例子体验了数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系。
第五环节 练习与提高
活动内容： １例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
２如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6， ，求BC、AB的长。
３、如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.
活动目的：让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。学生能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。
实际教学效果：以上３个例题都比较基础，并且层层深入，其中第３题，学生需要做辅助线，加深学生对正切的理解，正切的前提必须是一个直角三角形。
第六环节 小结与拓展
活动内容：师生互相交流总结本堂课所学的知识点
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），让学生能正确阐述对正切、倾斜程度、坡度等数学意义的理解。
实际教学效果：学生能畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对各知识点掌握透彻。
第七环节 布置作业
作业：书本 P 6 随堂练习： 1、2 ； 习题1.1 1、2
四、教学反思
通过本节课的学习，学生能运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。但是课堂上学生的参与还不足，学生的积极回答还有待进一步提高。
第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起（二）
广东省深圳市翠园中学 李秀英
一、学生知识状况分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，由于学生在前一节课学习过有关正切的知识，但对于直角三角形只能停留在两直角边之间的关系，那么，直角三角形中斜边与直角边之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系。
二、教学任务分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，是通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的直角边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的。在试验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.
在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视试验的作用。鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证试验结果的合理性。
本节课教学目标如下：
教学目标：
（一）教学知识点：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中斜边与直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
(二)能力训练要求：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
(三)情感与价值观要求：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：
理解正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正弦、余弦的数学意义，并用它来表示两边的比.
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节 创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节： 布置作业。
第一环节 创设情境
（1）我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数。即：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,
当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗 今天这节课，我们就来学习第九册（下）第一章：直角三角形的边角关系：正弦与余弦。
（2）上节课，我们研究了“陡”这个字，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”，是与梯顶、 梯脚到墙角的距离比有关的。下面请同学们模拟实验，是否还与梯长与梯顶或梯脚到墙角的距离比有关呢？
第二环节 探求新知
1、摆一摆
请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子：
（1）首先，把两架梯子摆在同一面墙上，使其中一架梯子比较陡。
（2）我们在摆的过程中，要仔细观察，认真思考，探索一下，要想把一个
梯子摆得陡一些，除了与倾斜角的大小有关之外，还与那些因素有关呢？
（3）通过观察，我们可以得到：要想把一个梯子摆得陡一些，与梯子的对边与邻边有关。那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢？为了探索这个一般规律，请同学们接着来摆梯子，使其中一架梯子比较陡。这一次，我们要边摆，边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边，并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值，之后每组填好实验报告。（展示数据及结论）
（4）实验结论：梯子越陡，倾斜角的对边与斜边的比值越大，邻边与斜边的比值越小。
2、想一想：
上节课，我们研究了：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，我们可以用一种巧妙的方法得到梯子的倾斜程度：在梯子上任选一点B1，、B2，
如图1-3，通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；也可通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。在这里，我们能否类似的研究呢？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2）和有什么关系？和有什么关系？
（3）如果改变梯子的位置呢？ 由此你得出什么结论？
3、有关的概念
在Rt △ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。记作sinA.
∠A的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A的余弦。记作cosA.
注意的问题：
（1）sinA,cosA中常省去角的符号“∠”。
（2）sinA,cosA没有单位，它表示一个比值。
（3）sinA,cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”。
（4）在初中阶段，sinA,cosA中,∠A是一个锐角。
4、议一议：
梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：
梯子AB越陡，sinA的值越大 , cosA的值越小
5、例题分析：
例1：如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.
（老师期望:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗 ）
例2．如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10，cosA=，求:AB,sinB
（老师期望:注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系 ）
第三环节 随堂练习
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB
（老师提示:过点A作AD垂直于BC于D. ）
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,sinA=，求:△ABC的周长
3.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB. SinB=( )=( )=( )
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
（老师提示:模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.）
7.如图,分别根据下面两图，求出∠A的三个三角函数值.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3,AB=6,求sinA和cosB
(老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.)
9．在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.
10.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18
求:sinB,cosB,tanB.
（老师提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.）
第四环节 小结
1.锐角三角函数定义:
①sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
②sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
③sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
④sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
⑤角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
2．请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系
第五环节 体会
数学中的某些定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏极深.
——高斯
第六环节 作业
1.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
2.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.
求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
四、教学反思
由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程。
第一章 直角三角形的边角关系
2. 30°、45°、60°角的三角函数值
广东省深圳市翠园中学 黎安丽
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1．历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算
3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
过程与方法：
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
情感态度与价值观：
1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
教学难点：三角函数值的应用
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、小结与拓展、作业布置。
第一环节 复习巩固
活动内容：如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
B （1）a、b、c三者之间的关系是 ，
∠A+∠B= 。
c a （2）sinA= ，cosA= ，
A b C
tanA= 。
sinB= ，cosB= ，tanB= 。
（3）若A=30°，则= 。
活动目的：复习巩固上一节课的内容
第二环节 活动探究
活动内容：
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗
活动目的：引出课题，激发学生的学习积极性
第三环节 讲解新课
活动内容：探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
② sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
③cos30°等于多少 tan30°呢
学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值
2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
3．请学生完成下表
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
（1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
（2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑
a随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。
b若对于锐角有sin=,则= .
4.例题讲解(多媒体演示),
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
活动目的：探索30°、45°、60°角的三角函数值，并能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
第四环节 知识运用
活动内容：1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
第五环节 小结与拓展
活动内容：1）直角三角形三边的关系.
2）直角三角形两锐角的关系.
3）直角三角形边与角之间的关系.
4）特殊角30°、45°、60°角的三角函数值.
5）互余两角之间的三角函数关系.
6）同角之间的三角函数关系
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想
第六环节 作业布置
1．在 Rt△ABC中，∠C=90°。
（1）若∠A=30°，则sinA= ，cosA= ，tanA= 。
（2）若sinA=，则∠A= ，∠B= 。
（3）若tanA=1，则∠A= 。
2．在 △ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则tanA＝
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则∠C =
4．计算
(1)3sin60°-cos30°
(2)sin30°tan60°
(3)2sin30°-3tan45°+4cos60°
5．如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A（∠ACB=90°），测得∠CAB=45°。问河宽是多少？
B
C A
四、教学反思
三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力。另外通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（一）
广东省深圳市东湖中学 李观上 王义平
一、学生知识状况分析
1、本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上尝试了用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用推导了30°，45°，60°的三角函数值。
2、学生已经学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除及平方运算，对科学计算器的功能及使用方法有了初步的了解。
二、教学任务分析
随着学习的进一步深入，例如解决测量类的应用问题,面临两个必须解决的问题：一是一般角的三角函数值如何计算？二是已知一个三角函数值，怎样求对应的角度？
为此，本节第一课时学习用计算器计算sinα、cosα、tanα的值，第二课时，学习在已知三角函数值时求相应的角度。解决这两个问题实际上就解决了具体计算上的困难，而且使解应用题成为可能，与此同时，掌握了用科学计算器求角度，使学生对三角函数的意义，对于理解sinα、cosα、tanα的值∠α之间函数关系有了更深刻的认识。
根据学生的起点和课程标准的要求，本节课的教学目标和任务是：
(一)知识与技能
1.会使用计算器由已知锐角求三角函数值.
2.沟通问题的已知与未知事项，进而运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
(二)过程与方法
1.通过运用计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的意义.
2.在具体的情境中，用三角函数刻画事物的相互关系.
3．在求上升高度、水平移动的距离的过程中发现并提出数学问题。
4．运用三角函数方法，借助于图形或式子清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。
（三）情感态度与价值观
体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，增强对数学方法（三角方法）科学性、完美性的认识。
教学重点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题
教学难点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、探索新知、随堂练习、活动与探究课堂小结、布置作业、。
第一环节 情境引入
活动内容：
用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题，感知问题中已知条件和未知事项。
[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少
在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC.
根据正弦的定义，sin16°=,
∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°(米).
活动目的：由实际问题引出利用三角函数计算的必要性；为了计算缆车垂直上升的距离，需要求出16°角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数的计算问题。
实际教学效果：因为问题情境贴近学生的生活，所以学生参与活动的热情很高。学生能根据之前所学的三角函数的定义得出BC、AB、sin16°三者的关系，而这里的sin16°学生不知道怎样计算，由此感受到学习新知识的需要，产生探索的欲望。
第二环节 探索新知
活动内容：
200sin16°米中的“sin16°”是多少呢 我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.
对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎么办？我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢
1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.
用科学计算器求三角函数值，要用到和键.例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.(多媒体演示)
按键顺序 显示结果
sin16° sin16°=0.275637355
cos42° cos42°=0.743144825
tan85° tan85=11.4300523
sin72°38′25″ sin72°38′25″=0.954450312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.
(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)
用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.
用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m).
2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.
多媒体演示本节开始的问题：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么
学生思考后，有如下几种解决方案：
方案一：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.
方案二：可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离.
用计算器辅助计算出结果
（1）在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米).
（2）由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米).
（3）在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米).
在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×0.7431=148.63(米).
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米).
活动目的：引导学生利用计算器探索计算三角函数值的具体步骤；让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识；让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角函数值的过程。
实际教学效果：学生学会了利用计算器探索计算三角函数值，并解决含有三角函数值计算的实际问题，在小组活动的过程中，学生能积极地参与小组交流、讨论，表现出较高的思维水平和语言表达能力，更感受到科学的方法与科学计算工具结合所产生的独特魅力。
第三环节 随堂练习
活动内容：
下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示).
1、用计算器求下列各式的值。
(1)sin56°；(2)sin15°49′；
(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°.
(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)
答案：(1)sin56°≈0.8290；
(2)sin15°49′≈0.2726；
(3)cos20°≈0.9397；
(4)tan29°≈0.5543；
(5)tan44°59′59″≈1.0000；
(6)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.
2、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)；
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°
=100×
=50(m).
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).
3、求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56°
≈20×1.4826
＝29.652(m)；
在Rt△CBA中，CB=ABtan50°
=20×1.1918
=23.836(m).
所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).
活动目的：进一步加深对新知识的理解和应用，并在练习探究中相互交流，取长补短，优化解决问题策略，激发学生创新思维灵感性。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，正确使用计算器求出三角函数的值，熟练程度比之前有所提高；绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题，进一步体会了三角函数与现实生活的联系，感受数学来源于生活，又服务于生活，应用意识得以提高。
第四环节 活动与探究
活动内容：拓展创新演练：
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，
房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个
水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度.
(结果精确到0.01 m)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线应沿CB射入.所以在Rt△ABC中，AB＝1.8 m，∠ACB＝80°.求AC的长度.
[结果]因为tan80°＝＝0.317≈0.32(米).
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.
活动目的：通过解决现实问题，拓展知识与应用的空间，进一步加深对新知识的理解和运用。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题。不要求每一个学生都能顺利画图、转化，但可以通过做得好的学生帮助不会的学生解决这一问题。
第五环节 课堂小结
活动内容：谈一谈：这节课你学习掌握了哪些新知识？通过这节课的学习你有哪些收获和感想？
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，从数学方法、数学思维与科学工具等方面谈自己的收获与感想。
实际教学效果：学生畅所欲言谈自己的学习感受和实际收获： 学会了运用计算器计算已知锐角的三角函数值；运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题；三角函数的有关知识与现实生活有密切的联系。进一步认识数学方法、数学思维与科学工具的功能，增强在解决问题的过程中综合运用三个方面解决问题的意识。
第六环节 布置作业
习题1.4的第1、2题
四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维方法。
（2）以现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大多数学生发挥主体作用。
第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（二）
广东省深圳市东湖中学 胡党华 王义平
一、学生知识状况分析
1．本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用定义法推导了300，450，600的三角函数值。
2．在计算器的使用上，学生学习了用计算器进行实数加减乘除及平方开方运算，上节 课学习了用计算器求已知角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解。有上述知识技能作基础为学生进一步学习“已知三角函数值求角度”创造了必要条件。
二、教学任务分析
在三角函数中，非特殊角的求法，全部用定义求是不现实的，这就需要借助科学计算器，那么怎样使用科学计算器解决相应的实际问题，对这一问题的预期，就构成本节课的教学目的与任务。下面从三个方面来具体分析：
（一）知识与技能
1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义。
2、能够利用计算器进行有关三角函数值的计算。
3、能够运用计算器辅助解决含三角函数值以及角度计算的实际问题。
（二）过程与方法
1、借助计算器解决含三角函数值计算的实际问题，提高解题效率，提高用现代工具解决实际问题的能力。
2、发现实际问题中的边角关系，并运用三角函数定义解决有关计算问题，在解决简单的应用题基础上体会三角函数方法独特意义，感受三角函数值随角度变化而连续变化的过程。
（三）情感与态度
1、主动参与数学活动，从中体会解决问题的乐趣。
2、形成实事求是的、严谨的学习态度。
教学难点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小
教学重点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小
三、教学过程分析
本节课总共设计了八个教学环节：第一环节 问题引入；第二环节 寻求方法；第三环节 练习巩固；第四环节 解决问题；第五环节 拓展重建；第六环节 自测评价；第七环节 课堂小结；第八环节 布置作业。
第一环节 问题引入
活动内容：（出示问题，感受问题）
随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少 (如下图所示)
活动目的：通过上例创设问题情境，激发学习兴趣，学生要解决这个问题必须先求
sinA＝，再求∠A，把这个问题归结为“已知三角函数值求相应锐角的大小”。
实际教学效果：学生的求知欲被激发起来，思维处于活跃状态，每个同学都积极探索解决这个实际问题的办法与途径。
第二环节 寻求方法
活动内容：练习掌握已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。
例如： ①已知sinA＝0.9816，求锐角A。
②已知cosA＝0.8607，求锐角A。
③已知tanA＝0.1890，求锐角A。
④已知tanA＝56.78，求锐角A。
按键顺序如下表:
按键顺序 显示结果
sinA=0.9816 sin-10.9816=78.99184039
cosA=0.8607 cos-10.8607=30.60473007
tanA=0.1890 tan-10.1890=10.70265749
tanA=56.78 tan-156.78=88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的。再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果。
第一环节的引例中sinA=＝0.25。按键顺序为 ，
显示结果为sin-10.25=14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″,所以
∠A=14°28′39″。（以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，结果精确到1″即可。）
(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤。)
活动目的：前一节课已经学习如何利用科学计算器求已知角的三角函数值，通过本环节学习，使学生掌握如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐角的大小，即已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。此外，通过这一环节促进学生的可逆性联想。
实际教学效果：学生能够利用科学计算器由已知锐角三角函数值反过来求相应的锐角的大小，并从中体会用科学计算器解决问题的优势，体会了三角函数值和对应角度的对应关系。
第三环节 练习巩固
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ＝0.3957；
(3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972；
(5)sinθ＝； (6)cosθ＝ 。
2.一辆汽车沿着一山坡行驶了150米，其铅直高度上升了25米，求山坡与水平面所成锐角的大小？
(请同学们完成后，在小组内讨论、交流。教师巡视，对有困难的学生给予及时指导。)
参考答案如下：
1.解：(1)∠θ＝71°30′2″； (2) ∠θ＝23°18′35″；
(3) ∠θ＝38°16′46″； (4) ∠θ＝41°53′54″；
(5) ∠θ＝30°； (6) ∠θ=45°。
2.解：设山坡与水平面所成锐角为α，
根据题意得sinα＝=，
∴∠α＝9°35′39″。
所以山坡与水平面所成锐角为9°35′39″。
活动目的：通过上面的练习，使学生通过亲手操作掌握利用计算器由已知锐角三角函数
值求相应锐角大小的方法，并能进行不同角度单位之间的转换。
实际教学效果：学生能够正确使用计算器解决已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的
问题（包括函数值为无理数的情形）。
第四环节 解决问题
活动内容：（引导学生利用计算器求解下面的实际问题）
[例1]如图，工件上有一V形槽,测得它的上口
宽20 mm，深19.2mm，求V形角(∠ACB)的大小？
(结果精确到1°)
[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一
肿瘤。在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗
效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。
已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧
9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角？
注：这两例都是实际应用问题，需要求角度且角度不易测量，这时我们可以根
据直角三角形的边角关系，用计算器计算出角度，使实际问题得到解决。
活动目的：使学生能运用三角函数解决应用题中的计算问题，把现实问题转化为三角函数的计算问题，并使学生从中了解到三角函数能有效地解决医学等领域的现实问题。
实际教学效果：学生能把实际问题转化数学问题，用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题，具体解题步骤如下：
[例1] 解：∵tan∠ACD=≈0.5208
∴∠ACD≈27.5°
∴∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°。
[例2] 解：如图，在Rt△ABC中，
AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm，
∴tanB=≈0.6429。
∴∠B≈32°44′13″。
因此，射线与皮肤的夹角约为32°44′13″。
第五环节 拓展重建
活动内容：（归纳解直角三角形的基本知识系统）
1、解直角三角形的基本理论依据：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c。
(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)角的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ，sinB＝，cosB＝，tanB= 。
2、由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，然后运用直角三角形中元素之间的关系，通过计算，使实际问题都得到解决。
活动目的：通过归纳提炼，把本节的知识纳入解三角形的系统中考虑，更好地掌握知识之间的联系，从而更好地掌握解决问题的方法与策略。
实际教学效果：把实际问题转化为解直角三角形的问题，使问题得到解决。
第六环节 自测评价
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.已知sinθ＝0.82904，求锐角θ的大小？
解：∠θ≈56°1″
2.一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角？
解：如右图。
∵cosα＝＝0.625
∴∠α≈51°19′4″。
所以梯子与地面所成的锐角约为51°19′4″。
活动目的：通过学生独立完成，以进一步提高学生由三角函数值求角度的技能，从操作、分析、表达、反思几方面评价学生知识能力目标达成情况。
实际教学效果：通过自测评价矫正学习中的缺失，不断优化解决此类问题的方法，学生的转化意识和解决实际问题的能力得到进一步的提高。
第七环节 课堂小结
活动内容：（师生共同小结）
本节课我们学习了利用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程；进一步体会三角函数的意义；并且利用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
活动目的：让学生一起参与归纳本堂课的知识点以及重点、难点，让学生自己参与学习，自己探寻方法，自己去解决问题，使学生的主体地位得以充分发挥。
实际教学效果：学生掌握了本节课的全部内容，会利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，进一步提高了分析问题、解决问题的能力。
第八环节 布置作业
1、必做题：课本P20页 习题1.5 第2、3题
2、选做题：
如图,为某小区的两幢10层住宅楼,由地面向上依次为第1层、第2层、……、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m。现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况。假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼上的影子长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α。
（1） 用含α的式子表示h；
（2） 当α=30o时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每时增加10o，多久后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光？
四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的建模能力及转化思想。
（2）将现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
（3）为了满足不同层次同学们的需要，布置作业时采用必做题与选做题相结合的方法，对成绩一般的同学只需完成必做题即可，而对学有余力的同学则要求必须同时完成必做题和选做题。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大
多数学生发挥主体作用。
第一章 直角三角形的边角关系
4.船有触礁的危险吗
广东省深圳市罗湖外语学校 刘芳亚
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经知道直角三角形三角关系(两锐角互余),三边关系(勾股定理)既边角关系(锐角三角函数).
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对直角三角形的认识，提出了本课的具体学习任务：利用锐角三角函数知识解决船有触礁的危险吗等实际问题。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“三角学”这一数学学习领域，因而务必服务于三角学教学的远期目标：“三角函数的性质及其应用”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,发展数学应用意识和解决问题的能力.
过程与方法
1．经历探索船是否有触礁的危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2．通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生用数学知识分析问题、解决问题的良好习惯。
情感态度与价值观
让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
教学重点：能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算
教学难点：能够把实际问题转化为数学问题
三、教学过程分析
本节课设计了四个教学环节：
第一环节：知识准备
第二环节：实际应用（船有触礁的危险吗、古塔有多高、楼梯加长了多少、钢缆有多长、大坝中的数学计算、利用三角函数值求锐角）
第三环节：课堂小结
第四环节：布置作业
第一环节 知识准备
复习回顾：
1． 直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？
2． 30°、45°、60°角的三角函数值是多少？
第二环节 实际应用
1．船有触礁的危险吗
海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则
2。古塔有多高
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
：
解:如图,由题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
3．楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.
4．钢缆有多长
一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少 (结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
5．大坝中的数学计算
水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
解: (1)如图,求坡角∠ABC的大小，过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
6．利用三角函数值求锐角
活动内容：填表——由锐角的三角函数值反求锐角
第三环节 课堂小结
在Rt 中除直角外有5个元素(三边和两锐角) ，利用三个关系研究这个问题.
(1) 三边的关系c2= a2+b2关系式中有a,b,c三个量 , 已知两个可求出第三个.
(2) 锐角的关系∠A+∠B=90°关系式中有A,B两个量 , 已知一个可求出另一个.
(3)边角的关系(其中A可以换成B)
每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.
利用三个关系,在Rt 除直角外的5个元素中, 知道
其中的2个元素(至少有一个是边), 就可以求出其余的三个未知元素.
第四环节 布置作业
P24 习题1.6 1,2,3题;
四、教学反思
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在小学已经学过统计图的特点，而且普遍掌握较好，因此没有必要再以问题的形式逐步总结认识，教学中将重点放在怎样根据“研究问题的需要、数据本身的特点及统计图本身的特点”科学合理的选择统计图。而且能让学生通过社会调查亲自去感受统计图在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。并且让学生利用小组调查搜集来的自己感兴趣的数据制作统计图。从而培养学生善于观察生活、搜集数据、选择决策的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过课前小组合作社会调查、课堂展示讲解统计图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
第一章 直角三角形的边角关系
5.测量物体的高度（一）
广东省深圳市桂园中学 黎幼彦
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习，已经掌握了三角函数的概念和运用三角函数解直角三角形的知识，并具有了解决与直角三角形有关的简单的实际问题的能力。
学生活动经验基础：学生已经经历过如何在直角三角形中用三角函数解决实际问题，同时在以前的数学学习中学生也经历了很多的合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了合作与交流的能力
二、教学任务分析
本节课是在对三角函数的理解基础上综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题的活动课。本节课分两课时，一.讨论课，二.室外活动课.第一节课首先以研究讨论问题的解决入手,为第二节的室外活动课铺垫.
为此，本节课为讨论课,其教学目标是：
知识与能力目标：能根据实际问题设计活动方案，自制仪器或运用仪器实地测量及撰写活动报告。能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题。
过程与方法目标：经历设计活动方案，实地测量和撰写报告的过程，学会对所得的数据进行分析，对仪器进行调整，和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果
情感与价值观要求：培养学生不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：测角仪使用的介绍；测量原理；误差的解决办法；应用；总结；作业。
第一环节 测角仪使用的介绍
活动内容：测角仪的使用
活动目的：培养学生的使用工具的能力。
活动的注意事项：展示样品，让学生亲身使用
第二环节 测量原理
活动内容：一、讨论测量底部可以到达的物体的高度的原理。
二、讨论测量底部不可以到达的物体的高度的原理。
活动目的：掌握测量的原理
活动的注意事项：提醒学生注意：
1）方法的选择；
2）不要忽略了测角仪到地面的高度。
1．当测量底部可以到达的物体的高度
1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
MN=ME+EN=L tanα+a
2．当测量底部不可以直接到达的物体的高度
1、在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
2、在测点A与物体之间B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测
量数据,可求出物体MN的高度
第三环节 应用
活动内容：解决实际问题
活动目的：加深巩固解直角三角形的能力
活动的注意事项：计算能力
应用1：
如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m)
解：如图，作EM垂直CD于M点,根据题意，可知
EB=1.4m，∠DEM=30°,BC=30 m,BE=CM=1.4m
在Rt△DEM中，
DM=EMtan30° ≈30×0.577 =17.32(m)
CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m)
应用2：
下表是小亮所填实习报告的部分内容:
课题 在平面上测量地王大厦的高AB
测量示意图
测得数据 测量项目 ∠α ∠β CD的长
第一次 30° 16’ 45° 35’ 60.11M
第二次 30° 44’ 45° 25’ 59.89M
平均值
1.请根据小亮测得的数据,填表中的空格;
2.通过计算得地王大厦的高为(已知测倾器的高CE=DF=1m)______米 (精确到米).
解：1. 30° 45° 60m
2. 在Rt△AEG中，EG=AG/tan30°=1.732AG
在Rt△AFG中，FG=AG/tan45°=AG
FG-EG=CD
1.732AG-AG=60
AG=60÷0.732≈81.96
AB=AG+1≈83(m)
注意事项：在测量当中误差的处理办法
巩固练习
1.(2005深圳)大楼AD的高为100米,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60度,爬到楼顶D测得塔顶B点仰角为30度,求塔BC的高度.
2.如图,在离铁塔150米的A处,用测角仪测得塔顶的仰角为30度,已知测角仪高AD=1.5米,求铁塔高BE.
第四环节 误差的解决办法
活动内容：学生讨论误差的处理
活动目的：了解实验存在误差和误差的处理办法
活动的注意事项：误差的处理
第五环节 总结
活动内容：学生总结实验的设计及原理
活动目的：加深巩固解直角三角形的能力
第六环节 作业
活动内容：分组制作测倾器和设计实验报告
活动目的：为下节活动课做好准备
四、教学反思
1. 要学会用已有的知识解决生活实际问题
2. 充分培养学生互动合作的精神
第一章 直角三角形的边角关系
5.测量物体的高度（二）
广东省深圳市桂园中学 赖燕军
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习，已经掌握了如何使用测角仪测量角度，及利用测量出来的数据计算物体高度的原理。
学生活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了一些测量活动，解决了一些简单的现实问题，获得了从事测量活动所必须的一些数学活动经验的基础，及在合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节课是在对三角函数的理解基础上运用三角函数解决实际问题，反过来，又是在解决实际问题的过程中加深对三角函数概念的理解。为此，本节课的教学目标是：
知识与能力目标：能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.
过程与方法目标：经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.积极参与数学活动，积累数学活动的经验，提高对实验数据的处理能力；学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识.
情感与价值观要求：能够主动积极地想办法，积极地投入到数学活动中去，提高学习数学的兴趣；培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备——自制测角仪、原理回顾、展示测量对象及说明、测量活动及数据收集、统计分析及总结、布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容：自制测角仪、分组（5——6人）
活动目的：培养学生的动手能力。
活动的注意事项：学生所做的测角仪测量角时不方便、误差较大。（解决方法：先展示样品）
第二环节 原理回顾
活动内容：简单地回忆利用测角仪测量物体高度的方法：1、测量底部可以到达的物体的高度；2、测量底部不可以到达的物体的高度
活动目的：明确操作步骤
活动的注意事项：提醒学生注意：1）方法的选择；2）不要忽略了测角仪到地面的高度。
第三环节 展示测量对象及说明
活动内容：，把学生分成5～6人一组.引导学生选定测量对象（即旗杆或其他物体），根据上节课的分析设计出本组测量的方案。同时发放记录表。
活 动 报 告 年 月 日
课题
测量示意图
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
计算过程
活动感受
负责人及参加人员
计算者和复核者
指导教师审核意见
备注
活动目的：体验合作，为后面的活动作好准备。
活动的注意事项：1.教师要引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 2.要做好分工。
第四环节 测量活动及数据收集
活动内容：根据自己设计的方案进行测量与填写记录。
活动目的：体验合作、培养学生发现问题解决问题的能力。
活动的注意事项：教师提示要注意的实验的细节：(1)注意实验时的安全.(2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥(3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数.(4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决.
第五环节 统计分析及总结
活动内容：汇报各组实验活动的结果、比较分析结果。反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受。
活动目的：1.总结数学活动经验，培养学生理论联系实际的能力.2.培养学生反思的习惯，提高学生活动的能力.
活动的注意事项：通过学生的感受，教师要引导学生总结测量物体高度的方法及恰当的选择方法。
第六环节 布置作业
补充完善活动报告
四、教学反思
1.本节课是一节活动课，活动的目的是为了让学生体验“生活中的数学”。故在课堂上，要做到收放恰当，注意引导学生体验“用数学解决实际问题，在实际问题中理解数学”。
2.课前的准备、原理的了解是上好本节课的前提；小组的合作交流是上好本节课的保证；全班的交流是对问题解决的升华。
第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考
广东省深圳市滨河中学 杨 霞
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角互余），以及有一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）。而通过本章的学习，学生才更多的认识到一般直角三角形的边角关系，掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，也能利用三角函数知识解决相关的实际问题。
学生活动经验基础：，学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，通过计算器进行了一般角的度数与其对应的三角函数值的互换，也能把简单的实际问题转化为数学问题。因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力。
二、教学任务分析
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“数形结合”思想的理解和应用。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2．通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3．通过联系使学生进一步利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
过程与方法：
练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：基础练习——知识小结——巩固提高——章节回顾——作业布置。
第一环节 基础练习
活动内容：
1、根据给出的三角函数值，由学生给出相应的角（30°，45°，60°）的度数。
2、学生独立练习：教科书第一章复习题A组的1、2、3、4、5、7题
活动目的：通过“回味无穷”让学生熟练掌握特殊角的三角函数值且能根据具体三角函数值说出对应的角的度数；通过做几道练习题，巩固三角函数的相关运算，及对三角函数公式的应用；熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换；解决简单的实际问题。主要是让学生回顾基础知识，巩固基本解题能力，也有利于下一环节学生对知识点的总结。
实际教学效果：这些题涉及到的知识点多，难度不是很大，大部分学生都做得比较快，正确率也高，能起到“抛砖引玉”的效果。
第二环节 知识小结
活动内容：总结和直角三角形相关的边、角的计算，以及本章的知识点。
活动目的：通过知识回顾总结，让学生把所做的练习题与知识点相对应，使学生全面掌握、理解并应用相关知识点。
实际教学效果：学生对本章知识点有了全面、清晰的认识，为下一步在解决实际问题时，把实际问题转化为数学问题打下了基础。
第三环节 巩固提高
活动内容：
1、教科书复习题A组第10题，B组第5题；
2、课外拓展2个小题
课外拓展题题目及答案：
1 如图在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若
C
D
A E B
分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。
中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE与BE的长度关系，再结合等腰Rt△的性质，此题就不难解答了。
解：过D作DE⊥AB于E
∴△DBE和△DEA为Rt△
②如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。
北
C
西 B A
分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。
解：（1）过B作BD⊥AC于D
根据题意得：∠BAC=30°，在Rt△ABD中
∴B处会受到影响。
（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在Rt△DBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt△BAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：
∴该船应在3.8小时内卸完货物。
活动目的： 增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转为数学问题，并能针对性的利用三角函数来解决。其中渗透“数形结合”思想和方法。
实际教学效果： 对第7题有小部分同学需要老师提示，主要是点拨如何将题目的已知与问题联系起来，利用图形的特点来添加辅助线解题，在此基础上第8题大部分学生都能独立完成。 同样，第9题是给学生一个缓冲的容易接受的题目，感受到解决实际问题的基本方法和过程，而第10题则是对学生一个解题能力的挑战，有部分同学能做出一些，只有部分同学解决的较好。通过这4道题的练习，每个学生的解题能力都能到了巩固和提高，层次较高的学生也有机会得到更大空间的锻炼。
第四环节 知识回顾
活动内容：师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系。
活动目的：鼓励学生自己进行章节知识总结，加深印象，形成系统的知识体系。
实际教学效果：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“直角三角形的边角关系”的认识和理解，通过老师的小结以及框图概述，清晰展现各知识点之间的联系，
第五环节 布置作业
活动内容：1、复习题A组6、9题2、复习题B组1、6题3、选作题（附后）
选作题及答案：
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体需求如下：
（1）测量数据尽可能少
（2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间的距离用m表示；如果测D、C间距离用n表示；如果测角用α、β、γ等表示，测倾器高度不变。）
（3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）
H
A D
B C G
分析：要设计一个测量HG高度的方案，且要求测量数据尽可能少，根据以往的经验，若已知AD的长度，再分别测在A和D两处观测的H的仰角即可求出H点距AD的高度。但要求HG的长度还需测得DC的高度，因此采用这种方法，需4个数据；若分别测得在D和C两处观测的H的仰角再测出DC的长度也可以求出HG的长度，而采用这种方案需3个数据，因此本题最佳的解决方案有两套。有了方案第3小题便可轻松解决了。
解：（1）延长AD交HG于M，
方案1：分别测量AD=m，DC=n，在A处测得H的仰角为γ，在D处测得H的仰角为α。
（2）解设HG=x，
方案2：（1）分别在D、C两点测得H的仰角为α、β及DC长为n
H
A γD α
m M
β
B C G
活动目的：在布置了基础型练习题后，根据 “不同学生有不同发展需要”的思想，设计了选作题，使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。
实际教学效果： 加强学生对三角函数与其他运算公式结合的的运算能力，巩固利用三角函数解决楼高的实际问题。选作题让学生学会根据实际背景、有限的条件进行综合分析、思考，多次分散和组合应用三角函数，并在对三角函数的应用中渗透数形结合的思想。
四、教学反思
1．选用的适当的练习题组，做到层次分明
教科书为教师提供了大家都适用的教学素材，而我们可以根据学生的实际情况进行适当调整。我的班级学生总体素质和能力较高，但不可避免也有部分学生请况不同。因此，我只在课本上选用了部分练习题做为基础练习，另外附加了几道难度较大，题目较新课外题分别做为课内练习和课外作业，这可以让不同层次的学生都有不同的施展空间，能得到不通的收获。而且练习题难度层层深入，让学生容易接受，逐步进入状态。
2．练习题复习和知识点总结的恰当结合
复习课要注意知识总结又要兼顾题目练习，时间上容易顾此失彼，而且通常的做法是一上课就总结知识点，这容易让学生觉得枯燥，进而影响整节课的学习状态和学习效率。我这节课不同的处理在于先用几道基础题让学生产生成功的喜悦，在题目中回顾知识点，顺理成章的和学生一起总结知识点；然后在此基础上抛出三角函数的实际应用问题，难度逐步增加的练习题，学生容易接受，有利于学生不断总结方法，提高解题能力，使得学生产生强烈的征服欲；最后在课的最后阶段再次对本章内容进行概述并给出框图，使学生对整章知识有了系统的认识。
这样的处理方式，让学生在练习中将知识清晰化、系统化，又能在知识总结过程中，加深对实际问题的实质剖析和理解。
3．注意改进的方面
本节课内容较不是很多，但是在进行知识总结和难题解决时都比较花时间，因此整个课堂时间比较紧促，可以考虑课前让学生先自己进行知识总结，在课堂上不留思考讨论的时间，直接师生交流总结；此外，最后一道题的时间有可能不够，应灵活处理，也可增加为课后作业。
第二章 二次函数
1.二次函数所描述的关系
广东省深圳市笋岗中学 廖伟环
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题． 让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
教学目标
(一)知识与技能
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)过程与方法
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感态度与价值观
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
教学重点：二次函数的概念
教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备、创设问题情境引入新课、想一想、做一做、归纳小结、课堂反馈、布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容：引导学生复习函数的概念及已经学习过的几种函数：
1.对“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？
2.函数的定义是怎样下的？
3.让我们一起来回忆一下这些函数的一般形式。
活动目的：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔，这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习作好铺垫。
实际教学效果：通过“温故”又可重新唤起学生对变量、自变量、因变量、函数等概念的理解，在回顾以前学习过的具体实例中能更好的帮助学生了解“函数”本质所在，而同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆学习函数的过程。
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：投影片：(§2．1A)
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
请大家先独立思考，再互相交流后回答
活动目的：此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，为引出二次函数的概念作铺垫，使学生感受二次函数与生活的密切联系。第（4）个问题让学生初次接触到本节课所要学习的新函数，为下面的学习作了一引子。
实际教学效果：学生在一个实际问题中第二次回忆起几种变量，及时对第一环节的“温故”进行反馈，而问题的设置由浅入深，学生在初三再学习函数有了好的开端，问题中的变化过程也恰好反映了函数本质所在，学生在不知不觉中也在复习函数的表示方法中的解析式法。开放问题（４）在小组之间互相猜测、互相补充，通过判断对比也加深了对一次函数、反比例函数印象。
第三环节 想一想
活动内容：如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么 （在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象
活动目的：让学生作主，在生活情景中学习数学，带着兴趣学数学，体验每个人都学有用的数学。用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后。从上面的活动中，使学生初步了解新函数的增减性的与众不同和新函数的重要应用 (求最值)。
实际教学效果：学生经过前两个环节的学习，对新函数有了一定了解，事实上新函数的很多相关知识已经出现，学生知道它是确实有别于一次函数、反比例函数的新函数，这种新函数也是从实际问题中出现的，而且新函数的增减性也有别于其它函数。
第四环节 做一做
活动内容：投影片：(§2．1B)
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．（本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．）
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？
活动目的：通过解决生活中数学问题，进一步熟悉用函数解析式反映变化过程，
实际教学效果：学生对本金、利息、利率、本息和等到概念不是很熟悉，需要老师的指引，加之有了上面的学习，之后学生则能够较容易列出函数解析式。
第五环节 归纳总结
活动内容：从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1) +1 (2)y=x+1/x
(3)s=3-2t (4) y=1/x -x
(5) v=Л r
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
活动目的：在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，通过练习加强对二次函数的理解。
实际教学效果：通过对比前面得到函数解析式以及一次函数的定义，学生能够得到二次函数的定义，开始对没有一次项或常数项的二次函数不能判断，对但通过例题练习，学生能较好地掌握二次函数定义。
注意：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
第六环节 课堂反馈
活动内容
①.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）v=10πr (3) s=3-2t
(5) y=(x+3) -x (6) y=3(x-1) +1;
②.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？
③.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
④.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
⑤圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？
活动目的：通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。
实际教学效果：学生基本都能理解二次函数的概念，判断那些函数是二次函数，使学生感受二次函数与生活的密切联系。
第七环节 布置作业
必做题： 课本P36-37习题2.1第1、2题；
选做题： 课本P77B组第2题。
四、教学反思
1．给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算的思想，分段取值，逐步逼近。发现函数与方程的联系（如：令－5x2+100x＝0解得x1＝0，x2=20），发现变与不变的关系（如：发现60000是常量，进而去研究－5x2+100x的值的大小）。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。第二天的教学就能很好地说明这点，在学习第二节课二次函数的图象时，学生能很快想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习不再变得抽象难懂。
2． 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
第二章 二次函数
2.结识抛物线
广东省深圳市滨河中学 邹 宁
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法。在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验。
学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法作出函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法作出函数y＝±x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。为此，本节课的教学目标是：
(一)知识与技能
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。
教学难点：由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、温故知新、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 情境引入（生活中的抛物线）
活动内容：
寻找生活中的抛物线
活动目的：
通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。
实际教学效果：
学生通过开动脑筋，产生联想，寻找出生活中大量的类似抛物线的事物，再通过师生共同鉴定、修正，使学生获得大量对抛物线感性认识的经验。
第二环节 温故知新
活动内容：
复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，（3）根据函数y=x2列表
活动目的：
让学生回忆与本节课有关的主要知识，为本节课探究二次函数的图象和性质做知识上、经验上的准备。
实际教学效果：
通过对有关知识的复习，学生对二次函数的概念、画函数的图象的主要步骤有了进一步的认识。
第三环节 合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质）
活动内容：
1. 用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。
2. 观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：
(1) 你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？
你是如何知道的？
3.二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象
4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。
5.说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质？与同伴交流。
活动目的：
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，
获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
4．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
实际教学效果：
1. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
第四环节 练习与提高
活动内容：
1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。
（1）求A的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
与同伴进行交流.
活动目的：
1.对本节知识进行巩固练习。
2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳入知识系统。
3.培养学生整合知识的能力。
实际教学效果：
1.学生通过练习，进一步认识了二次函数y＝±x2的图象，
理解了二次函数y＝±x2的性质；
3. 让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而培养学生全面思考问题的良好思维习惯。
第五环节 课堂小结
活动内容：
小结：二次函数y=± x2的性质
根据图形填表：
抛物线 y=x2 y=－x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
活动目的：
培养学生整理知识、归纳知识的习惯。
实际教学效果：
学生通过整理、归纳知识，厘清了知识之间的内在联系，有利于知识的储存和应用。
第六环节 布置作业
P41 习题2.2 1,2题
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状.
2．设正方形的边长为a,面积为S,试作出S随a的变化而变化的图象.
四、教学反思
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在以前已学过解一元二次方程，等腰三角形等知识，本节课根据学生的实际情况增加了两道较综合的练习，目的是引导学生及时整合所学知识，有利于培养学生分析问题解决问题的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
小组合作学习交流，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助