2021-2022苏科版数学七年级下册9.4乘法公式2平方差公式（基础）同步练习
一、单选题
1．（2021七下·盐城期末）下列式子中，能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算中：①x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+1；②（a+b）2=a2+b2；③（x﹣4）2=x2﹣4x+16；④（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=25a2﹣1；⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，错误的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2020七下·江阴期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·昆山月考）算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．（2020七下·鼓楼期中）分别表示出下图阴影部分的面积，可以验证公式（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=(a+b)(a-b) D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
6．（2019七上·沛县期末）如图，从边长为 的大正方形纸片中剪去一个边长为 的小正方形 ，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021·秦淮模拟）计算（a－b）2－（a＋b）2的结果是 .
8．（2021八上·如皋期中）小丽在计算 时，把 写成 后，发现可以连续运用平方差公式进行计算.用类似方法计算： .
9．（2020七下·高淳期末）若 ， ，则代数式a+b的值是 .
10．（2020七下·玄武期中） ，则 .
11．（2020七下·鼓楼期中） .
12．（2020七下·高新期中）如图，大正方形的边长为 小正方形的边长为 若用 表示四个小长方形两边长（x>y）， 观察图案以下关系式正确的是 . （填序号）
① ；②③ ；④
三、计算题
13．（2020七下·沭阳期末）计算：
（1） ；
（2） .
14．（2021七下·江阴期中）先化简，再求值： ，其中
四、综合题
15．（2020七下·扬州期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.
（1）探究：上述操作能验证的等式是：（请选择正确的一个）
A. B. C.
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值；
②计算： .
16．（2020·海门模拟）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1
②52﹣32＝8×2
③72﹣52＝8×3
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？
17．（2021七上·肇源期末）
（1）如图1所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是 ；
（2）由（1）可以得到一个乘法公式是 ；
（3）利用你得到的公式计算：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A选项，原式=x2 y2，符合题意；
B选项，没有相反项，不符合题意；
C选项，没有相同项，不符合题意；
D选项，没有相同的项，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：①x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+x，错误；
②（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；
③（x﹣4）2=x2﹣8x+16，错误；
④（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=﹣25a2+1，错误；
⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，正确，
∴错误的有4个，
故选C
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，本选项错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项错误；
D. ，本选项正确.
故答案为：D.
【分析】由完全平方公式可得；由平方差公式可得；由多项式乘多项式可得；由互为相反数两数的平方相等可得 ,从而即可一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（232-1）×（232+1）+1
=264-1+1
=264，
因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，
所以264的个位数是6.
故答案为：B.
【分析】原式可变形为(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(232+1)+1，利用平方差公式计算可得原式=264，分析可知：底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：梯形面积等于： ，
正方形中阴影部分面积为：a2-b2，
故a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】直接利用图形面积求法得出等式，进而得出答案.
6．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：长方形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4-a-1）
=3（2a+5）,
故答案为：B.
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用.
7．【答案】－4ab
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a－b）2－（a＋b）2，
= ，
= ，
= .
故答案为： .
【分析】由题意把多项式中的（a+b）和（a-b）看作一个整体，然后用平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”，再合并同类项并根据单项式乘以单项式法则计算即可求解.
8．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】解：
.
故答案为：2.
【分析】原式可变形为，然后利用平方差公式进行计算.
9．【答案】-2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：-2.
【分析】利用平方差公式进行因式分解，再整体代入求出答案.
10．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，
开方得：a+b=±10，
故答案为：±10
【分析】原式利用平方差公式化简，整理即可求出a+b的值.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵49y2-x2 =(-7y)2-x2，
∴(-7x+y)(-7x-y)=49y2-x2.
故答案为-7x-y.
【分析】根据平方差公式进行解答.
12．【答案】①②③④
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解： 由图得：x+y=m，x-y=n.
∵m2-n2=4xy，
∴ ，故①正确；
由图得x+y=m，故②正确；
∵ ，
故③正确；
∵ ，
故④正确.
故答案为：①②③④
【分析】由图得：x+y=m，x-y=n.根据题意对各式进行变形即可得出结论.
13．【答案】（1）解： x2 （﹣2xy）3
＝ x2 （﹣8） x3y3
＝﹣ x5y3；
（2）解：（a+b+4）（a﹣b+4）
＝（a+4）2﹣b2
＝a2+8a+16﹣b2.
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的计算法则进行计算；（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
14．【答案】解：原式= ，
当 ，即 时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；一元二次方程的其他应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式完全平方公式以及去括号法则可化简原式，再由 可得 代入可得可得.
15．【答案】（1）解：根据图形得：a2-b2=（a+b）（a-b），
上述操作能验证的等式是A，
故答案为：A；
（2）解：①∵ ，
∵ ，
∴2x-3y=24÷4=3；
②
【知识点】平方差公式及应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果.
16．【答案】（1）解：由题意得：92﹣72＝8×4，112﹣92＝8×5
（2）解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数.
（3）解：不正确.
理由：设这两个偶数为2n和2n+2，
则（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2﹣2n）（2n+2+2n）＝8n+4，
因为8n+4不是8的倍数，故这个结论不正确.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知算式写出即可；（2）利用平方差公式计算得出答案；（3）这两个偶数为2n和2n+2，利用平方差公式计算得出答案.
17．【答案】（1）a2-b2；（a+b）（a-b）
（2）（a+b）（a-b）=a2-b2
（3）解：20212-2022×2020
=20212-（2021+1）（2021-1）
=20212-20212+1
=1．
【知识点】代数式求值；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2-b2，图②长方形的长为a+b，宽为a-b，所以面积为：（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影部分的面积；再利用矩形的面积表示出矩形的面积；
（2）根据阴影部分的面积即可得到等式（a+b）（a-b）=a2-b2 ；
（3）根据平方差公式可将代数式20212-2022×2020变形为20212-（2021+1）（2021-1），再计算即可。
1 / 12021-2022苏科版数学七年级下册9.4乘法公式2平方差公式（基础）同步练习
一、单选题
1．（2021七下·盐城期末）下列式子中，能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A选项，原式=x2 y2，符合题意；
B选项，没有相反项，不符合题意；
C选项，没有相同项，不符合题意；
D选项，没有相同的项，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断.
2．下列计算中：①x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+1；②（a+b）2=a2+b2；③（x﹣4）2=x2﹣4x+16；④（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=25a2﹣1；⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，错误的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：①x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+x，错误；
②（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；
③（x﹣4）2=x2﹣8x+16，错误；
④（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=﹣25a2+1，错误；
⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，正确，
∴错误的有4个，
故选C
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
3．（2020七下·江阴期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，本选项错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项错误；
D. ，本选项正确.
故答案为：D.
【分析】由完全平方公式可得；由平方差公式可得；由多项式乘多项式可得；由互为相反数两数的平方相等可得 ,从而即可一一判断得出答案.
4．（2021七下·昆山月考）算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（232-1）×（232+1）+1
=264-1+1
=264，
因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，
所以264的个位数是6.
故答案为：B.
【分析】原式可变形为(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(232+1)+1，利用平方差公式计算可得原式=264，分析可知：底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，据此解答即可.
5．（2020七下·鼓楼期中）分别表示出下图阴影部分的面积，可以验证公式（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=(a+b)(a-b) D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：梯形面积等于： ，
正方形中阴影部分面积为：a2-b2，
故a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】直接利用图形面积求法得出等式，进而得出答案.
6．（2019七上·沛县期末）如图，从边长为 的大正方形纸片中剪去一个边长为 的小正方形 ，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：长方形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4-a-1）
=3（2a+5）,
故答案为：B.
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用.
二、填空题
7．（2021·秦淮模拟）计算（a－b）2－（a＋b）2的结果是 .
【答案】－4ab
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a－b）2－（a＋b）2，
= ，
= ，
= .
故答案为： .
【分析】由题意把多项式中的（a+b）和（a-b）看作一个整体，然后用平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”，再合并同类项并根据单项式乘以单项式法则计算即可求解.
8．（2021八上·如皋期中）小丽在计算 时，把 写成 后，发现可以连续运用平方差公式进行计算.用类似方法计算： .
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】解：
.
故答案为：2.
【分析】原式可变形为，然后利用平方差公式进行计算.
9．（2020七下·高淳期末）若 ， ，则代数式a+b的值是 .
【答案】-2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：-2.
【分析】利用平方差公式进行因式分解，再整体代入求出答案.
10．（2020七下·玄武期中） ，则 .
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，
开方得：a+b=±10，
故答案为：±10
【分析】原式利用平方差公式化简，整理即可求出a+b的值.
11．（2020七下·鼓楼期中） .
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵49y2-x2 =(-7y)2-x2，
∴(-7x+y)(-7x-y)=49y2-x2.
故答案为-7x-y.
【分析】根据平方差公式进行解答.
12．（2020七下·高新期中）如图，大正方形的边长为 小正方形的边长为 若用 表示四个小长方形两边长（x>y）， 观察图案以下关系式正确的是 . （填序号）
① ；②③ ；④
【答案】①②③④
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解： 由图得：x+y=m，x-y=n.
∵m2-n2=4xy，
∴ ，故①正确；
由图得x+y=m，故②正确；
∵ ，
故③正确；
∵ ，
故④正确.
故答案为：①②③④
【分析】由图得：x+y=m，x-y=n.根据题意对各式进行变形即可得出结论.
三、计算题
13．（2020七下·沭阳期末）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解： x2 （﹣2xy）3
＝ x2 （﹣8） x3y3
＝﹣ x5y3；
（2）解：（a+b+4）（a﹣b+4）
＝（a+4）2﹣b2
＝a2+8a+16﹣b2.
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的计算法则进行计算；（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
14．（2021七下·江阴期中）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：原式= ，
当 ，即 时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；一元二次方程的其他应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式完全平方公式以及去括号法则可化简原式，再由 可得 代入可得可得.
四、综合题
15．（2020七下·扬州期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.
（1）探究：上述操作能验证的等式是：（请选择正确的一个）
A. B. C.
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值；
②计算： .
【答案】（1）解：根据图形得：a2-b2=（a+b）（a-b），
上述操作能验证的等式是A，
故答案为：A；
（2）解：①∵ ，
∵ ，
∴2x-3y=24÷4=3；
②
【知识点】平方差公式及应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果.
16．（2020·海门模拟）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1
②52﹣32＝8×2
③72﹣52＝8×3
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？
【答案】（1）解：由题意得：92﹣72＝8×4，112﹣92＝8×5
（2）解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数.
（3）解：不正确.
理由：设这两个偶数为2n和2n+2，
则（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2﹣2n）（2n+2+2n）＝8n+4，
因为8n+4不是8的倍数，故这个结论不正确.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知算式写出即可；（2）利用平方差公式计算得出答案；（3）这两个偶数为2n和2n+2，利用平方差公式计算得出答案.
17．（2021七上·肇源期末）
（1）如图1所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是 ；
（2）由（1）可以得到一个乘法公式是 ；
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1）a2-b2；（a+b）（a-b）
（2）（a+b）（a-b）=a2-b2
（3）解：20212-2022×2020
=20212-（2021+1）（2021-1）
=20212-20212+1
=1．
【知识点】代数式求值；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2-b2，图②长方形的长为a+b，宽为a-b，所以面积为：（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影部分的面积；再利用矩形的面积表示出矩形的面积；
（2）根据阴影部分的面积即可得到等式（a+b）（a-b）=a2-b2 ；
（3）根据平方差公式可将代数式20212-2022×2020变形为20212-（2021+1）（2021-1），再计算即可。
1 / 1
