2021-2022苏科版数学七年级下册9.4乘法公式2平方差公式（提高）同步练习
一、单选题
1．（2020七下·淮安期末）下列各运算中，正确的是 （ ）
A．（m－2）2＝m2－4 B．（a＋1）（－a－1）＝a2－1
C．（1＋2a）2＝1＋2a＋4a2 D．（a＋1）（－1＋a）＝a2－1
2．（2019七下·兴化期末）下列多项式相乘，可以用平方差公式直接计算的是（ ）
A．(x＋5y)(x－5y) B．(－x＋y)(y－x)
C．(x＋3y)(2x－3y) D．(3x－2y)(2y－3x)
3．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）下列各式中，与（1﹣a）（﹣a﹣1）相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2﹣2a+1 C．a2﹣2a﹣1 D．a2+1
4．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）计算（a+1）（a-1）（a2+1）(a2-1)的结果是（ ）．
A．a8-1 B．a8-a4+1
C．a8-2a4+1 D．以上答案都不对
5．（2019七下·新吴期中）如图，在边长为 a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b )，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是 （ ）
A．a2 - b2 = (a + b)(a - b) B．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 D．a2 - ab = a(a - b)
6．（2021七上·龙凤期中）记 ，且 ，则 （ ）．
A．128 B．32 C．64 D．16
二、填空题
7．（2021七下·姑苏期中）已知 ， ，并满足 ，则 .
8．（2019七上·海安期末）若x，y互为相反数，则多项式x2﹣y2的值为 .
9．（2019七下·玄武期中）计算：20192-2017×2021= ．
10．（﹣x﹣11y）（ ）=﹣121y2．
11．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，分别化简下列各式并填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
…根据上述规律，可得（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=
请你利用上面的结论，完成下面问题：
计算：299+298+297+…+2+1，并判断末位数字是
三、解答题
13．（2021七下·江阴期中）先化简，再求值： ，其中
14．已知a-b=30，b-c=25，且a2-c2=1650，求a+c的值.
15．（2020七下·株洲期末）已知： ， ，求 的值．
四、综合题
16．（平方差公式+++++++++++ ）你能化简（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
①（x﹣1）（x+1）= ；
②（x﹣1）（x2+x+1）= ；
③（x﹣1）（x3+x2+1）= ；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）= ．
（2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1．
17．（2020七下·高新期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如 ， ···，因此 都是奇巧数.
（1） 是奇巧数吗？为什么？
（2）奇巧数是 的倍数吗？为什么？
18．（2020七下·溧水期末）如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）.
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 .
① a2＋ab＝a（a+b） ② a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ③ a2－b2＝（a＋b）（a－b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值；
②计算
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A. 原式＝m2－4m+4，故不正确；
B. 原式=-(a+1)2＝-a2－2a-1，故不正确；
C. 原式＝1＋4a＋4a2，故不正确；
D. 原式＝a2－1，正确.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式、平方差公式逐项计算即可.
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. (x＋5y)(x－5y)能用平方差公式进行计算，故符合题意；
B. (－x＋y)(y－x)=－(x－y)(y－x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
C. (x＋3y)(2x－3y)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
D. (3x－2y)(2y－3x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两个二项式相乘，若果各有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可利用平方差公式直接计算。
3．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（﹣a+1）（﹣a﹣1）=（﹣a）2﹣1=a2﹣1．
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式，可化为最简结果。
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（a+1）（a-1）（a2+1）（a4+1）
=（a2-1）（a2+1）（a4+1）
=（a4-1）（a4+1）
=a8-1
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式，可一一化简，得出结果。
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）.
故答案为：A.
【分析】利用割补法可知第一个图形阴影部分的面积为a2-b2；第二个梯形的上底是2b，下底是2a，高是（a-b），根据梯形的面积计算公式得出（a+b）（a-b），根据两个图形的阴影部分的面积相等即可得出a2-b2=（a+b）（a-b）。
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴n=64.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式，配上（2-1），将x的结果化简为，再代入计算即可。
7．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
.
故答案是：
【分析】首先根据(a+b)2=a2+2ab+b2结合已知条件求出a2+b2的值，然后根据(a-b)2=a2-2ab+b2求出a-b的值，接下来根据a>b对a-b的值进行取舍，最后根据a2-b2=(a+b)(a-b)进行计算.
8．【答案】0
【知识点】相反数及有理数的相反数；代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x，y互为相反数，
∴x+y＝0，
∴x2﹣y2＝（x+y） （x﹣y）＝0×（x﹣y）＝0.
故答案为0.
【分析】首先根据相反数的性质，得出x+y＝0，然后将多项式进行转化形式，即可得解.
9．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：20192-2017×2021
=20192-（2019-2）（2019+2）
=20192-20192+22
=4
故答案为：4．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
10．【答案】﹣x+11y
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（﹣x﹣11y）（﹣x+11y）=﹣121y2．
故答案为；﹣x+11y．
【分析】依据平方差公式回答即可．
11．【答案】3m+6
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：依题意得剩余部分为
（2m+3）2﹣（m+3）2=4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9=3m2+6m，
而拼成的矩形一边长为m，
∴另一边长是（3m2+6m）÷m=3m+6．
故答案为：3m+6．
【分析】由于边长为（2m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为m，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
12．【答案】x100﹣1；5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
故（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1
故答案为：x100﹣1；
根据以上分析：
299+298+297+…+2+1=（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）=2100﹣1；
末位数字是5．
【分析】根据平方差公式，和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1，根据上述结论计算下列式子即可．
13．【答案】解：原式= ，
当 ，即 时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；一元二次方程的其他应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式完全平方公式以及去括号法则可化简原式，再由 可得 代入可得可得.
14．【答案】解：由a-b=30，b-c=25，可得a-c=55；因为a2-c2=（a+c）（a-c）=1650，
所以a+c=1650÷（a-c）=1650÷55=30.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先利用已知，可以得到 a-c=55 ，再利用平方差公式，得到 a2-c2=（a+c）（a-c） ，从而得出结果。
15．【答案】解：
整理得：
因为 ，
所以
又
所以
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式整理 得 ，根据 可进一步求出 的值．
16．【答案】（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣1．
（2）299+298+…+2+1=（2﹣1）×（299+298+…+2+1）=2100﹣1．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=x100﹣1；
故答案为：（1）①x2﹣1；②x3﹣1；③x4﹣1；x100﹣1．
【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
17．【答案】（1）解：36是奇巧数，理由： ；
50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50
（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，
则 ，奇巧数是 的倍数.
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据定义是两个现需偶数的平方差判断即可.（2）将 进行运算、化简，便可发现是4的倍数.
18．【答案】（1）③
（2）解：
又
②原式
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）第一个阴影部分的面积是 ，第二个图形的面积是 ，
则
故答案为：③
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）①把 利用（1）中的结论写成两个式子相乘的形式，然后把 代入即可求解；②利用（1）中的结论化成式子相乘的形式即可求解.
1 / 12021-2022苏科版数学七年级下册9.4乘法公式2平方差公式（提高）同步练习
一、单选题
1．（2020七下·淮安期末）下列各运算中，正确的是 （ ）
A．（m－2）2＝m2－4 B．（a＋1）（－a－1）＝a2－1
C．（1＋2a）2＝1＋2a＋4a2 D．（a＋1）（－1＋a）＝a2－1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A. 原式＝m2－4m+4，故不正确；
B. 原式=-(a+1)2＝-a2－2a-1，故不正确；
C. 原式＝1＋4a＋4a2，故不正确；
D. 原式＝a2－1，正确.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式、平方差公式逐项计算即可.
2．（2019七下·兴化期末）下列多项式相乘，可以用平方差公式直接计算的是（ ）
A．(x＋5y)(x－5y) B．(－x＋y)(y－x)
C．(x＋3y)(2x－3y) D．(3x－2y)(2y－3x)
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. (x＋5y)(x－5y)能用平方差公式进行计算，故符合题意；
B. (－x＋y)(y－x)=－(x－y)(y－x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
C. (x＋3y)(2x－3y)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
D. (3x－2y)(2y－3x)不能用平方差公式进行计算，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两个二项式相乘，若果各有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可利用平方差公式直接计算。
3．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）下列各式中，与（1﹣a）（﹣a﹣1）相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2﹣2a+1 C．a2﹣2a﹣1 D．a2+1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（﹣a+1）（﹣a﹣1）=（﹣a）2﹣1=a2﹣1．
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式，可化为最简结果。
4．（人教版八年级数学上册 14.2.1 平方差公式 同步练习）计算（a+1）（a-1）（a2+1）(a2-1)的结果是（ ）．
A．a8-1 B．a8-a4+1
C．a8-2a4+1 D．以上答案都不对
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（a+1）（a-1）（a2+1）（a4+1）
=（a2-1）（a2+1）（a4+1）
=（a4-1）（a4+1）
=a8-1
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式，可一一化简，得出结果。
5．（2019七下·新吴期中）如图，在边长为 a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b )，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是 （ ）
A．a2 - b2 = (a + b)(a - b) B．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 D．a2 - ab = a(a - b)
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）.
故答案为：A.
【分析】利用割补法可知第一个图形阴影部分的面积为a2-b2；第二个梯形的上底是2b，下底是2a，高是（a-b），根据梯形的面积计算公式得出（a+b）（a-b），根据两个图形的阴影部分的面积相等即可得出a2-b2=（a+b）（a-b）。
6．（2021七上·龙凤期中）记 ，且 ，则 （ ）．
A．128 B．32 C．64 D．16
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴n=64.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式，配上（2-1），将x的结果化简为，再代入计算即可。
二、填空题
7．（2021七下·姑苏期中）已知 ， ，并满足 ，则 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
.
故答案是：
【分析】首先根据(a+b)2=a2+2ab+b2结合已知条件求出a2+b2的值，然后根据(a-b)2=a2-2ab+b2求出a-b的值，接下来根据a>b对a-b的值进行取舍，最后根据a2-b2=(a+b)(a-b)进行计算.
8．（2019七上·海安期末）若x，y互为相反数，则多项式x2﹣y2的值为 .
【答案】0
【知识点】相反数及有理数的相反数；代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x，y互为相反数，
∴x+y＝0，
∴x2﹣y2＝（x+y） （x﹣y）＝0×（x﹣y）＝0.
故答案为0.
【分析】首先根据相反数的性质，得出x+y＝0，然后将多项式进行转化形式，即可得解.
9．（2019七下·玄武期中）计算：20192-2017×2021= ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：20192-2017×2021
=20192-（2019-2）（2019+2）
=20192-20192+22
=4
故答案为：4．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
10．（﹣x﹣11y）（ ）=﹣121y2．
【答案】﹣x+11y
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（﹣x﹣11y）（﹣x+11y）=﹣121y2．
故答案为；﹣x+11y．
【分析】依据平方差公式回答即可．
11．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为
【答案】3m+6
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：依题意得剩余部分为
（2m+3）2﹣（m+3）2=4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9=3m2+6m，
而拼成的矩形一边长为m，
∴另一边长是（3m2+6m）÷m=3m+6．
故答案为：3m+6．
【分析】由于边长为（2m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为m，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，分别化简下列各式并填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
…根据上述规律，可得（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=
请你利用上面的结论，完成下面问题：
计算：299+298+297+…+2+1，并判断末位数字是
【答案】x100﹣1；5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
故（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1
故答案为：x100﹣1；
根据以上分析：
299+298+297+…+2+1=（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）=2100﹣1；
末位数字是5．
【分析】根据平方差公式，和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1，根据上述结论计算下列式子即可．
三、解答题
13．（2021七下·江阴期中）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：原式= ，
当 ，即 时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；一元二次方程的其他应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式完全平方公式以及去括号法则可化简原式，再由 可得 代入可得可得.
14．已知a-b=30，b-c=25，且a2-c2=1650，求a+c的值.
【答案】解：由a-b=30，b-c=25，可得a-c=55；因为a2-c2=（a+c）（a-c）=1650，
所以a+c=1650÷（a-c）=1650÷55=30.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先利用已知，可以得到 a-c=55 ，再利用平方差公式，得到 a2-c2=（a+c）（a-c） ，从而得出结果。
15．（2020七下·株洲期末）已知： ， ，求 的值．
【答案】解：
整理得：
因为 ，
所以
又
所以
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式整理 得 ，根据 可进一步求出 的值．
四、综合题
16．（平方差公式+++++++++++ ）你能化简（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
①（x﹣1）（x+1）= ；
②（x﹣1）（x2+x+1）= ；
③（x﹣1）（x3+x2+1）= ；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）= ．
（2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+…+2+1．
【答案】（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣1．
（2）299+298+…+2+1=（2﹣1）×（299+298+…+2+1）=2100﹣1．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=x100﹣1；
故答案为：（1）①x2﹣1；②x3﹣1；③x4﹣1；x100﹣1．
【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
17．（2020七下·高新期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如 ， ···，因此 都是奇巧数.
（1） 是奇巧数吗？为什么？
（2）奇巧数是 的倍数吗？为什么？
【答案】（1）解：36是奇巧数，理由： ；
50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50
（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，
则 ，奇巧数是 的倍数.
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据定义是两个现需偶数的平方差判断即可.（2）将 进行运算、化简，便可发现是4的倍数.
18．（2020七下·溧水期末）如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）.
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 .
① a2＋ab＝a（a+b） ② a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ③ a2－b2＝（a＋b）（a－b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值；
②计算
【答案】（1）③
（2）解：
又
②原式
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）第一个阴影部分的面积是 ，第二个图形的面积是 ，
则
故答案为：③
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）①把 利用（1）中的结论写成两个式子相乘的形式，然后把 代入即可求解；②利用（1）中的结论化成式子相乘的形式即可求解.
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