2021-2022苏科版数学七年级下册9.4乘法公式综合同步练习
一、单选题
1．（2020七下·南京期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．（x+2）（x-2）=x2-4
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：根据同类项的合并，可知 与 不是同类项，不能计算，故不正确；
根据积的乘方等于个个因式分别乘方，可知 ，故不正确；
根据完全平方公式的特点，可知 ，故不正确；
根据平方差公式的特点，可知（x+2）（x-2）=x2-4，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据整式的运算法则和性质，结合乘方公式注意判断即可.
2．（2020七下·张家港期末）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的两边长（x＞y），观察图案及以下关系式：① ；② ；③ ；④ .其中正确的关系式有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：由图形可知， ， ，因此①正确；
于是有： ，因此③正确；
，因此②不正确；
，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为： .
【分析】根据完全平方公式，整式的恒等变形，得出 、 与 、 之间的关系，分别进行计算即可.
3．（2020七下·无锡月考）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
则
故选：D．
【分析】利用平方差公式： 计算即可．
4．（2020七下·常熟期中）若x2+（k+2）x+9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．4 B．±4 C．-8 D．4或-8
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+（k+2）x+9是完全平方式，
∴x2+（k+2）x+9= x2+（k+2）x+32=（x±3）2= x2±6x+9
∴k+2=±6
解得：k=4或-8
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式： 即可得出结论.
5．（2020七下·南京期中）下列多项式相乘时，可用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 不能用平方差公式计算，所以本选项错误；
B、 不能用平方差公式计算，所以本选项错误；
C、 ，能用平方差公式计算，所以本选项正确；
D、 不能用平方差公式计算，所以本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘法的平方差公式：两个二项式中必须有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同 的特点逐项判断即可.
6．（2020七下·太仓期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解： ， .
所以
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积=长 宽，分别表示出甲乙两个图形的面积，即可得到答案.
二、填空题
7．（2020七下·仪征期末）若 ，则 = .
【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：-1.
【分析】利用平方差公式将原多项式分解因式，然后整体代入进行计算，即可得到答案.
8．（2020七下·高港期中）计算：(-m-n)(m-n)=（ ）
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】(-m-n)(m-n)
(n+m)(n-m)
.
故答案为： .
【分析】根据平方差公式进行计算即可.
9．（2020七下·沭阳期中）若代数式 是一个完全平方式，则 .
【答案】9或-7
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】∵x2+（a-1）x+16是一个完全平方式，
∴a-1=±8，
解得：a=9或-7，
故答案为：9或-7
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值.
10．（2020七下·江阴期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上.分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME.设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15.则图中阴影部分的面积为 .
【答案】45
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝ ，
∴S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM
＝a2＋b2
＝a2＋b2﹣ （a＋b）2
＝（a＋b）2﹣2ab﹣ （a＋b）2
＝100﹣30﹣25
＝45，
故答案为：45.
【分析】依据AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，可得AM＝BM＝ ，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM，即可得到图中阴影部分的面积.
11．（2020七下·遵化期中）已知 ，化简 = 。
【答案】
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】原式=x2+4xy+4y2-(x2-y2)，
=x2+4xy+4y2-x2+y2，
=5y2+4xy，
当x=-2，y=时，
原式=5×（）2+4×2×=.
【分析】利用整式的混合运算将原式化简，然后将x、y的值代入计算即可.
12．（2021七下·杭州开学考）如果是一个完全平方式，那么的值为 .
【答案】±5
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+2mx+25=x2+2mx+52，
∴2mx=±2×5×x，
解得m=±5.
故答案为：±5.
【分析】根据完全平方公式的特点，可得2mx=±2×5×x，据此解答即可.
三、计算题
13．（2020七下·仪征期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
=4；
（2）解：
=
= ；
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）由负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义，分别进行化简，再合并即可；
（2）由平方差公式、整式乘法进行化简，再合并即可.
14．（2019七下·赣榆期中）先化简，再求值：（3x+2）（3x-2）-5x（x+1）-（x-1）2，其中x2-x=10．
【答案】解：（3x+2）（3x-2）-5x（x+1）-（x-1）2
=9x2-4-5x2-5x-x2+2x-1
=3x2-3x-5；
当x2-x=10时，
原式=3×10-5=25．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将代数式化简为3x2-3x-5，再将x2-x=10整体代入即可；
15．（2020七下·泰兴期中）求代数式的值：2（x﹣3）2+（2x+1）（x+1）﹣（x+2）（x﹣2），其中x2﹣3x+1=0.
【答案】解：原式＝
所以上式＝
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先化简代数式，再利用整体代入求值即可得到答案.
四、解答题
16．（2019七下·苏州期末）已知 ， .求下列各式的值：
（1） .
（2） .
【答案】（1）解：
两式相减可得：
（2）解： = =2
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将x-2y=3的两边同时平方，再与x2-2xy+4y2=13建立方程组，再将两方程相减，可求出xy的值。
（2）将已知代数式提取公因式xy，可得到xy（x-2y），再整体代入求值。
17．（2021七下·于洪期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a＋b＝4，a2＋b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2＋（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b=4，
∴（a+b）2=16．
∴a2+2ab+b2=16．
∵a2+b2=10，
∴ab=3．
②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1．
∵（x-2021）2+（x-2019）2=130，
∴（a-1）2+（a+1）2=130．
∴a2-2a+1+a2+2a+1=130．
∴2a2=128．
∴a2=64．
即（x-2020）2=64．
∴x-2020=±8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S=（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S=a2+2ab+b2．
∴（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【分析】（1）图形②时边长为（a＋b）的正方形，他的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形 组合而成，由此结论可得；
（2）①把a+b=4进行平方，结合a2＋b2＝10即可求得ab的值；②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1则有（a-1）2+（a+1）2=130，进行整理可得a2=64，即可得出答案。
18．（2021七下·瑶海期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当(x+2)
2=0时，(x+2)
2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1。
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当x=_ 时， 代数式x2-6x+12的最小值是_ ；
（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x= 时，y有最_ 值（填“大”或“小”），这个值是_
（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值。
【答案】（1）3；3
（2）-1；大；-2
（3）解： 原式=（x-1）2-6
∵（x-1）2≥0
∴（x-1）2-6≥-6
∴当x=1时，y+x的最小值为-6.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵x2+6x+12=（x2+6x+9）+3=（x+3）2+3
∵（x+3）2+3≥3
∴当（x+3）2=0时，（x+3）2的值最小为0
∴当x=-3时，（x+3）2+3的最小值为3
（2）同理，原式=-（x-1）2-2
∵-（x-1）2≤0
∴-（x-1）2-2≤-2
∴x=1时，-（x-1）2-2有最大值-2
【分析】（1）根据完全平方公式，根据题意，计算得到答案即可；
（2）根据完全平方公式的性质，根据x的取值范围，判断y的最大值个最小值；
（3）同理，根据乘法公式的运用，求出最小值即可。
1 / 12021-2022苏科版数学七年级下册9.4乘法公式综合同步练习
一、单选题
1．（2020七下·南京期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．（x+2）（x-2）=x2-4
2．（2020七下·张家港期末）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的两边长（x＞y），观察图案及以下关系式：① ；② ；③ ；④ .其中正确的关系式有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
3．（2020七下·无锡月考）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七下·常熟期中）若x2+（k+2）x+9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．4 B．±4 C．-8 D．4或-8
5．（2020七下·南京期中）下列多项式相乘时，可用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020七下·太仓期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2020七下·仪征期末）若 ，则 = .
8．（2020七下·高港期中）计算：(-m-n)(m-n)=（ ）
9．（2020七下·沭阳期中）若代数式 是一个完全平方式，则 .
10．（2020七下·江阴期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上.分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME.设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15.则图中阴影部分的面积为 .
11．（2020七下·遵化期中）已知 ，化简 = 。
12．（2021七下·杭州开学考）如果是一个完全平方式，那么的值为 .
三、计算题
13．（2020七下·仪征期末）计算：
（1）
（2）
14．（2019七下·赣榆期中）先化简，再求值：（3x+2）（3x-2）-5x（x+1）-（x-1）2，其中x2-x=10．
15．（2020七下·泰兴期中）求代数式的值：2（x﹣3）2+（2x+1）（x+1）﹣（x+2）（x﹣2），其中x2﹣3x+1=0.
四、解答题
16．（2019七下·苏州期末）已知 ， .求下列各式的值：
（1） .
（2） .
17．（2021七下·于洪期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a＋b＝4，a2＋b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2＋（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
18．（2021七下·瑶海期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当(x+2)
2=0时，(x+2)
2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1。
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当x=_ 时， 代数式x2-6x+12的最小值是_ ；
（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x= 时，y有最_ 值（填“大”或“小”），这个值是_
（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：根据同类项的合并，可知 与 不是同类项，不能计算，故不正确；
根据积的乘方等于个个因式分别乘方，可知 ，故不正确；
根据完全平方公式的特点，可知 ，故不正确；
根据平方差公式的特点，可知（x+2）（x-2）=x2-4，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据整式的运算法则和性质，结合乘方公式注意判断即可.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：由图形可知， ， ，因此①正确；
于是有： ，因此③正确；
，因此②不正确；
，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为： .
【分析】根据完全平方公式，整式的恒等变形，得出 、 与 、 之间的关系，分别进行计算即可.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
则
故选：D．
【分析】利用平方差公式： 计算即可．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+（k+2）x+9是完全平方式，
∴x2+（k+2）x+9= x2+（k+2）x+32=（x±3）2= x2±6x+9
∴k+2=±6
解得：k=4或-8
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式： 即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 不能用平方差公式计算，所以本选项错误；
B、 不能用平方差公式计算，所以本选项错误；
C、 ，能用平方差公式计算，所以本选项正确；
D、 不能用平方差公式计算，所以本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘法的平方差公式：两个二项式中必须有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同 的特点逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解： ， .
所以
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积=长 宽，分别表示出甲乙两个图形的面积，即可得到答案.
7．【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：-1.
【分析】利用平方差公式将原多项式分解因式，然后整体代入进行计算，即可得到答案.
8．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】(-m-n)(m-n)
(n+m)(n-m)
.
故答案为： .
【分析】根据平方差公式进行计算即可.
9．【答案】9或-7
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】∵x2+（a-1）x+16是一个完全平方式，
∴a-1=±8，
解得：a=9或-7，
故答案为：9或-7
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值.
10．【答案】45
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝ ，
∴S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM
＝a2＋b2
＝a2＋b2﹣ （a＋b）2
＝（a＋b）2﹣2ab﹣ （a＋b）2
＝100﹣30﹣25
＝45，
故答案为：45.
【分析】依据AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，可得AM＝BM＝ ，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM，即可得到图中阴影部分的面积.
11．【答案】
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】原式=x2+4xy+4y2-(x2-y2)，
=x2+4xy+4y2-x2+y2，
=5y2+4xy，
当x=-2，y=时，
原式=5×（）2+4×2×=.
【分析】利用整式的混合运算将原式化简，然后将x、y的值代入计算即可.
12．【答案】±5
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+2mx+25=x2+2mx+52，
∴2mx=±2×5×x，
解得m=±5.
故答案为：±5.
【分析】根据完全平方公式的特点，可得2mx=±2×5×x，据此解答即可.
13．【答案】（1）解：
=
=4；
（2）解：
=
= ；
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）由负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义，分别进行化简，再合并即可；
（2）由平方差公式、整式乘法进行化简，再合并即可.
14．【答案】解：（3x+2）（3x-2）-5x（x+1）-（x-1）2
=9x2-4-5x2-5x-x2+2x-1
=3x2-3x-5；
当x2-x=10时，
原式=3×10-5=25．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将代数式化简为3x2-3x-5，再将x2-x=10整体代入即可；
15．【答案】解：原式＝
所以上式＝
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先化简代数式，再利用整体代入求值即可得到答案.
16．【答案】（1）解：
两式相减可得：
（2）解： = =2
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将x-2y=3的两边同时平方，再与x2-2xy+4y2=13建立方程组，再将两方程相减，可求出xy的值。
（2）将已知代数式提取公因式xy，可得到xy（x-2y），再整体代入求值。
17．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b=4，
∴（a+b）2=16．
∴a2+2ab+b2=16．
∵a2+b2=10，
∴ab=3．
②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1．
∵（x-2021）2+（x-2019）2=130，
∴（a-1）2+（a+1）2=130．
∴a2-2a+1+a2+2a+1=130．
∴2a2=128．
∴a2=64．
即（x-2020）2=64．
∴x-2020=±8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S=（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S=a2+2ab+b2．
∴（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【分析】（1）图形②时边长为（a＋b）的正方形，他的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形 组合而成，由此结论可得；
（2）①把a+b=4进行平方，结合a2＋b2＝10即可求得ab的值；②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1则有（a-1）2+（a+1）2=130，进行整理可得a2=64，即可得出答案。
18．【答案】（1）3；3
（2）-1；大；-2
（3）解： 原式=（x-1）2-6
∵（x-1）2≥0
∴（x-1）2-6≥-6
∴当x=1时，y+x的最小值为-6.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵x2+6x+12=（x2+6x+9）+3=（x+3）2+3
∵（x+3）2+3≥3
∴当（x+3）2=0时，（x+3）2的值最小为0
∴当x=-3时，（x+3）2+3的最小值为3
（2）同理，原式=-（x-1）2-2
∵-（x-1）2≤0
∴-（x-1）2-2≤-2
∴x=1时，-（x-1）2-2有最大值-2
【分析】（1）根据完全平方公式，根据题意，计算得到答案即可；
（2）根据完全平方公式的性质，根据x的取值范围，判断y的最大值个最小值；
（3）同理，根据乘法公式的运用，求出最小值即可。
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