2021-2022苏科版数学七年级下册9.5多项式的因式分解（提高）同步练习
一、单选题
1．（2020七下·高新期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－6a＋9＝(a－3)2
C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1 D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、是因式分解，正确.
C、右边不是积的形式，错误；
D、左边是单项式，不是因式分解，错误.
故答案为：B.
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定.
2．（2020七下·灌云月考）分解因式 的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行第二次分解因式即可.
3．（2020七上·响水期中）下列各式中，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．4x2+8x+1 B．x2-4x+16 C．x2-6xy-9y2 D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由
所以能直接运用完全平方公式进行因式分解的是 ，
故答案为：B.
【分析】根据a22ab+b2=(ab)2 逐一判断即可.
4．若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+4x+4=（x+2）2，
则m=4．
故答案为：A．
【分析】由题意可知：x2+4x+m=（x+2）2，将右边的括号展开，就可得出m的值。
5．若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式a -2ac+c -b 的值（ ）
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．以上三种 情况均有可能
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】解答：a -2ac+c -b =(a-c) -b =(a-c+b)(a-c-b)=(a+b-c)[a-(c+b)]，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a+b-c＞0，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a-(c+b)＜0，
∴代数式a -2bc+c -b 的值是两个异号的数的积，是负数，即代数式的值＜0.
分析：给代数式进行因式分解，根据各个符号来确定整个代数式的符号.
故选A.
6．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①2x2﹣x=x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x=﹣（4x2﹣4x+1）=﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故答案为：A
【分析】根据提取公因式法和公式法把各项分解因式，找出含有相同因式的式子即可.
二、填空题
7．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
8．（2021七下·淮阴期末）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】首先提取公因式2，然后结合平方差公式进行分解.
9．（2021七下·苏州期末）若 ， ，则 .
【答案】3
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵2a+b=5，a+2b=4，
∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9，
（2a+b）-（a+2b）=5-4，即a-b=1，
∴a+b=3，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×1=3，
故答案为：3.
【分析】2a+b=5①，a+2b=4②，①+②可得a+b=3，①-②可得a-b=1，然后将原式分解为a2-b2=（a+b）（a-b），整体代入计算即可.
10．（2020七下·徐州期中）若m+3n－2=0，则m2+6mn+9n2的值是 .
【答案】4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】首先根据题意得出 ，然后利用完全平方公式将 进行因式分解，最后进一步代入求值即可.
11．（2020七下·江阴期中）因式分解： = .
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
12．（2020七下·高新期中）已知实数a，b满足ab＝1，a＋b＝3，则代数式a3b＋ab3的值为 .
【答案】7
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ab=1，a+b=3，
∴a3b+ab3=ab（a2+b2）=ab[（a+b）2-2ab]=9-2=7.
故答案为：7
【分析】所求式子提取公因式ab后，利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算，即可求出值.
三、计算题
13．（2021七下·仪征期末）分解因式：
（1）4x2﹣12xy+9y2；
（2）4a2﹣16.
【答案】（1）解：4x2﹣12xy+9y2=
（2）解：4a2﹣16= .
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式有三项，符合完全平方公式的特点，因此利用完全平方公式分解因式.
（2）观察此多项式含有两项，两项都能转化为平方形式，且两项的符号相反，因此利用平方差公式分解因式，结果分解到不能再分解为止.
14．（2020七下·仪征期末）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
=
=
= .
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，再由完全平方公式进行第二次因式分解，即可得到答案；
（2）先整理，然后提公因式，再由平方差公式进行第二次分解因式，即可得到答案.
四、解答题
15．（2020七下·徐州期中）已知在△ABC中，三边长 ， ， 满足等式 ，试判断该三角形是什么三角形，并加以证明.
【答案】解：△ABC是等边三角形.
理由：∵
∴a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【分析】先将原式变形为：a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0得出（a-b）2+（b-c）2=0，可以得出a=b=c，从而得出结论判断出△ABC的形状.
16．（2020七上·响水期中）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解：设m2-4m=n，
原式=n（n+8）+16 （第一步）
=n2+8n+16 （第二步）
=（n+4）2 （第三步）
=（m2-4m+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解______.
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？ （填“是”或“否”）.若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
【答案】（1）C
（2）否；
（3）解：设 ，
则原式=
=
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）由n2+8n+16=（n+4）2 得出运用了两数和的完全平方公式，
故答案为：C.
（2）该同学没有完成因式分解，
= = ，
故答案为：否， ；
【分析】（1）根据第三步的结果即可得出结论；
（2）观察第四步中括号内的多项式是否还能分解即可；
（3）设 ，然后整理后进行因式分解，再替换y，再进行分解即可.
17．如图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表无大长右形的面积：① ，② 请据此回答下列问题：
（1）因为 ，所以
（2）利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式 行因式分解，例如：
① ；
② ▲ (请将结果补充出来)
请利用上述方法将下面多项式分解因式： (写出分解过程).
【答案】（1）（x+p）（x+q）
（2）解：（x+1）（x-5）；
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）∵三个不同的小长方形和一个正方形的面积= ， 大长方形面积= ，
∴ .
故答案为： （x+p）（x+q） .
（2）②
故答案为： （x+1）（x-5） .
【分析】(1)根据割补法求面积和整体法求面积列出等式，即可解答；
(2) ② 根据(1)的结论直接写出因式分解的结果即可；因为20=(-4)×(-5)，-4+(-5)=-9， 利用(1)的方法进行因式分解即可.
1 / 12021-2022苏科版数学七年级下册9.5多项式的因式分解（提高）同步练习
一、单选题
1．（2020七下·高新期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－6a＋9＝(a－3)2
C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1 D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y
2．（2020七下·灌云月考）分解因式 的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020七上·响水期中）下列各式中，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．4x2+8x+1 B．x2-4x+16 C．x2-6xy-9y2 D．
4．若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
5．若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式a -2ac+c -b 的值（ ）
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．以上三种 情况均有可能
6．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
二、填空题
7．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
8．（2021七下·淮阴期末）分解因式： .
9．（2021七下·苏州期末）若 ， ，则 .
10．（2020七下·徐州期中）若m+3n－2=0，则m2+6mn+9n2的值是 .
11．（2020七下·江阴期中）因式分解： = .
12．（2020七下·高新期中）已知实数a，b满足ab＝1，a＋b＝3，则代数式a3b＋ab3的值为 .
三、计算题
13．（2021七下·仪征期末）分解因式：
（1）4x2﹣12xy+9y2；
（2）4a2﹣16.
14．（2020七下·仪征期末）分解因式：
（1）
（2）
四、解答题
15．（2020七下·徐州期中）已知在△ABC中，三边长 ， ， 满足等式 ，试判断该三角形是什么三角形，并加以证明.
16．（2020七上·响水期中）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解：设m2-4m=n，
原式=n（n+8）+16 （第一步）
=n2+8n+16 （第二步）
=（n+4）2 （第三步）
=（m2-4m+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解______.
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？ （填“是”或“否”）.若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
17．如图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表无大长右形的面积：① ，② 请据此回答下列问题：
（1）因为 ，所以
（2）利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式 行因式分解，例如：
① ；
② ▲ (请将结果补充出来)
请利用上述方法将下面多项式分解因式： (写出分解过程).
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、是因式分解，正确.
C、右边不是积的形式，错误；
D、左边是单项式，不是因式分解，错误.
故答案为：B.
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行第二次分解因式即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由
所以能直接运用完全平方公式进行因式分解的是 ，
故答案为：B.
【分析】根据a22ab+b2=(ab)2 逐一判断即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+4x+4=（x+2）2，
则m=4．
故答案为：A．
【分析】由题意可知：x2+4x+m=（x+2）2，将右边的括号展开，就可得出m的值。
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】解答：a -2ac+c -b =(a-c) -b =(a-c+b)(a-c-b)=(a+b-c)[a-(c+b)]，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a+b-c＞0，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a-(c+b)＜0，
∴代数式a -2bc+c -b 的值是两个异号的数的积，是负数，即代数式的值＜0.
分析：给代数式进行因式分解，根据各个符号来确定整个代数式的符号.
故选A.
6．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①2x2﹣x=x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x=﹣（4x2﹣4x+1）=﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故答案为：A
【分析】根据提取公因式法和公式法把各项分解因式，找出含有相同因式的式子即可.
7．【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】首先提取公因式2，然后结合平方差公式进行分解.
9．【答案】3
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵2a+b=5，a+2b=4，
∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9，
（2a+b）-（a+2b）=5-4，即a-b=1，
∴a+b=3，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×1=3，
故答案为：3.
【分析】2a+b=5①，a+2b=4②，①+②可得a+b=3，①-②可得a-b=1，然后将原式分解为a2-b2=（a+b）（a-b），整体代入计算即可.
10．【答案】4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】首先根据题意得出 ，然后利用完全平方公式将 进行因式分解，最后进一步代入求值即可.
11．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
12．【答案】7
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ab=1，a+b=3，
∴a3b+ab3=ab（a2+b2）=ab[（a+b）2-2ab]=9-2=7.
故答案为：7
【分析】所求式子提取公因式ab后，利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算，即可求出值.
13．【答案】（1）解：4x2﹣12xy+9y2=
（2）解：4a2﹣16= .
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式有三项，符合完全平方公式的特点，因此利用完全平方公式分解因式.
（2）观察此多项式含有两项，两项都能转化为平方形式，且两项的符号相反，因此利用平方差公式分解因式，结果分解到不能再分解为止.
14．【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
=
=
= .
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，再由完全平方公式进行第二次因式分解，即可得到答案；
（2）先整理，然后提公因式，再由平方差公式进行第二次分解因式，即可得到答案.
15．【答案】解：△ABC是等边三角形.
理由：∵
∴a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【分析】先将原式变形为：a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0得出（a-b）2+（b-c）2=0，可以得出a=b=c，从而得出结论判断出△ABC的形状.
16．【答案】（1）C
（2）否；
（3）解：设 ，
则原式=
=
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）由n2+8n+16=（n+4）2 得出运用了两数和的完全平方公式，
故答案为：C.
（2）该同学没有完成因式分解，
= = ，
故答案为：否， ；
【分析】（1）根据第三步的结果即可得出结论；
（2）观察第四步中括号内的多项式是否还能分解即可；
（3）设 ，然后整理后进行因式分解，再替换y，再进行分解即可.
17．【答案】（1）（x+p）（x+q）
（2）解：（x+1）（x-5）；
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）∵三个不同的小长方形和一个正方形的面积= ， 大长方形面积= ，
∴ .
故答案为： （x+p）（x+q） .
（2）②
故答案为： （x+1）（x-5） .
【分析】(1)根据割补法求面积和整体法求面积列出等式，即可解答；
(2) ② 根据(1)的结论直接写出因式分解的结果即可；因为20=(-4)×(-5)，-4+(-5)=-9， 利用(1)的方法进行因式分解即可.
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