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2.2 探索直线平行的条件
第1课时 同位角
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.能够识别同位角,并能根据“同位角相等,两直线平行”判定两直线平行;
2.理解并能说出“平行线的唯一性”的基本事实,以及由此得到的“推论”,应用它们证明或解决有关的问题.
【过程与方法】
经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
【情感、态度与价值观】
从复杂图形分解为若干个基本图形的过程中,渗透化难为易的化归思想方法.在参与探索、交流的数学活动中,进一步体验数学与实际生活的密切联系.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能够识别各种图形下的同位角,并由“同位角相等,两直线平行”判定两条直线平行;能够应用平行线的“唯一性”的基本事实的推论,判定两条直线平行.
【教学难点】
判断两条直线平行的证明过程.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察下面每幅图中的直线a,b,它们分别平行吗 你能验证吗
三组直线看上去似乎不平行,其实它们分别都是平行的,这是由于背景造成的视觉误差,所以按照平行线的定义仅凭观察来判断直线的平行关系是不够的,这就需要进一步寻求证据,本节课老师将和同学们一起来探索直线平行的条件.
二、合作探究
探究点1 同位角及“同位角相等,两直线平行”
典例1 下列图形中,已知∠1=∠2,则可得到AB∥CD的是 ( )
[解析] A项,∠1和∠2是对顶角,不能判断AB∥CD,此选项错误;B项,∠1的对顶角和∠2是同位角,且二者相等,所以AB∥CD,此选项正确;C项,∠1和∠2不是由AB,CD被第三条直线所截所得的同位角,虽有∠1=∠2,但不能判定AB∥CD,此选项错误;D项,∠1和∠2不是由AB,CD被第三条直线所截得到的同位角,虽有∠1=∠2,但不能判定AB∥CD,此选项错误.
[答案] B
同位角是指在“三线八角”中,位置相同的角(分别在两条直线的“同侧”,且都在第三条直线的“同侧”),由“同位角相等,两直线平行”,可以判定两条直线平行.
变式训练 如图,直线AB,AF被BC所截,则∠2的同位角是 ( )
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
[答案] D
探究点2 平行线的“唯一性”的基本事实及其推论
典例2 下列说法正确的个数是 ( )
①两条直线不相交就平行;
②在同一平面内,两条平行的直线有且只有一个交点;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④平行于同一条直线的两条直线互相平行;
⑤两条直线的位置关系只有相交与平行.
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 在同一平面内,两条直线不相交就平行,①错误;在同一平面内,两条平行的直线没有交点,②错误;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,③错误;平行于同一条直线的两条直线互相平行,是平行公理的推论,④正确;在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交与平行,⑤错误.
[答案] B
平行线的“唯一性”的基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.其推论是:平行于同一条直线的两条直线平行.准确理解这个基本事实和推论以及平行线的意义是解答这类题目的关键.
变式训练 如图,下列推理错误的是 ( )
A.因为∠1=∠2,所以a∥b
B.因为b∥c,c∥a,所以a∥b
C.因为a∥b,b∥c,所以a∥c
D.因为∠1=∠3,所以a∥c
[答案] D
三、板书设计
同位角
同位角
◇教学反思◇
学生深层次的认知发展,不但需要独立思考,而且需要合作交流.在学习过程中,只有经过学生自己探索和概括的知识,才能真正纳入其自身认知结构,获得深刻的理解,在应用时才更得心应手.这里的“自己探索和概括”就是独立思考,学生的思维是在自己原有的认知结构上建构的,教师应尽可能地多给学生自主思考的时间和空间,即使他们找不到思路,也充分感知了困难、尝试了困难,为进一步探究奠定了基础.通过独立思考领会数学学科的基本原理、基本概念和思想方法,掌握解题的基本方法和策略,并尝试进行数学创造,所以要重视让学生独立思考.让学生尝试自己证明猜想,引导他们发散思维,是培养学生创新精神和实践能力的重要途径,有利于增强学生学习的自信心和克服困难的意志力,又培养自主意识和合作精神.
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2.2 探索直线平行的条件
第二章 相交线与平行线
第1课时 同位角
北师大版数学七年级下册
学习目标
1.理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数；
2.能够运用同位角相等判定两直线平行；（重点， 难 点）
3.理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题.（难点）
如图，装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
情境导入
想一想：
生活中的问题能用数学知识解决吗？
a
c
b
a
b
c
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a.
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行
②直线 a和b平行
③直线a和b不平行
做一做
F
探究∠1与∠5的位置关系：
①在直线EF的同旁（右边）
②在直线AB、CD的同一侧（上方）
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
图中的同位角还有哪些？
具有∠1与∠5这样位置关系的角称为同位角.
一、同位角的概念
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
1
2
1
2
1
2
1
2
●
一、放
二、靠
三、推
四、画
用三角尺和直尺画平行线的方法.
二、利用同位角判定两条直线平行
●
问题 在画图过程中，三角尺起着什么样的作用？
思考 要判断两直线平行，你有办法了吗？
b
A
2
1
a
B
（1）这样的画法可以看作是怎样的图形变换？
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（3）直线a，b位置关系如何？
问题
（4）请将其最初和最终的特殊位置抽象成几何图形：
1
2
l2
l1
A
B
(5) 由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的方法吗？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
∵∠1=∠2(已知)
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
1
2
l2
l1
A
B
小结
练习：下图中若∠1=550 ，∠2=550，直线AB、CD平行吗？为什么
A
C
E
F
B
D
1
2
同位角相等，两直线平行.
变式1：
如图, ∠1=55 ， ∠2=125 ，直线AB与CD平行吗？为什么
A
C
E
F
B
D
1
2
M
N
同位角相等，两直线平行.
变式2：
如图, 直线AB与CD被直线EF所截，∠1=55 ，请添加一个条件使得直线AB与直线CD平行.
A
C
E
F
B
D
1
3
2
5
4
∠5=55
你能说出木工师傅用图中这种角尺的工具画平行线的道理吗？
练一练
由前面我们已经知道平行线的画法：
（1）放
（2）靠
（3）推
（4）画
三、平行于同一条直线的两条直线平行
·
A
·
B
(3)经过点C能画出几条直
线与直线AB平行？
(4)过点D画一条直线与直线AB平行，与(3)中所画的直线平行吗？
·
·
C
D
(1)经过点C能画出几条直线？
无数条
1条
a
b
(2)与直线AB平行的直线有几条？
无数条
结论：经过直线外一点，有且只有一条直
线与已知直线平行.
平行
几何语言表达：
c
b
a
平行线的传递性：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
如果a//c , c//b，那么a//b.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
小结
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
课堂小结
同位角 ： “F”型
同位角相等，两直线平行.
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