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3.1 用表格表示的变量间关系
第三章
变量之间的关系
北师大版数学七年级下册
1.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与
变量；了解自变量与因变量的意义;（重点）
2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格
表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步
的预测．（难点）
学习目标
我们生活在一个变化的世界中,很多东西都在悄悄地发生变化.
你能从生活中举出一些发生变化的例子吗？
情境导入
1.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.
一、变量与函数
探究
年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重 /千克
（1）上述的哪些量在发生变化？
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发
育过程中的体重情况填入下表：
（3）根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之
间体重是怎样随着年龄的增长而变化的.
3.5
7.0
10.5
14.0
21.0
31.5
体重
2.王波学习小组做了一个实验:小车下滑的时间.
这个小组利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：
支撑物 高度 (厘米) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑 时间(秒)
细心体会哦!
20
0
40
60
80
100
单位:cm
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间
是多少？
4.23
1.35
1.41
1.50
1.59
1.71
1.89
2.13
2.45
3.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑时间/秒
h
t
演示
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
1.59秒
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23
1.35
1.41
1.50
1.59
1.71
1.89
2.13
2.45
3.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑时间/秒
h
t
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时
间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
变小
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23
1.35
1.41
1.50
1.59
1.71
1.89
2.13
2.45
3.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑时间/秒
h
t
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
不同
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23
1.35
1.41
1.50
1.59
1.71
1.89
2.13
2.45
3.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑时间/秒
h
t
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎
样估计的？
估计是1.30秒,因为时间越来越少.
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23
1.35
1.41
1.50
1.59
1.71
1.89
2.13
2.45
3.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑时间/秒
h
t
（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生
变化？哪些量始终不发生变化？
时间发生了变化，木板的长度没变化.
在《小车下滑的时间》 中：
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，
它们都是变量(variable).
支撑物的高度h是自变量 (independent variable)。
小车下滑的时间t是因变量 (dependent variable)。
借助表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况。
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的
变化而变化。
小车下滑的距离（木板长度)一直没有变化.在变化过程中始终不变的量叫常量
小结
变 量
1.自变量是在一定范围内主动变化的量。
2.因变量是随自变量变化而变化的量。
自变量
因变量
主动变化的量
被动变化的量
解析
在变化过程中，若有两个变量x和y, 其中y随着x 的变化而发生变化，我们就把x叫自变量，y叫因变量。
3.表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测。
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么
随着x的变化，y的变化趋势是什么？
增大
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(2)x和y哪个是自变量 哪个是因变量
x是自变量，y是因变量.
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口
是怎样变化的？
越来越多
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是
多少？
超过13亿
例 父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低”，
并且出示了下面的表格：
父亲给小明出了下面几个问题，请你和小明一起
回答：
典例精析
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
温度（℃） 20 14 8 2 -4 -10
(1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么
随着h的变化，t如何变化？
随着h的升高，t在降低.
(2)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
－10℃.
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
温度（℃） 20 14 8 2 -4 -10
根据规律，高度每升高1千米，温度降低6℃，
所以距离地面6千米时的温度是－10－6=－16(℃).
(3)你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
温度（℃） 20 14 8 2 -4 -10
1.自变量是在一定范围内主动变化的量.
2.因变量是随自变量变化而变化的量.
自变量
因变量
被动变化的量
变量
主动变化的量
3.表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情
况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测.
课堂小结
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第三章 变量之间的关系
3.1 用表格表示的变量间关系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解并能说出常量、变量、自变量和因变量的意义,能够确定某些问题中的常量、变量、自变量和因变量;
2.可以用表格表示两个变量之间的关系,并能从表格中获取变量间的相关信息.
【过程与方法】
经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,在探索活动中理解变量之间的相互关系,并尝试用语言符号去刻画.
【情感、态度与价值观】
在探索现实世界变化规律的过程中,从运动变化的角度认识数学对象,提高数学素养,感受数学价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能从表格中分清自变量与因变量,理解因变量随自变量的变化规律.
【教学难点】
对表格所表达的两个变量间的关系的正确理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
下表是小刚体重的变化情况:
年龄 出生时 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重/千克 3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5
(1)上表中哪些量在发生变化
(2)小刚10周岁前的体重是如何随年龄的增长而变化的
(3)根据表中的数据,说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随着年龄的增长而变化的.
二、合作探究
探究点1 常量、变量、自变量和因变量
典例1 在△ABC中,它的底边是a,底边上的高是h,则三角形面积S=ah.当a为定长时,在此式中 ( )
A.S,h是变量,,a是常量
B.S,h,a是变量,是常量
C.S,h是变量,,S是常量
D.S是变量,,a,h是常量
[解析] 因为a为定长,所以S,h是变量,,a是常量.
[答案] A
【技巧点拨】常量,是在某变化过程中数值始终不变的量;变量,是在某变化过程中,发生变化的量;自变量,是可以引起其他变量变化的量;因变量,是由自变量的变化而引起变化的量.
探究点2 用表格表示的变量间关系
典例2 在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系:(假设都在弹性限度内)
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
(1)由表格知,弹簧原长为 cm,所挂物体每增加1 kg弹簧伸长 cm.
(2)请写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的关系式.
(3)预测当所挂物体质量为10 kg时,弹簧长度是多少
(4)当弹簧长度为20 cm时,求所挂物体的质量.
[解析] (1)12;0.5.
(2)弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的关系式为y=0.5x+12.
(3)当x=10时,代入y=0.5x+12,解得y=17,即弹簧长度为17 cm.
(4)当y=20时,代入y=0.5x+12,解得x=16,
即所挂物体的质量为16 kg.
解决用表格表示的变量间关系的问题时,要弄清自变量和因变量,注意观察因变量是如何随自变量的变化而变化的.
变式训练 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐,在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系:
底面半径x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
铝用量y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)当易拉罐底面半径为2.4 cm时,易拉罐需要的铝用量是多少
(3)根据表格中的数据,你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜 说说你的理由.
(4)粗略说一说易拉罐底面半径对铝用量的影响.
[解析] (1)易拉罐底面半径和铝用量的关系,易拉罐底面半径为自变量,铝用量为因变量.
(2)当底面半径为2.4 cm时,易拉罐的铝用量为5.6 cm3.
(3)易拉罐底面半径为2.8 cm时比较合适,因为此时用铝较少,成本低.(合理即可)
(4)当易拉罐底面半径在1.6~2.8 cm时,铝用量随半径的增大而减小,当易拉罐底面半径在2.8~4.0 cm时,铝用量随半径的增大而增大.
三、板书设计
用表格表示的变量间关系
用表格
表示的
变量间
关系
◇教学反思◇
从现实生活入手,数据来自于学生可以参与的试验过程,来自于现实生活关注的人口问题、环境问题,培养了学生的探究、试验精神,而且始终贯穿对学生的德育教育.学生可以意识到研究变量之间的关系可以帮助我们把握事物发展的规律,可以帮我们找出影响事物发展的一些因素.只有致力于这样的研究,才能改善我们的生存环境.所以应当要关心周围世界发生的变化,变量之间的联系,并且使之成为一种习惯.
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