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3.2用关系式表示的变量间关系
第三章
变量之间的关系
北师大版数学七年级下册
（1）如果△ABC的底边长为a，高为h，那么面积
S△ABC＝__________________．
（2）如果梯形的上底、下底长分别为a、b，高
为h，那么面积S梯形＝____________．
（3）圆柱的底面半径为r，高为h，体积V圆柱＝
___________；圆锥底面的半径为r，高为
h，体积V圆锥＝_______________．
回顾与思考
在“小车下滑的时间”中：
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，
它们都是变量。
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。
支撑物的高度h是自变量
小车下滑的时间t是因变量
回顾与思考
婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别大约是1周岁时的2倍、3倍。
年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重/千克
根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随着年龄的增长而变化的。
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：
（1）上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
发生变化的量是：
体重和时间
自变量是：
因变量是：
时间
体重
3.5
7.0
10.5
14.0
21.0
31.5
练一练
决定一个三角形面积的因素有哪些？
（高一定）变化中的三角形
A
B
C
如图，⊿ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
C
C
S⊿ABC= ― BC·h=3BC
1
2
C
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
想一想
A
B
C
如图，⊿ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
C
C
S⊿ABC= ― BC·h=3BC
1
2
C
（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为__________
y=3x
想一想
A
B
C
如图，⊿ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
C
C
S⊿ABC= ― BC·h=3BC
1
2
C
（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从______厘米2变化到_______厘米2
36
9
想一想
y=3x
y=3x表示了 和 之间的关系，它是变量ｙ随ｘ变化的关系式。
你能直观地表示这个关系式吗？
自变量x
关系式y=3x
因变量y
三角形面积y
底边长x
注意：关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式，如y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值。
r
h
1. 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
4厘米
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
自变量是底面半径，因变量是体积
做一做
1. 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
4厘米
（2）如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积v（厘米3）与r的关系式为
4πr2
3
做一做
V=
1. 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
4厘米
（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由 厘米3变化到
厘米3 。
400π
3
4π
3
做一做
V= 4πr2
3
2. 如图，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之变化。
2㎝
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果圆锥的高为h（厘米），那么圆锥的体积v（厘米3）与h之间的关系式为___________.
V=---πh
4
3
2. 如图，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之变化。
2㎝
（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由 厘米3变化到 厘米3
4π
3
40π
3
V=---πh
4
3
自变量d
T=10-d/150
因变量T
在地球某地，温度T（ C）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10-d/150来表示，根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果。
高度d/m 0 200 400 600 800 1000
温度T/°C
10.00
8.67
7.33
6.00
4.67
3.33
随堂练习
1.本节主要是探索了图形中的变量关系。
2.能用关系式表示变量之间的关系。
3.能根据关系式求值。
这节课你学到了什么
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3.2 用关系式表示的变量间关系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解两个变量之间的关系可以用关系式表示,能在一个关系式中指出自变量和因变量;
2.能够在具体的情境中建立数学模型,列出表示变量关系的关系式.
【过程与方法】
1.经历探索某些问题中变量之间关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响.
2.能将生活中的实际问题抽象为用数学关系式表示的数学问题.
【情感、态度与价值观】
在将生活中的实际问题抽象为用数学关系式表示的数学问题的过程中,感悟数学建模的魅力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式.
【教学难点】
能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
三角形是日常生活中很常见的图形,决定一个三角形面积的因素有哪些
如果△ABC的底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时,三角形的面积发生了怎样的变化 在这个变化过程中,△ABC中的哪些因素在改变
二、合作探究
探究点 用关系式表示的变量间关系
典例 如图的网格线是由边长为1的小正方形格子组成的,小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点的多边形叫格点多边形.小明研究发现,内部含有3个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系,请你观察图中的4个格点四边形.设内部含有3个格点的四边形的面积为S,其各边上格点的个数之和为m,则S与m的关系为 ( )
A.S=m B.S=m-
C.S=m+2 D.S=m+3
[解析] 如图,第1个图形,S1=3×3-×3×2-×3×1=4.5,m=5;第2个图形,S2=×2×1×4=4,m=4;第3个图形,S3=3×3-×2×1×2-×1×1-×2×2=4.5,m=5;第4个图形,S4=3×4-×2×1-×1×1-×3×3=6,m=8.分别代入各解析式,S=m+2都符合条件.
[答案] C
两个变量的关系式的题目,一般可分为两类:
(1)实际问题,就要根据实际问题的条件用含有自变量的代数式表示因变量(函数);
(2)规律探究题,要分析所给出的开始的几种简单情况,找到统一的规律,用含自变量的代数式表示出因变量(函数).
变式训练 如图,△ABC的边BC长12 cm,乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在的直线向上运动时,三角形的面积发生变化.在这个变化过程中,如果三角形的高为x cm,那么△ABC的面积y(cm2)与x(cm)的关系式是 .
[答案] y=6x
三、板书设计
用关系式表示的变量间关系
用关系
式表示
的变量
间关系
◇教学反思◇
数学活动是学生探索、掌握、应用数学知识的过程.本节课遵循这种理念,在教师引导下,让学生在实际问题中发现问题,从数学角度去观察、思考、解决问题.
充分利用现代化教学手段加强直观教学,引起学生学习兴趣,通过师生互动,激发学生学习积极性,从而提高学习效率.
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