【高频考点精讲】第8讲-圆的基本定理（PDF版）-人教版数学九年级

第 8 讲 圆的基本定理
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
垂径定理求线段 例 1、例 2
垂径定理及其推论
垂径定理的综合 例 3、例 4
弧、弦、圆心角的关系 弧、弦、圆心角的关系 例 5、例 6
圆周角定理 例 7、例 8
圆周角定理 圆内接四边形 例 9
圆周角的综合 例 10、例 11
第 8讲 圆的基本定理
\ 1 /
模块 1 垂径定理及其推论
【知识梳理】
一、垂径定理及其推论
1．圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
如图，CD是 O 的直径，且CD AA'；
则 AM A 'M ， OAC A 'C ， AD A 'D .
A M A'
D
3．垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．“知二推三”：
对于一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其他三个：
①垂直于弦；②过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
【经典例题】
【例1】
1．（互动 1）如图，将半径为 4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为 ( )
A． 4 3cm B． 2 3cm C． 3cm D． 2cm
【解答】解：如图所示，
连接 AO，过O作OD AB ，交 AB 于点 D ，交弦 AB 于点 E ，
AB 折叠后恰好经过圆心，
OE DE ，
O的半径为 4，
1 1
OE OD 4 2，
2 2
第 8讲 圆的基本定理
\ 2 /
OD AB，
1
AE AB，
2
在Rt AOE 中，
AE OA2 OE2 42 22 2 3．
AB 2AE 4 3 ．
故选： A ．
2．如图，半径为 5 的圆O中， AB 、 DE 是互相垂直的两条弦，垂足为 P ，且 AB ED 8 ，则
OP 3 2 ．
【解答】解：作OM AB于 M ，ON DE 于N ，连接OB ，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM ON 52 42 3，
弦 AB 、DE 互相垂直，
DPB 90 ，
OM AB 于 M ，ON DE 于 N ，
OMP ONP 90 ，
四边形MONP是矩形，
OM ON ，
四边形MONP是正方形，
OP 2OM 3 2 ，
故答案为：3 2 ．
第 8讲 圆的基本定理
\ 3 /
【例2】
O 中，直径 AB 和弦CD相交于点 E ，已知 AE 1cm，EB 5cm，且 DEB 60 ，求CD的长．
【解答】解：作OP CD于 P ，连接OD，
CP PD，
AE 1， EB 5，
AB 6，
OE 2，
在Rt OPE中，OP 3 ，
PD OD2 OP2 6 ，
CD 2PD 2 6(cm)．
【例3】
1．（互动 2） O 的半径为 5cm，弦 AB∥CD ，且 AB 8cm，CD 6cm，则 AB 与CD之间的距离
为 ( )
A．1cm B． 7cm C．3cm或 4cm D．1cm或7cm
【解答】解：①当 AB 、CD在圆心两侧时；
过O作OE CD交CD于 E 点，过O作OF AB交 AB 于F 点，连接OA、OC ，如图 1 所示：
半径 r 5cm，弦 AB / /CD ，且 AB 8cm，CD 6cm，
OA OC 5，CE DE 3cm， AF FB 4cm， E 、 F 、O在一条直线上，
在Rt OEC中，由勾股定理可得：
OE2 OC2 CE2
OE 52 32 4(cm)，
在Rt OFA中，由勾股定理可得：
OF 2 OA2 AF 2 ，
OF 52 42 3(cm)，
第 8讲 圆的基本定理
\ 4 /
EF OE OF 4 3 7(cm) ，
AB 与CD的距离为 7；
②当 AB 、CD在圆心同侧时；
过O作OE CD交CD于 E 点，过O作OF AB交 AB 于F 点，连接OA、OC ，如图 2 所示：
同①可得：OE 4cm，OF 3cm；
则 AB 与CD的距离为：OE OF 1(cm)．
故选：D ．
2．（互动 3）如图，点 A 是半圆上的一个三等分点，点 B 为弧 AD 的中点， P 是直径CD上一动点，
O 的半径是 2，则 PA PB 的最小值为 ( )
A．2 B． 5 C． 3 1 D．2 2
【 解 答 】 解 ： 作 A 关 于 MN 的 对 称 点 Q ， 连 接 CQ ， BQ ， BQ 交 CD 于 P ， 此 时
A P P B Q P P B ，Q B
根据两点之间线段最短， PA PB的最小值为QB 的长度，
连接OQ ，OB ，
点 A 是半圆上的一个三等分点，
ACD 30 ．
B弧 AD 中点，
BOD ACD 30 ，
第 8讲 圆的基本定理
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QOD 2 QCD 2 30 60 ，
BOQ 30 60 90 ．
O的半径是 2，
OB OQ 2 ，
BQ OB2 OQ2 2 2 ，即 PA PB的最小值为 2 2 ．
故选：D ．
【例4】
如图，在 O 内有折线OABC ，其中OA 7， AB 12 ， A B 60 ，求BC 的长．
【解答】解：
延长 AO交 BC 于 D ，过O作OE BC 于 E ，
OE 过圆心O，OE BC ，
BC 2CE 2BE （垂径定理），
A B 60 ，
DA DB，
DAB 是等边三角形（有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形），
AD BD AB 12， ADB 60 ，
OD AD OA 12 7 5，
OED 90 ， ODE 60 ，
DOE 30 ，
1 5
DE OD （在直角三角形中，如果有一个角是30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半），
2 2
第 8讲 圆的基本定理
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5 19
BE 12 ， BC 2BE 19（根据垂径定理已推出，在第三行）．
2 2
第 8讲 圆的基本定理
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模块 2 弧、弦、圆心角的关系
【知识梳理】
一、弧、弦、圆心角的关系
1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
D
C
O
A B
如图，由定理可知： AOB COD AB CD AB CD
【笔记区】
在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距可以互相推导
【经典例题】
【例5】
（互动 4）下列说法正确的是 ( )
A．等弧所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
【解答】解： A 、正确．本选项符合题意．
B 、错误．应该是平分弦（此弦分直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项符合题意．
C 、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D 、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
故选： A ．
第 8讲 圆的基本定理
\ 8 /
【例6】
如图，在△ABC 中， C 90 ，以点 C为圆心，BC 为半径的圆交 AB于点 D，交 AC 于点 E．
（1）若 A 25 ，求 BD的度数；
（2）若BC 9， AC 12 ，求 BD 的长．
【解答】解：（1）连接 CD，如图，
∵ ACB 90 ，
∴ B 90 A 90 25 65 ，
∵CB CD，
∴ CDB B 65 ，
∴ BCD 180 2 B 50 ，
∴ BD的度数为50 ；
（2）作 CH⊥BD，如图，则 BH DH ，
在 Rt△ACB 中， AB 92 122 15 ，
1 1
∵ CH AB BC AC ，
2 2
9 12 36
∴CH ，
15 5
2
2 36 27在 Rt△BCH 中， BH 9 ，
5 5
54
∴ BD 2BH ．
5
第 8讲 圆的基本定理
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模块 3 圆周角定理
【知识梳理】
一、圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
C
O
A
B
AOB 2 ACB
二、圆周角定理的推论
1.推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
E C
O
D B
A
若 AB AD，则 ACB AED .
2.推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
C
A B
O
若 AB 是 O 的直径，则 ACB是直角．
三、圆内接多边形
1.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做多边形的外接圆．
2.圆内接四边形的性质：
第 8讲 圆的基本定理
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（1）性质 1：圆内接四边形的对角互补．
（2）性质 2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
D
A
O
E
C
B
如图，点 A、B、C、D 都在圆上，则 A BCD 180 ， B D 180 ， DCE A ．
【经典例题】
【例7】
1．如图，在 O 中， AB AC，若 ABC 57.5 ，则弦 BC 所对的圆周角的度数为____________．
【解答】解： AB AC ， ABC 57.5 ，
ACB ABC 57.5 ，
A 180 ABC ACB 65 ，
65 或115
2．（互动 5）如图， M 过点O(0,0) ， A( 3 ， 0) ，B(0,1)，点C 是 x 轴上方弧 AB 上的一点，连
接 BC ，CO，则 BCO的度数是 ( )
A．15 B．30 C． 45 D．60
【解答】解：连接 AB ，如图，
A( 3 ， 0) ， B(0,1)，
第 8讲 圆的基本定理
\ 11 /
OA 3 ，OB 1，
OB 1 3
tan BAO ，
OA 3 3
BAO 30 ，
BCO 30 ．
故选： B ．
【例8】
1．（互动 6）如图，在 ABC 中， AB AC．以 AB 为直径作半圆O，交 BC 于点 D ，交 AC 于点
E ，若 C 70 ，则 ABE 的度数是 ( )
A．50 B． 65 C． 70 D．80
【解答】解： AB AC ， C 70 ，
BAC 40 ，
AB 是直径，
BAE ABE 90 ，
ABE 90 BAE 90 40 50 ，
故选： A ．
第 8讲 圆的基本定理
\ 12 /
2．（互动 7）如图，矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 8 ，点 P 为矩形内一动点，且满足
PBC PCD，则线段 PD的最小值为 ( )
A．5 B．1 C．2 D．3
【解答】解： 四边形 ABCD为矩形，
BCD 90 ，
PBC PCD，
PBC PCB 90 ，
BPC 90 ，
点 P 在以BC为直径的 O 上，
连接OD交 O 于 P ，连接OP 、 PD，如图，
PD OD OP（当且仅当O、 P 、 D 共线时，取等号），
即 P 点运动到 P 位置时， PD的值最小，最小值为DP ，
1
在Rt OCD中，OC BC 4，CD AB 3，
2
OD 32 42 5，
DP OD OP 5 4 1，
线段 PD的最小值为 1．
故选： B ．
【例9】
如图，两圆 O 和 O 相交于 A 、 B1 2 两点， DBC 和 EAO1都是直线，且 AO1C 140 ，那么 E
110 度．
第 8讲 圆的基本定理
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【解答】解：连接 AB ， E 110 ．
【例10】
如图，在 O 中，直径 AB 10 ，弦 AC 6， ACB 的平分线交 O 于点D ．
求 BC ， AD ， BD的长．
【解答】解： AB 是直径
ACB ADB 90
在Rt ABC中， AB2 AC2 BC2 ， AB 10cm， AC 6cm
BC2 AB2 AC2 102 62 64
BC 64 8(cm)
又 CD平分 ACB，
AD BD ，
AD BD，
又 在 2 2 2Rt ABD中， AD BD AB
AD2 BD2 102
100
AD BD 5 2(cm)．
2
第 8讲 圆的基本定理
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【例11】
研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图 1，已知
四边形 ABCD内接于 O ，对角线 AC BD，且 AC BD．
（1）求证： AB CD；
（2）若 O 的半径为 8，弧 BD的度数为120 ，求四边形 ABCD的面积；
（3）如图 2，作OM BC 于 M ，请猜测OM 与 AD 的数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明： AC BD，
AC BD ，
则 AB DC ，
AB CD；
（2）解：连接OB 、OD，作OH BD于H ，
弧 BD的度数为120 ，
BOD 120 ，
BOH 60 ，
3
则 BH OB 4 3 ，
2
BD 8 3 ，
1
则四边形 ABCD的面积 AC BD 96；
2
（3） AD 2OM ，
连结OB 、OC 、OA、OD，作OE AD于 E ，如图 2，
OE AD，
第 8讲 圆的基本定理
\ 15 /
AE DE ，
BOC 2 BAC ，
而 BOC 2 BOM ，
BOM BAC，
同理可得 AOE ABD，
BD AC，
BAC ABD 90 ，
BOM AOE 90 ，
BOM OBM 90 ，
OBM AOE ，
在 BOM 和 OAE中，
OMB OEA

OBM OAE ，

OB OA
BOM OAE ，
OM AE ，
AD 2OM ．
备选题
【备1】
如图， O 与矩形 ABCD 的边 AB 、 CD 分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H ，若 AE CH 6 ，则
BG DF为 6 ．
【解答】解：作OM GH 于 M ，OM 交 EF 于 N ，如图，
EF / /GH ，
第 8讲 圆的基本定理
\ 16 /
OM EF ，
EN FN ，GM HM ，
易得四边形 ABMN 和四边形MNDC 为矩形，
AN BM ， DN CM ，
BG DF BM GM DN NF
AN HM CM EN
AN EN CM HM
AE CH
6．
故答案为 6．
【备2】
如图，在 O 中，弦 AB 8，点C 在 AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD OC 交 O 于点 D ，则
CD的最大值是 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：作OH AB于 H ，连接OA、OD，如图，
1 1
AH BH AB 8 4，
2 2
CD OC ，
CD OD2 OC2 ，
而OD为定值，OC 最小时，CD最大，
当OC OH 时，CD的值最大，
CD的最大值为 4．
故选： B ．
第 8讲 圆的基本定理
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第 8讲 圆的基本定理
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挑战极限
如图， AB 是 O 的直径，C、D 为圆上两点，且 OAC 30 ，OD 绕着点O 顺时针旋转，连结
CD交直线 AB 于点 E ，当DE OD时， OCE的大小可能为_________________．
【原题】如图， AB 是 O 的直径，点C ， D 在 O 上，且 OAC 30 ，OD绕着点O顺时针旋转，
连结CD交直线 AB 于点 E ，当 DE OD时， OCE的大小可能为 ( )
A． 20 B． 70 C．80 D．20 、 40 或80
【解答】解：
连接OC ，
①如图 1，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线 AB 于点 E ，
设 OCE x，
OC OD，
OCE D x，
OA OC，
OCA A 30 ，
DE OD，
DOE DEO 30 x 30 60 x
第 8讲 圆的基本定理
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2(60 x) x 180
解得 x 20 ．
OCE 的大小为20 ；
②如图 2，
设 OEC x，
DE OD，
EOD E x，
DO CO，
ODC OCD 2x，
EOC 2 A 60
在 OCE 中，
x 60 2x 180 ，
解得 x 40 ，
OCE 2x 80 ；
③如图 3，
设 ACE x，
OA OC，
OCA OAC 30 ，
OC OD，
OCD ODC 30 x，
OD DE
第 8讲 圆的基本定理
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1 1
E ODC 15 x ，
2 2
1
15 x x 30
2
解得 x 10 ，
OCE 30 x 40 ．
综上： OCE的大小为：20 、 40 、80 ．
故选：D．
第 8讲 圆的基本定理
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巩固练习
【练习1】
1．如图， ABC 内接于 O ，若 A 45 ，OC 2，则 BC 的长为 ( )
A． 2 B． 2 2 C． 2 3 D．4
【解答】解：由圆周角定理得， BOC 2 A 90 ，
BC 2OC 2 2 ，
故选： B ．
2．如图，已知 A 、 B 、C 、 D 、 E 均在 O 上，且 AC 为 O 的直径，则 A B C 的度数为
( )
A． 45 B． 60 C．90 D．120
【解答】解： AC 为 O 的直径，
AE ED CD的度数是180 ，
A B C 90 ，
故选：C ．
【练习2】
如图，一把直角三角板的顶点 A 、 B 在 O 上，边 BC 、 AC 与 O 交于点 D 、 E ，已知 C 30 ，
AED的大小为 ( )
A．90 B．100 C．110 D．120
第 8讲 圆的基本定理
\ 22 /
【解答】解： A 90 ， C 30 ，
B 90 30 60 ，
四边形 ABDE 是圆内接四边形，
AED 180 B 120 ，
故选：D ．
【练习3】
如图，已知 AB 是 O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E ， CEA 30 ， OF CD ，垂足为点 F ，
DE 5，OF 1，那么CD 10 2 3 ．
【解答】解： AB 是 O 的直径，OF CD，
根据垂径定理可知：
CF DF ，
CEA 30 ，
OEF 30 ，
OE 2， EF 3 ，
DF DE EF 5 3 ，
CD 2DF 10 2 3 ．
故答案为：10 2 3 ．
【练习4】
如图， O 的弦 AB 、DC的延长线相交于点 E ．
（1）如图 1，若 AD 为120 ， BC 为50 ，求 E 的度数；
（2）如图 2，若 AB CD，求证： AE DE ．
第 8讲 圆的基本定理
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【解答】（1）解：连接 AC ．
弧 AD 为120 ，弧 BC 为50 ，
ACD 60 ， BAC 25 ，
ACD BAC E
E ACD BAC 60 25 35 ；
（2）证明：连接 AD ．
AB CD，
弧 AB 弧CD，
弧 AC 弧 BD，
ADC DAB ，
AE DE ．
【练习5】
如图， MB， MD 是 O 的两条弦，点 A ，C 分别在MB，MD 上，且 AB CD，M 是 AC 的中点．
（1）求证：MB MD ；
（2）过O作OE MB于点 E ，当OE 1，MD 4时，求 O 的半径．
【解答】（1）证明： AB CD，
AB CD ，
M 是 AC 的中点，
第 8讲 圆的基本定理
\ 24 /
AM CM ，
BM DM ，
BM DM ．
（2）解：如图，连接OM ．
DM BM 4，OE BM ，
EM BE 2 ，
OE 1， OEM 90 ，
OM OE2 EM 2 12 22 5 ，
O的半径为 5 ．
第 8讲 圆的基本定理
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