高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验一

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验一
一、单选题
1．（2021高二上·舟山期末）下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】导数的运算；简单复合函数的导数
【解析】【解答】对于A， ，A不符合题意；
对于B， ，B不符合题意；
对于C， ，C符合题意；
对于D， ，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的公式和运算法则，再利用复合函数的导数运算法则，得出正确的选项。
2．已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为是奇函数并且是上的单调函数，
所以问题等价于方程在上有三个不同的实数解，
即函数的图象与直线有三个不同的交点，
由，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以 的极大值为 ，极小值为，
的取值范围为，
故答案为：C
【分析】由是奇函数并且是上的单调函数，问题等价于函数的图象与直线有三个不同的交点，利用导数得到其单调区间，求出 的极大值 ，极小值，进而求出实数的取值范围 。
3．（2022·沈阳模拟）若函数，则是在有两个不同零点的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，令，
则，令，
，令，
得，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以，
在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，
所以，即有2个零点的充要条件为，
又是的充分不必要条件，
所以“”是“有2个零点在”的充分而不必要条件，
故答案为：A
【分析】令，得，令，求导可得的单调性，再利用极限可得在上的零点个数，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
4．（2022·岳阳模拟）已知a，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（　　）
A．6 B． C．8 D．
【答案】C
【考点】导数的几何意义；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】设切点为（m，n），
y＝ln（x+b）的导数为，
由题意可得=1，
又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），
解得n＝0，m＝2a，
即有2a+b＝1，因为a、b为正实数，
所以，
当且仅当时取等号，
故的最小值为8。
故答案为：C．
【分析】设切点为（m，n），再利用导数的几何意义结合已知条件得出=1，再利用n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n和m的值，即有2a+b＝1，再利用a、b为正实数结合均值不等式求最值的方法，进而求出的最小值。
5．（2022·郑州模拟）已知a>0，函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】， ，
恰有两个零点，即恰有两个零点，
，恰有两个零点，，恰有两个零点，
恰有两个零点，
记，
单调递减，
单调递增，
，恰有两个零点，
所以.
故答案为：C
【分析】首先整理函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性和零点个数的判定，同理结合已知条件即可求出a的取值范围。
6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（　　）
A．2π B．π C． D．
【答案】A
【考点】导数的几何意义；导数的运算
【解析】【解答】解：设，所以，所以．
故答案为：A
【分析】首先对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即可
7．（2022·广东模拟）定义在上的函数序列满足（为的导函数），且，都有．若存在，使得数列是首项和公比均为的等比数列，则下列关系式一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】函数单调性的性质；对数的运算性质；利用导数研究函数的单调性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，则．
令，则，
在上单调递增．
又，∴，即，
数列是首项和公比均为的等比数列，则，∴，，
易知，上式两边同时取对数得，
即，，∴，令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∵，∴一定是和中的一个．
又，所以，则，
∴.
故答案为：D．
【分析】首先整理化简已知条件再由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式成立，然后由已知条件结合等比数列的通项公式即可得出不等式，再由指对互化公式以及对数函数的单调性，整理化简计算出q的取值范围即可。
8．（2022·黄山模拟）已知，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由得
令，则
当或时，当时，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
且，
因为曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴
所以有三个不同解，故
故答案为：D
【分析】由得，令，求导分析单调性与极值，依题意得有三个不同解，即可求解出 m的取值范围 。
二、多选题
9．（2021高二上·舟山期末）已如函数，则以下结论正确的是（　　）
A．函数存在极大值和极小值
B．
C．函数存在最小值
D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解
【答案】B,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由可得．
由可得：．由可得：．
所以在单调递减，在单调递增，故答案为：项A不正确，C符合题意：
对于B：在单调递增，
因为，所以，B符合题意；
对于D：方程即，有一根为，令．则
，
令可得或，
令可得，
所以在和单调递增，在单调递减，
，
作出，的图形如图所示：
所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由结合求导的方法判断函数的单调性；再利用函数的单调性，可得在单调递增，再利用，所以；再利用函数的单调性求出函数的最小值；再结合两函数的图像的交点的横坐标等价于方程的根的等价关系， 从而得出对于任意实数k，方程最多有4个实数解，进而找出结论正确的选项。
10．（2021高二上·温州期末）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【考点】函数的图象；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】，
由图可知，，
则，C符合题意；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，AB符合题意；
则，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用代入法和作差法以及不等式的性质，进而得出a,b,c和a+b+c的正负，从而找出结论正确的选项。
11．（2022·海南模拟）已知函数，则（　　）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．有2个不同的零点
C．若a，，则
D．若且，则
【答案】A,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】对A，，
，
，当，
在上单调递减，在上单调递增，A符合题意；
对B，，，B不符合题意；
对C，
，C不符合题意；
对D，不妨设，，要证，
设
，
函数在单调递增，且，
恒成立，，
，且在单调递增，
，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】对 求导，根据导数符号可判断A选项的正误；由可判断B选项的正误；利用基本不等式可判断C选项的正误；不妨设，，设
利用导数可判断D选项的正误。
12．（2021高二上·嘉兴期末）函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则（　　）
A．函数 在 内一定不存在最小值
B．函数 在 内只有一个极小值点
C．函数 在 内有两个极大值点
D．函数 在 内可能没有零点
【答案】B,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设 的根为 ，且 ，则
由图可知，函数 在 内单调增，在 内单调减，在 内单调增，在
内单调减；
函数 在区间 内有极小值 ，当 ， 时， 是函数 在区间 内的最小值，所以A不符合题意，B符合题意；
函数 在区间 内有极大值 、 ，所以C符合题意；
当 ， ， 时，函数 在 内没有零点，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由导函数图像的导函数的符号，确定原函数的单调性，逐项进行分析判断，可得答案。
三、填空题
13．（2021高三上·杭州期末）函数在点处的切线方程是　 　.
【答案】y=1
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为，所以切线斜率，所以切线方程为y=1.
故答案为：y=1
【分析】求出导函数，确定，即可求出切线方程.
14．（2021高二上·温州期末）对任意，若不等式恒成立，则实数a的最大值为　 　．
【答案】e
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】原不等式，，可化为，
即，
设，其中，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以设，
①时，，在上单调递增，
所以的最小值为，符合题意；
②，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，而，所以，与条件矛盾，故不成立；
所以实数a的最大值为e。
故答案为：e。
【分析】原不等式，，可化为，设，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性得出函数的最小值，所以，设，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的最大值。
15．（2022·株洲模拟）若函数恰有两个零点，则a的值为　 　．
【答案】
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】由恰有两个零点，可得曲线与抛物线恰有2个交点，
曲线与抛物线在上有1个交点，
当时，令，则，
方程两边取对数得，，因为，则，
由题意得该方程只有一个实根，所以直线与曲线只有一个公共点，
所以直线是曲线的切线，
设切点为，由，得，则，
因为切点在切线上，
所以，
解得，
故答案为：
【分析】由函数在内有一个零点，则将问题转化为直线与曲线只有一个公共点，利用导数的几何意分析，求解即可得出 a的值 。
16．（2021高三上·湖北月考）已知函数，其中.若，则有　 　个零点；若有两个零点，则实数的值构成的集合是　 　.
【答案】3；
【考点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由，的图象可知，在第二象限必有一个交点，即方程有一个负根，又因为当时，，的图象交于，两点，所以时，函数有3个不同的零点；
令，即（其中），
由，的图象可知，它们在第二象限必有一个交点，即函数必有一个小于的零点；
当时，对两边取对数，得，
所以有一个根，即的图象与直线一个公共点，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当的值趋近于时，的值趋近于.
当时，，
当时，，
函数的图象如下：
则或，即或（不符合题意），
所以实数的值构成的集合是。
故答案为：3；。
【分析】由，的图象可知，在第二象限必有一个交点，即方程有一个负根，当时，和的图象交于，两点，所以当时，从而结合方程的根与函数零点的关系式，进而求出函数的零点个数；再利用函数零点的定义，令，得出（其中），由，的图象可知，它们在第二象限必有一个交点，再利用两函数的交点与函数的零点的等价关系，即函数必有一个小于的零点，当时，对两边取对数，得出有一个根，再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，即的图象与直线一个公共点，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法和分类讨论的方法，再结合代入法求出函数值，即f(e)和f(1)的值，再结合函数的图象得出实数的取值范围，进而求出实数a的值构成的集合。
四、解答题
17．（2021高三上·浙江期末）设实数，且，函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】（1）解：，
当时，，的单调递增区间为.
当时，令，得，
当时，，当时，
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为.
（2）解：（i）由（1）知，时，为极小值点，又函数有两个零点，得.
于是，
得，即
由在单调递增，则由，可得
此时，，，
故，函数有两个不同的零点.
（ii）证明：由则，得，
于是，
设的极值点为，又由，于是，
令，则
即在上单调递增，又，则在恒成立.
由，可令，则，
即，即
故有：.
则，所以，
欲证，只需证，只需证，
又由，所以只需证，
由，所以上述只需证，只需证，
令，则
即在上单调递增.
由，可知，所以上述不等式成立.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出 函数的单调区间 。
（2） （i）由（1）知，当时结合函数的单调性，从而求出函数的极值点，所以为极小值点，再利用函数有两个零点，得，于是，由在单调递增，再结合函数的单调性，可得，再结合零点存在性定理，所以，函数有两个不同的零点。
（ii）由得，设的极值点为，又由，于是，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从 而求出函数的值域，再利用，则在恒成立，由，可令，则，，故有：，则，所以， 再利用分析法可知，从而证出不等式 成立。
18．（2022高三下·大连开学考）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】（1）解： ，
①当 时， 恒成立，
令 ，则 ，所以 的单调增区间为 ，
令 ，则 ，所以 的单调减区间为 ；
②当 时，令 ，则 或 ，
（ⅰ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
（ⅱ）当 ，即 时，
当 时， ， ，所以 ，同理 时， ，
故 的单调增区间为 ；
（ⅲ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
综上所述，当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）解：因为 ，所以 有一个零点 ，
由于 有两个零点，所以 只有一个不是1的零点，
令 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
对任意 ， ， ，
由零点存在定理 在 上存在零点，
因为 在 上单调递增，所以 只有一个不是1的零点，
所以当 时，满足题意；
当 时， 无零点，舍去；
当 时，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 取得极小值，也是最小值，
所以函数 ，
依题意 只有一个不是1的零点，
由于当 时， ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 或 ，
解得： 或 ，
综上所得， 的取值范围为 ， .
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1)求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可判断函数f(x)的单调性；
(2)由题意构造辅助函数 ,求导，根据函数的单调性求得g(x)的最值，由 只有一个不是1的零点，即可求得a的取值范围.
19．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，
①当，即时，
单调递增；
②当，即时，
令，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，
的单调递增区间为.
（2）解：方法一：对任意的，
恒成立，
即，
今，
且，
，且，
今，
，且
由题意得，，即.
下面证明对于任意的，恒成立.
当时，
当时，
即.
即在上单调递增，
，
在上单调递增，0，
即得证.
故说明，满足条件.
方法二：令，
，
当时，，
在上单调 增，
，
在上恒成立.
对任意的恒成立.
即恒成立，
等价于恒成立，
等价于恒成立.
构造函数，上式即为.
由上面的证明知，在上恒成立.
只需在上单调递增.
在上恒成立，
，即.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，进而可求出函数的单调区间；
(2)方法一:由题意对任意的， ，结合已知不等式考虑构造函数 ，对h (x)求导，结合导数与单调性关系及函数的性质可求实数的取值范围 ；
方法二:构造函数 ， 然后求导，结合导数与单调性关系把问题转化为恒成立，构造函数 上式即为，然后结合导数与单调性关系可求出实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）证明：函数仅有一个零点.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
则，得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增；
所以当时，函数取最小值.
（2）证明：，
函数的定义域为，且.设，
则.
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，（当且仅当时取等号）.
即当时，（当且仅当时取等号）.
所以函数在上单调递增，至多有一个零点.
因为是函数唯一的零点.
所以函数仅有一个零点.
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。
(2)根据题意首先求出函数的定义域，然后求导结合导函数的正负即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合零点存在性定理即可得证出结论。
21．（2022·福建模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，有恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：时，
，，
故所求切线方程为，
整理得：
（2）解：由题意，，解得：，
，解得：，故必须满足，
下面证明充分性：
若，
当时，此时，
此时，，，
故，满足
当时，此时，
，
令，
则，令，得，
故时，，单调递增：
时，，单调递减；
所以，，满足.
综上所述，.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用k的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出曲线在点处的切线方程。
（2） 由题意，，解得k的取值范围，再利用，解得k的取值范围，再结合交集的运算法则，进而求出实数k的取值范围，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而证出实数k的取值范围。
22．（2021高二上·牡丹江月考）已知函数，为函数的导数.
（1）求的解集；
（2）求曲线在点处的切线方程.
【答案】（1）解：由得，，
∴，即，解得，
∴的解集为
（2）解：由（1）知，，
∴曲线在点处的切线方程，即
【考点】导数的加法与减法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则，从而求出导函数，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出不等式 的解集。
（2）利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的方程。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验一
一、单选题
1．（2021高二上·舟山期末）下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·沈阳模拟）若函数，则是在有两个不同零点的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·岳阳模拟）已知a，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（　　）
A．6 B． C．8 D．
5．（2022·郑州模拟）已知a>0，函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（　　）
A．2π B．π C． D．
7．（2022·广东模拟）定义在上的函数序列满足（为的导函数），且，都有．若存在，使得数列是首项和公比均为的等比数列，则下列关系式一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2022·黄山模拟）已知，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·舟山期末）已如函数，则以下结论正确的是（　　）
A．函数存在极大值和极小值
B．
C．函数存在最小值
D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解
10．（2021高二上·温州期末）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（　　）
A． B． C． D．
11．（2022·海南模拟）已知函数，则（　　）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．有2个不同的零点
C．若a，，则
D．若且，则
12．（2021高二上·嘉兴期末）函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则（　　）
A．函数 在 内一定不存在最小值
B．函数 在 内只有一个极小值点
C．函数 在 内有两个极大值点
D．函数 在 内可能没有零点
三、填空题
13．（2021高三上·杭州期末）函数在点处的切线方程是　 　.
14．（2021高二上·温州期末）对任意，若不等式恒成立，则实数a的最大值为　 　．
15．（2022·株洲模拟）若函数恰有两个零点，则a的值为　 　．
16．（2021高三上·湖北月考）已知函数，其中.若，则有　 　个零点；若有两个零点，则实数的值构成的集合是　 　.
四、解答题
17．（2021高三上·浙江期末）设实数，且，函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
18．（2022高三下·大连开学考）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．
19．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）证明：函数仅有一个零点.
21．（2022·福建模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，有恒成立，求实数k的取值范围．
22．（2021高二上·牡丹江月考）已知函数，为函数的导数.
（1）求的解集；
（2）求曲线在点处的切线方程.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】导数的运算；简单复合函数的导数
【解析】【解答】对于A， ，A不符合题意；
对于B， ，B不符合题意；
对于C， ，C符合题意；
对于D， ，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的公式和运算法则，再利用复合函数的导数运算法则，得出正确的选项。
2．【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为是奇函数并且是上的单调函数，
所以问题等价于方程在上有三个不同的实数解，
即函数的图象与直线有三个不同的交点，
由，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以 的极大值为 ，极小值为，
的取值范围为，
故答案为：C
【分析】由是奇函数并且是上的单调函数，问题等价于函数的图象与直线有三个不同的交点，利用导数得到其单调区间，求出 的极大值 ，极小值，进而求出实数的取值范围 。
3．【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，令，
则，令，
，令，
得，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以，
在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，
所以，即有2个零点的充要条件为，
又是的充分不必要条件，
所以“”是“有2个零点在”的充分而不必要条件，
故答案为：A
【分析】令，得，令，求导可得的单调性，再利用极限可得在上的零点个数，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
4．【答案】C
【考点】导数的几何意义；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】设切点为（m，n），
y＝ln（x+b）的导数为，
由题意可得=1，
又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），
解得n＝0，m＝2a，
即有2a+b＝1，因为a、b为正实数，
所以，
当且仅当时取等号，
故的最小值为8。
故答案为：C．
【分析】设切点为（m，n），再利用导数的几何意义结合已知条件得出=1，再利用n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n和m的值，即有2a+b＝1，再利用a、b为正实数结合均值不等式求最值的方法，进而求出的最小值。
5．【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】， ，
恰有两个零点，即恰有两个零点，
，恰有两个零点，，恰有两个零点，
恰有两个零点，
记，
单调递减，
单调递增，
，恰有两个零点，
所以.
故答案为：C
【分析】首先整理函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性和零点个数的判定，同理结合已知条件即可求出a的取值范围。
6．【答案】A
【考点】导数的几何意义；导数的运算
【解析】【解答】解：设，所以，所以．
故答案为：A
【分析】首先对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即可
7．【答案】D
【考点】函数单调性的性质；对数的运算性质；利用导数研究函数的单调性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，则．
令，则，
在上单调递增．
又，∴，即，
数列是首项和公比均为的等比数列，则，∴，，
易知，上式两边同时取对数得，
即，，∴，令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∵，∴一定是和中的一个．
又，所以，则，
∴.
故答案为：D．
【分析】首先整理化简已知条件再由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式成立，然后由已知条件结合等比数列的通项公式即可得出不等式，再由指对互化公式以及对数函数的单调性，整理化简计算出q的取值范围即可。
8．【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由得
令，则
当或时，当时，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
且，
因为曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴
所以有三个不同解，故
故答案为：D
【分析】由得，令，求导分析单调性与极值，依题意得有三个不同解，即可求解出 m的取值范围 。
9．【答案】B,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由可得．
由可得：．由可得：．
所以在单调递减，在单调递增，故答案为：项A不正确，C符合题意：
对于B：在单调递增，
因为，所以，B符合题意；
对于D：方程即，有一根为，令．则
，
令可得或，
令可得，
所以在和单调递增，在单调递减，
，
作出，的图形如图所示：
所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由结合求导的方法判断函数的单调性；再利用函数的单调性，可得在单调递增，再利用，所以；再利用函数的单调性求出函数的最小值；再结合两函数的图像的交点的横坐标等价于方程的根的等价关系， 从而得出对于任意实数k，方程最多有4个实数解，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【考点】函数的图象；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】，
由图可知，，
则，C符合题意；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，AB符合题意；
则，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用代入法和作差法以及不等式的性质，进而得出a,b,c和a+b+c的正负，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】对A，，
，
，当，
在上单调递减，在上单调递增，A符合题意；
对B，，，B不符合题意；
对C，
，C不符合题意；
对D，不妨设，，要证，
设
，
函数在单调递增，且，
恒成立，，
，且在单调递增，
，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】对 求导，根据导数符号可判断A选项的正误；由可判断B选项的正误；利用基本不等式可判断C选项的正误；不妨设，，设
利用导数可判断D选项的正误。
12．【答案】B,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设 的根为 ，且 ，则
由图可知，函数 在 内单调增，在 内单调减，在 内单调增，在
内单调减；
函数 在区间 内有极小值 ，当 ， 时， 是函数 在区间 内的最小值，所以A不符合题意，B符合题意；
函数 在区间 内有极大值 、 ，所以C符合题意；
当 ， ， 时，函数 在 内没有零点，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由导函数图像的导函数的符号，确定原函数的单调性，逐项进行分析判断，可得答案。
13．【答案】y=1
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为，所以切线斜率，所以切线方程为y=1.
故答案为：y=1
【分析】求出导函数，确定，即可求出切线方程.
14．【答案】e
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】原不等式，，可化为，
即，
设，其中，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以设，
①时，，在上单调递增，
所以的最小值为，符合题意；
②，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，而，所以，与条件矛盾，故不成立；
所以实数a的最大值为e。
故答案为：e。
【分析】原不等式，，可化为，设，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性得出函数的最小值，所以，设，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的最大值。
15．【答案】
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】由恰有两个零点，可得曲线与抛物线恰有2个交点，
曲线与抛物线在上有1个交点，
当时，令，则，
方程两边取对数得，，因为，则，
由题意得该方程只有一个实根，所以直线与曲线只有一个公共点，
所以直线是曲线的切线，
设切点为，由，得，则，
因为切点在切线上，
所以，
解得，
故答案为：
【分析】由函数在内有一个零点，则将问题转化为直线与曲线只有一个公共点，利用导数的几何意分析，求解即可得出 a的值 。
16．【答案】3；
【考点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由，的图象可知，在第二象限必有一个交点，即方程有一个负根，又因为当时，，的图象交于，两点，所以时，函数有3个不同的零点；
令，即（其中），
由，的图象可知，它们在第二象限必有一个交点，即函数必有一个小于的零点；
当时，对两边取对数，得，
所以有一个根，即的图象与直线一个公共点，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当的值趋近于时，的值趋近于.
当时，，
当时，，
函数的图象如下：
则或，即或（不符合题意），
所以实数的值构成的集合是。
故答案为：3；。
【分析】由，的图象可知，在第二象限必有一个交点，即方程有一个负根，当时，和的图象交于，两点，所以当时，从而结合方程的根与函数零点的关系式，进而求出函数的零点个数；再利用函数零点的定义，令，得出（其中），由，的图象可知，它们在第二象限必有一个交点，再利用两函数的交点与函数的零点的等价关系，即函数必有一个小于的零点，当时，对两边取对数，得出有一个根，再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，即的图象与直线一个公共点，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法和分类讨论的方法，再结合代入法求出函数值，即f(e)和f(1)的值，再结合函数的图象得出实数的取值范围，进而求出实数a的值构成的集合。
17．【答案】（1）解：，
当时，，的单调递增区间为.
当时，令，得，
当时，，当时，
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为.
（2）解：（i）由（1）知，时，为极小值点，又函数有两个零点，得.
于是，
得，即
由在单调递增，则由，可得
此时，，，
故，函数有两个不同的零点.
（ii）证明：由则，得，
于是，
设的极值点为，又由，于是，
令，则
即在上单调递增，又，则在恒成立.
由，可令，则，
即，即
故有：.
则，所以，
欲证，只需证，只需证，
又由，所以只需证，
由，所以上述只需证，只需证，
令，则
即在上单调递增.
由，可知，所以上述不等式成立.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出 函数的单调区间 。
（2） （i）由（1）知，当时结合函数的单调性，从而求出函数的极值点，所以为极小值点，再利用函数有两个零点，得，于是，由在单调递增，再结合函数的单调性，可得，再结合零点存在性定理，所以，函数有两个不同的零点。
（ii）由得，设的极值点为，又由，于是，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从 而求出函数的值域，再利用，则在恒成立，由，可令，则，，故有：，则，所以， 再利用分析法可知，从而证出不等式 成立。
18．【答案】（1）解： ，
①当 时， 恒成立，
令 ，则 ，所以 的单调增区间为 ，
令 ，则 ，所以 的单调减区间为 ；
②当 时，令 ，则 或 ，
（ⅰ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
（ⅱ）当 ，即 时，
当 时， ， ，所以 ，同理 时， ，
故 的单调增区间为 ；
（ⅲ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
综上所述，当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）解：因为 ，所以 有一个零点 ，
由于 有两个零点，所以 只有一个不是1的零点，
令 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
对任意 ， ， ，
由零点存在定理 在 上存在零点，
因为 在 上单调递增，所以 只有一个不是1的零点，
所以当 时，满足题意；
当 时， 无零点，舍去；
当 时，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 取得极小值，也是最小值，
所以函数 ，
依题意 只有一个不是1的零点，
由于当 时， ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 或 ，
解得： 或 ，
综上所得， 的取值范围为 ， .
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1)求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可判断函数f(x)的单调性；
(2)由题意构造辅助函数 ,求导，根据函数的单调性求得g(x)的最值，由 只有一个不是1的零点，即可求得a的取值范围.
19．【答案】（1）解：，
①当，即时，
单调递增；
②当，即时，
令，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，
的单调递增区间为.
（2）解：方法一：对任意的，
恒成立，
即，
今，
且，
，且，
今，
，且
由题意得，，即.
下面证明对于任意的，恒成立.
当时，
当时，
即.
即在上单调递增，
，
在上单调递增，0，
即得证.
故说明，满足条件.
方法二：令，
，
当时，，
在上单调 增，
，
在上恒成立.
对任意的恒成立.
即恒成立，
等价于恒成立，
等价于恒成立.
构造函数，上式即为.
由上面的证明知，在上恒成立.
只需在上单调递增.
在上恒成立，
，即.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，进而可求出函数的单调区间；
(2)方法一:由题意对任意的， ，结合已知不等式考虑构造函数 ，对h (x)求导，结合导数与单调性关系及函数的性质可求实数的取值范围 ；
方法二:构造函数 ， 然后求导，结合导数与单调性关系把问题转化为恒成立，构造函数 上式即为，然后结合导数与单调性关系可求出实数的取值范围.
20．【答案】（1）解：函数的定义域为，
则，得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增；
所以当时，函数取最小值.
（2）证明：，
函数的定义域为，且.设，
则.
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，（当且仅当时取等号）.
即当时，（当且仅当时取等号）.
所以函数在上单调递增，至多有一个零点.
因为是函数唯一的零点.
所以函数仅有一个零点.
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。
(2)根据题意首先求出函数的定义域，然后求导结合导函数的正负即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合零点存在性定理即可得证出结论。
21．【答案】（1）解：时，
，，
故所求切线方程为，
整理得：
（2）解：由题意，，解得：，
，解得：，故必须满足，
下面证明充分性：
若，
当时，此时，
此时，，，
故，满足
当时，此时，
，
令，
则，令，得，
故时，，单调递增：
时，，单调递减；
所以，，满足.
综上所述，.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用k的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出曲线在点处的切线方程。
（2） 由题意，，解得k的取值范围，再利用，解得k的取值范围，再结合交集的运算法则，进而求出实数k的取值范围，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而证出实数k的取值范围。
22．【答案】（1）解：由得，，
∴，即，解得，
∴的解集为
（2）解：由（1）知，，
∴曲线在点处的切线方程，即
【考点】导数的加法与减法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则，从而求出导函数，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出不等式 的解集。
（2）利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的方程。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1