高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验 二
一、单选题
1．（2022·广东模拟）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·淮南模拟）已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高三上·河南月考）已知为常数，函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·延庆期末）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021高二上·延庆期末）函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．（2021高二上·嘉兴期末）若函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·吕梁模拟）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2021高二上·宁波期末）若函数 ，则（ ）
A．函数 的值域为R
B．函数 有三个单调区间
C．方程 有且仅有一个根
D．函数 有且仅有一个零点
10．（2022高三上·广州月考）对于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．存在c，d使得函数的图像关于原点对称
B．是单调函数的充要条件是
C．若，为函数的两个极值点，则
D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条
11．（2021高二下·云浮期末）下列求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
12．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021·武汉模拟）已知函数 的导函数为 ，且 （其中e为自然对数的底数），则 ．
14．（2021高二下·成都期中）函数 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 ，然后两边同时求导得 ，
于是 ，用此法探求 的导数 .
15．（2021高三上·河南月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的零点个数为 .
16．（2022·桂林模拟）已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·静海月考）已知函数
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对于都有成立，试求a的取值范围；
（3）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
18．（2021高三上·湖北月考）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，，为的两个极值点，证明：.
19．（2021高三上·玉林开学考）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．
（Ⅰ）求实数a，m的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．
20．（2021高二下·温州期中）已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 对定义域内 恒成立，求 的取值范围.
21．（2021高二下·讷河月考）求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） .
22．（2022高三上·怀仁期末）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的连续性；导数的几何意义
【解析】【解答】由“连续不一定可导”知，“在处连续”不能推出“在处可导”， 比如函数在处连续，但是在处不可导；
由“可导一定连续”知，“在处可导”可以推出“在处连续”.
因此在处连续是在处可导的必要不充分条件
答案选：B
【分析】根据题意结合函数连续与函数可导之间的关系，即可得出两者之间的关系，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】复合命题的真假；导数的几何意义；不等式的基本性质
【解析】【解答】若且，则有，反之，若，如且，而且不成立，
即“且”是“”的充分不必要条件，于是得p是假命题，
由求导得：，由得：，
即存在，曲线在点处的切线斜率为，q是真命题，
是真命题，是假命题，A不正确；
是假命题，是假命题，B不正确；
是假命题，C不正确；
是真命题，是真命题.
故答案为：D
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断命题p，利用导数的几何意义求出判断命题q，再根据真值表判断可得答案。
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】∵，
∴，
所以若要使函数有两个极值点，则有两个零点，
令，，则函数、的图象有两个不同交点，
易知直线恒过点，，
在同一直角坐标系中作出函数、的图象，如图，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
则，所以，，
所以当且仅当时，函数、的图象有两个不同交点，
所以要使函数有两个极值点，则.
故选：A.
【分析】求导得，令，，转化条件为函数g (x)、h (x)的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象以及数形结合可得a的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】函数在区间上的平均变化率等于
故答案为：C
【分析】利用平均变化率公式即可求出答案。
5．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的斜截式方程
【解析】【解答】依题意，，即有，而，则过点，斜率为1的直线方程为：，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：D
【分析】求得f (x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的斜截式方程可得所求切线的方程.
6．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】直线 的斜率为2， ，
令 ，解得 ，由于 ，
故曲线 过（1，0）)的切线斜率为2，
则点（1，0)到直线 的距离 ，
即曲线 上的点到直线 的最短距离是 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，从而求出x的值，再利用 ，故曲线 过（1，0）)的切线斜率为2，再利用点到直线的距离公式，从而求出点（1，0)到直线 的距离，再结合几何法，从而求出曲线 上的点到直线 的最短距离。
7．【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】 直接利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求解.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题设，且定义域为，
所以在上，在上，即在上递减，在上递增，
所以的极小值为，又因为，，
则函数在、上各有一个零点，共有2个零点。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，再结合零点存在性定理，从而找出函数 的零点个数 。
9．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A： ，令 ，
所以在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，
所以 ，所以 的值域为 ，A不符合题意；
B： ， ，
令 ， ，
所以函数 有两个零点 ，
所以在 上 ，即 ，则 单调递增，
在 上 ，即 ，则 单调递减，
所以 有3个单调区间，B符合题意；
C：方程 的根为 的根，令 ，
则 ，令 ，则 ，
所以在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增，
所以 ，所以 ，有 ， 单调递增，
所以函数 与 有一个交点，即方程 有一个根，
所以方程 有且只有一个根，C符合题意；
D：函数 的零点为方程 的根，令 ，则 ，
所以 ，有 ，即 ，得 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在R上单调递增，又 ，
所以存在 使得 ，则在 上 ，即 ， 单调递减，
在 上 ，即 ， 单调递增，所以 ，
当 时，方程 无根，函数 没有零点；
当 时，方程 有一个根，函数 有一个零点；
当 时，方程 有两个根，函数 有两个零点，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】对于A：求导得f' (x)，分析它的正负，进而可得f (x)的单调区间，进而可得值域，即可判断A是否正确；对于B：由于，求导分析单调性，即可判断B是否正确；对于C：方程f(x) + x = 0的根为的根，令只需确定 与 的交点个数，即可判断C是否正确；对于D：y= f(f(x))零点为f(f(x))= 0的根，令t= f(x)，则f(t) = 0，进而可得t = a，问题转化为方程，即可判断D是否正确.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】若存在c，d使得函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，，则，对于任意的，并不满足，故函数不为奇函数，A不符合题意；
由得，要使是单调函数，必满足，解得，B符合题意；
若函数有两极值点，必满足，即，此时，，
，因为，所以，故，C符合题意；
若，则，，画出函数大致图象，如图：
三条虚线代表三条相切的切线，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用奇函数的定义即可判断选项A的正误；求出f' (x)，利用导数的正负与函数单调性的关系，求解即可判断选项B正误；利用极值的定义以及指数的性质、韦达定理求解，即可判断选项C正误；求出函数的极值点，作出函数的大致图，即可判断选项D正误.
11．【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】 ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可.
12．【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ， ，
当 时， ， ，故 不是凸函数；
对于B， ， ，故 是凸函数；
对于C， ，对任意的 ， ，故 是凸函数；
对于D， ，对任意的 ， ，故 不是凸函数．
故答案为：AD．
【分析】根据题意求出函数f(x)的二阶导数并验证并判断出对任意的恒成立，由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】-2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】因 ，则两边求导得： ，
取 得： ，解得 ，
所以 。
故答案为：-2。
【分析】利用导数的运算法则结合已知条件，再利用代入法，从而求出导函数的值。
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意得，由y=(x+1)x两边同时取对数得lny=xln(x+1)，
再两边同时求导，得，
则
故答案为：
【分析】根据对数的运算法则，结合“对数法”直接求解即可.
15．【答案】3
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义
【解析】【解答】因为，则，则，即，解得，
则，而，所有是上的增函数，
令，可得，即，的零点对应方程的实根，利用函数的单调性知，函数是上的增函数，任取的实根，若，则必有，矛盾，若，则必有，矛盾，所以，即，可知的所有零点为三个，
故答案为：3.
【分析】根据导数的几何意义求出，并利用导数判断f (x)的单调性，由题意可得h (x)的零点对应方程的实根，从而可得到，进而求出零点，即可得出的所有零点.
16．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；有理数指数幂的运算性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：公共点为（），则，
由，得，由，得，
因为函数与的图象在公共点处有共同的切线，
所以，即，得，
所以，即，得，
所以，
故答案为：
【分析】根据题意首先对两个函数求导，结合导函数的几何意义联立两个导函数的方程求解出，再代入到函数的解析式结合指数幂的运算性质计算出a的取值即可。
17．【答案】（1）解：直线的斜率为1．函数的定义域为，
因为，所以，所以．
所以．．
由解得；由解得．
所以的单调增区间是，单调减区间是
（2）解：，
由解得；由解得．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以当时，函数取得最小值，．
因为对于都有成立，所以即可．
则．由解得．
所以a的取值范围是．
（3）解：依题得，则．
由解得；由解得．
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．
又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得．所以b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)首先对函数求导然后由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出函数的单调区间。
(2)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出关于a的不等式，结合对数函数的单调性即可求出a的取值范围。
(3)首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性结合函数零点的定义由二次函数的图象和性质，计算出b的取值范围。
18．【答案】（1）解：由题意，函数的定义域为，
且，
当时，在上恒成立，所以的单调增区间是；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：，
可得，
当或时，，单调递增；
当时，，函数单调递减，
不妨设，则，，
由
令（），则，令，
可得，即在上单调递减，
且，，
故存在使得，即.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，
取得最大值.
因为，结合二次函数的性质可知，，
所以，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先由已知条件求出函数的定义域，再对函数f(x)求导然后由对a分情况讨论，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可求出函数的单调区间。
(2)首先整理化简函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出的单调性，由函数的单调性求出函数的最值，结合二次函数的性质即可得证出结论。
19．【答案】解：解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣3a，
∵曲线f（x）＝x2﹣3ax+2在x＝1处的切线方程为3x+y+m＝0，
∴ ，解得a＝2，m＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x3﹣6x+2．
f′（x）＝3x2﹣6，令f（x）＝0，得x＝ ．
∴f（x）在[1， ]上单调递减，在（ ，2]单调递增．
又f（1）＝﹣3，f（ ）＝2﹣4 ．f（2）＝8﹣12+2＝﹣2，
∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为﹣2，最小值为2﹣4 ．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的运算，结合导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.
20．【答案】（1）由题可知，
解得 ， ∴
（2） 对定义域内 恒成立 对任意 恒成立
即求 的最大值不大于
∵ 且
又由 在 单调递减
∴ 在 上单调递增， 上单调递减
∴
当 时， 对定义域内的 恒成立
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解m,n；
（2）考查不等式恒成立问题，利用参变分离，转化为求函数的最值问题求解即可.
21．【答案】（1）解：y′=6x-sinx
（2）解：y′= = =
（3）解：y′= =lnx+
故答案为6x-sinx； ；lnx+
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则求出导数。
（2）利用已知条件结合导数的运算法则求出导数。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则求出导数。
22．【答案】解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调区间。
（2）对任意的和，恒成立等价于：，，恒成立，令，，，再结合单调函数的定义，判断出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而求出函数的最小值，所以当时，，从而得出，再利用，进而求出实数的取值范围。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验 二
一、单选题
1．（2022·广东模拟）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的连续性；导数的几何意义
【解析】【解答】由“连续不一定可导”知，“在处连续”不能推出“在处可导”， 比如函数在处连续，但是在处不可导；
由“可导一定连续”知，“在处可导”可以推出“在处连续”.
因此在处连续是在处可导的必要不充分条件
答案选：B
【分析】根据题意结合函数连续与函数可导之间的关系，即可得出两者之间的关系，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
2．（2022·淮南模拟）已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合命题的真假；导数的几何意义；不等式的基本性质
【解析】【解答】若且，则有，反之，若，如且，而且不成立，
即“且”是“”的充分不必要条件，于是得p是假命题，
由求导得：，由得：，
即存在，曲线在点处的切线斜率为，q是真命题，
是真命题，是假命题，A不正确；
是假命题，是假命题，B不正确；
是假命题，C不正确；
是真命题，是真命题.
故答案为：D
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断命题p，利用导数的几何意义求出判断命题q，再根据真值表判断可得答案。
3．（2021高三上·河南月考）已知为常数，函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】∵，
∴，
所以若要使函数有两个极值点，则有两个零点，
令，，则函数、的图象有两个不同交点，
易知直线恒过点，，
在同一直角坐标系中作出函数、的图象，如图，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
则，所以，，
所以当且仅当时，函数、的图象有两个不同交点，
所以要使函数有两个极值点，则.
故选：A.
【分析】求导得，令，，转化条件为函数g (x)、h (x)的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象以及数形结合可得a的取值范围.
4．（2021高二上·延庆期末）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】函数在区间上的平均变化率等于
故答案为：C
【分析】利用平均变化率公式即可求出答案。
5．（2021高二上·延庆期末）函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的斜截式方程
【解析】【解答】依题意，，即有，而，则过点，斜率为1的直线方程为：，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：D
【分析】求得f (x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的斜截式方程可得所求切线的方程.
6．曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】直线 的斜率为2， ，
令 ，解得 ，由于 ，
故曲线 过（1，0）)的切线斜率为2，
则点（1，0)到直线 的距离 ，
即曲线 上的点到直线 的最短距离是 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，从而求出x的值，再利用 ，故曲线 过（1，0）)的切线斜率为2，再利用点到直线的距离公式，从而求出点（1，0)到直线 的距离，再结合几何法，从而求出曲线 上的点到直线 的最短距离。
7．（2021高二上·嘉兴期末）若函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】 直接利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求解.
8．（2022·吕梁模拟）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题设，且定义域为，
所以在上，在上，即在上递减，在上递增，
所以的极小值为，又因为，，
则函数在、上各有一个零点，共有2个零点。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，再结合零点存在性定理，从而找出函数 的零点个数 。
二、多选题
9．（2021高二上·宁波期末）若函数 ，则（ ）
A．函数 的值域为R
B．函数 有三个单调区间
C．方程 有且仅有一个根
D．函数 有且仅有一个零点
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A： ，令 ，
所以在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，
所以 ，所以 的值域为 ，A不符合题意；
B： ， ，
令 ， ，
所以函数 有两个零点 ，
所以在 上 ，即 ，则 单调递增，
在 上 ，即 ，则 单调递减，
所以 有3个单调区间，B符合题意；
C：方程 的根为 的根，令 ，
则 ，令 ，则 ，
所以在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增，
所以 ，所以 ，有 ， 单调递增，
所以函数 与 有一个交点，即方程 有一个根，
所以方程 有且只有一个根，C符合题意；
D：函数 的零点为方程 的根，令 ，则 ，
所以 ，有 ，即 ，得 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在R上单调递增，又 ，
所以存在 使得 ，则在 上 ，即 ， 单调递减，
在 上 ，即 ， 单调递增，所以 ，
当 时，方程 无根，函数 没有零点；
当 时，方程 有一个根，函数 有一个零点；
当 时，方程 有两个根，函数 有两个零点，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】对于A：求导得f' (x)，分析它的正负，进而可得f (x)的单调区间，进而可得值域，即可判断A是否正确；对于B：由于，求导分析单调性，即可判断B是否正确；对于C：方程f(x) + x = 0的根为的根，令只需确定 与 的交点个数，即可判断C是否正确；对于D：y= f(f(x))零点为f(f(x))= 0的根，令t= f(x)，则f(t) = 0，进而可得t = a，问题转化为方程，即可判断D是否正确.
10．（2022高三上·广州月考）对于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．存在c，d使得函数的图像关于原点对称
B．是单调函数的充要条件是
C．若，为函数的两个极值点，则
D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】若存在c，d使得函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，，则，对于任意的，并不满足，故函数不为奇函数，A不符合题意；
由得，要使是单调函数，必满足，解得，B符合题意；
若函数有两极值点，必满足，即，此时，，
，因为，所以，故，C符合题意；
若，则，，画出函数大致图象，如图：
三条虚线代表三条相切的切线，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用奇函数的定义即可判断选项A的正误；求出f' (x)，利用导数的正负与函数单调性的关系，求解即可判断选项B正误；利用极值的定义以及指数的性质、韦达定理求解，即可判断选项C正误；求出函数的极值点，作出函数的大致图，即可判断选项D正误.
11．（2021高二下·云浮期末）下列求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】 ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可.
12．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ， ，
当 时， ， ，故 不是凸函数；
对于B， ， ，故 是凸函数；
对于C， ，对任意的 ， ，故 是凸函数；
对于D， ，对任意的 ， ，故 不是凸函数．
故答案为：AD．
【分析】根据题意求出函数f(x)的二阶导数并验证并判断出对任意的恒成立，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2021·武汉模拟）已知函数 的导函数为 ，且 （其中e为自然对数的底数），则 ．
【答案】-2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】因 ，则两边求导得： ，
取 得： ，解得 ，
所以 。
故答案为：-2。
【分析】利用导数的运算法则结合已知条件，再利用代入法，从而求出导函数的值。
14．（2021高二下·成都期中）函数 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 ，然后两边同时求导得 ，
于是 ，用此法探求 的导数 .
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意得，由y=(x+1)x两边同时取对数得lny=xln(x+1)，
再两边同时求导，得，
则
故答案为：
【分析】根据对数的运算法则，结合“对数法”直接求解即可.
15．（2021高三上·河南月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的零点个数为 .
【答案】3
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义
【解析】【解答】因为，则，则，即，解得，
则，而，所有是上的增函数，
令，可得，即，的零点对应方程的实根，利用函数的单调性知，函数是上的增函数，任取的实根，若，则必有，矛盾，若，则必有，矛盾，所以，即，可知的所有零点为三个，
故答案为：3.
【分析】根据导数的几何意义求出，并利用导数判断f (x)的单调性，由题意可得h (x)的零点对应方程的实根，从而可得到，进而求出零点，即可得出的所有零点.
16．（2022·桂林模拟）已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；有理数指数幂的运算性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：公共点为（），则，
由，得，由，得，
因为函数与的图象在公共点处有共同的切线，
所以，即，得，
所以，即，得，
所以，
故答案为：
【分析】根据题意首先对两个函数求导，结合导函数的几何意义联立两个导函数的方程求解出，再代入到函数的解析式结合指数幂的运算性质计算出a的取值即可。
四、解答题
17．（2021高三上·静海月考）已知函数
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对于都有成立，试求a的取值范围；
（3）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：直线的斜率为1．函数的定义域为，
因为，所以，所以．
所以．．
由解得；由解得．
所以的单调增区间是，单调减区间是
（2）解：，
由解得；由解得．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以当时，函数取得最小值，．
因为对于都有成立，所以即可．
则．由解得．
所以a的取值范围是．
（3）解：依题得，则．
由解得；由解得．
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．
又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得．所以b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)首先对函数求导然后由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出函数的单调区间。
(2)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出关于a的不等式，结合对数函数的单调性即可求出a的取值范围。
(3)首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性结合函数零点的定义由二次函数的图象和性质，计算出b的取值范围。
18．（2021高三上·湖北月考）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，，为的两个极值点，证明：.
【答案】（1）解：由题意，函数的定义域为，
且，
当时，在上恒成立，所以的单调增区间是；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：，
可得，
当或时，，单调递增；
当时，，函数单调递减，
不妨设，则，，
由
令（），则，令，
可得，即在上单调递减，
且，，
故存在使得，即.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，
取得最大值.
因为，结合二次函数的性质可知，，
所以，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先由已知条件求出函数的定义域，再对函数f(x)求导然后由对a分情况讨论，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可求出函数的单调区间。
(2)首先整理化简函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出的单调性，由函数的单调性求出函数的最值，结合二次函数的性质即可得证出结论。
19．（2021高三上·玉林开学考）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．
（Ⅰ）求实数a，m的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．
【答案】解：解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣3a，
∵曲线f（x）＝x2﹣3ax+2在x＝1处的切线方程为3x+y+m＝0，
∴ ，解得a＝2，m＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x3﹣6x+2．
f′（x）＝3x2﹣6，令f（x）＝0，得x＝ ．
∴f（x）在[1， ]上单调递减，在（ ，2]单调递增．
又f（1）＝﹣3，f（ ）＝2﹣4 ．f（2）＝8﹣12+2＝﹣2，
∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为﹣2，最小值为2﹣4 ．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的运算，结合导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.
20．（2021高二下·温州期中）已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 对定义域内 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）由题可知，
解得 ， ∴
（2） 对定义域内 恒成立 对任意 恒成立
即求 的最大值不大于
∵ 且
又由 在 单调递减
∴ 在 上单调递增， 上单调递减
∴
当 时， 对定义域内的 恒成立
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解m,n；
（2）考查不等式恒成立问题，利用参变分离，转化为求函数的最值问题求解即可.
21．（2021高二下·讷河月考）求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：y′=6x-sinx
（2）解：y′= = =
（3）解：y′= =lnx+
故答案为6x-sinx； ；lnx+
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则求出导数。
（2）利用已知条件结合导数的运算法则求出导数。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则求出导数。
22．（2022高三上·怀仁期末）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调区间。
（2）对任意的和，恒成立等价于：，，恒成立，令，，，再结合单调函数的定义，判断出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而求出函数的最小值，所以当时，，从而得出，再利用，进而求出实数的取值范围。
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