2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（2）课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积（2）
1. 复习巩固
圆柱
圆锥
圆台
l
O
O'
2πr
r


h
2πr
O
S
l
r

h
O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr


h
2. 球的表面积
S球 = 4πR2
把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份， 每份等高并且把每份看成一个类似圆柱，其中半径等于底面圆半径，则从下到上第k个圆柱的侧面积为
O'
O
rk


h

kh
类比利用圆周长求圆面积方法, 我们可利用球的表面积求球的体积. 如图, 把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个“小锥体”.
O
A
B
C
D
3. 球的体积
当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径R. 设O-ABCD是其中一个“小椎体”，那么它的体积就为
由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积这个就是球的表面积. 因此，球的体积为
公式归纳：
圆柱
圆锥
圆台

O
R
球
l
O
O'
2πr
r


O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr


2πr
O
S
l
r

例1 如右图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成, 半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m. 如果在 浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (π取3.14)
解：一个浮标的表面积为
S表= 2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478 (m2)
所以给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为
0.8478×0.5×1000 = 423.9 (kg).
例2 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
O
R
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.
即球与圆柱的体积之比为2:3.
练习
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教材119页
2. 当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
解：
由S球= V球，得
∴当一个球的半径等于3时，其体积和表面积的数值相等.
1. 球的外切正方体问题(正方体的内切球)

O
A
O

解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即
2R = 2，∴R = 1.
∴ 球的体积为
结论：正方体内切球的直径等于正方体的棱长.
2R=a(a是正方体棱长)
与球有关的切、接问题
练习
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教材119页
3. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积.
解：
由题意知2R=6，即R=3.
∴最大球零件的体积为
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
解：
由题意知
∴水槽在水面以上的体积为
又木球浸在水中的体积为
∴水不会从水槽中溢出.
练习
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教材119页
2. 球的内接长方体问题(长方体的外接球)
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
(2R)2=a2+b2+c2(a,b,c是长方体的棱长)
O

A
B
C
D
O
A
B
C
D
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即
∴ 球的表面积为
14π
与球有关的切、接问题
变式 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为__________.
解：
设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则
O
a
b
c
总结：正方体与球的切接问题

O
O

结论：直径等于棱长.
2R=a
①正方体的内切球
②正方体的棱切球
③正方体的外接球
O

结论：直径等于面对角线.
2R=a
O
A
B
C
D
O

A
B
C
D
结论：直径等于体对角线.
2R=a

O
3. 球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)

O
D
R

O′
P
C
B
A
a
解1：
作出截面图如图示.
由图可知，
R
O
A
D
O′
P


R
a
R
解2：
补形法.

O
P
C
B
A
3. 球的内接正四面体问题(正四面体的外接球)
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系

O
D
R

O′
P
C
B
A
a
R
O
A
D
O′
P


R
a
R
若正四面体的棱长为a，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则
r
若正四面体的高为h，则
4. 球的内接圆锥问题
O
5. 球的内接直棱柱问题

O

O2
C
B
A
a

O1
B

O
R
1.球的表面积、体积公式
小结
2. 正方体与球的切接问题

O
O

结论：直径等于棱长.
2R=a
①正方体的内切球
②正方体的棱切球
③正方体的外接球
O

结论：直径等于面对角线.
2R=a
O
A
B
C
D
O

A
B
C
D
结论：直径等于体对角线.
2R=a

O