6.3.2 二项式系数的性质 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 课件(共48张PPT)
文档属性
| 名称 | 6.3.2 二项式系数的性质 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 课件(共48张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 16:50:31 | ||
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文档简介
(共48张PPT)
6．3 二项式定理
6．3.2 二项式系数的性质
学习指导 核心素养
1.会用赋值法求展开式系数的和. 2.能记住二项式系数的性质，并能灵活运用性质解决相关问题. 1.数学抽象：二项式系数和问题.
2.数学运算：二项式系数的最大项问题.
增大
减小
2n
2n－1
怎样用组合数的意义来解释二项式系数的对称性？
×
×
×
×
2．(多选)下列关于(a－b)10的说法中，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数不是正数
√
√
√
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式第6项中的－b的次数为5，所以其系数不是正数．
3．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项的项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
√
解析：因为2n＋1是奇数，所以中间两项，即第n＋1，n＋2项的二项式系数最大．
√
探究点1 二项展开式中系数最大问题
[问题探究]
二项展开式中二项式系数最大的项是否系数也最大，怎样求二项展开式中系数最大的项？
探究感悟：二项展开式中二项式系数最大的项系数不一定最大．求二项展开式中系数最大的项只需比较两组相邻两项系数的大小．
√
2．(2021·春季高考上海卷)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________．
探究点2 利用赋值法求解系数问题
[问题探究]
利用赋值法求解与二项展开式有关的系数问题，最常见的有哪些值？
探究感悟：二项式(ax＋b)n展开式中,令x＝0可得常数项；令x＝1可得所有项系数之和；令x＝－1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差．
已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
[变设问]在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
(2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数，得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
二项展开式中系数和的求法
(1)对于形如(ax＋b)n(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)
1．(2021·湖南省长沙市模拟)若(x－3)2(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则log2(a1＋a3＋…＋a9)＝( )
A．4 B．7
C．8 D．9
√
解析：令x＝0可得a0＝9，
令x＝1可得9＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＋a10＝210，
令x＝－1，可得9－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝0，
故a1＋a3＋…＋a9＝29，
所以log2(a1＋a3＋…＋a9)＝9.
探究点3 证明整除或余数问题
[问题探究]
二项式定理与整除、余数问题有何联系？
探究感悟：利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．
(1)证明：32n＋3－24n＋37能被64整除．
(2)求9192被100除所得的余数．
整除或求余数问题的求解策略
(1)用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
(2)要注意余数的范围，对给定的整数a，b(b≠0)，有确定的一对整数q和r，满足a＝bq＋r，其中b为除数，r为余数，r∈[0，|b|)，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数．
1．211除以9的余数为________．
2．(2021·山西省实验中学高二月考)设a∈Z，且0√
√
3．(多选)(2021·河北石家庄检测)设a∈N，且0≤a<26，若512 020＋a能被13整除，则a的值可以为( )
A．0 B．11
C．12 D．25
√
√
4．已知二项式(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第二项的系数是－14，则n＝________，含x的奇次项的二项式系数和的值是________．
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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6．3 二项式定理
6．3.2 二项式系数的性质
学习指导 核心素养
1.会用赋值法求展开式系数的和. 2.能记住二项式系数的性质，并能灵活运用性质解决相关问题. 1.数学抽象：二项式系数和问题.
2.数学运算：二项式系数的最大项问题.
增大
减小
2n
2n－1
怎样用组合数的意义来解释二项式系数的对称性？
×
×
×
×
2．(多选)下列关于(a－b)10的说法中，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数不是正数
√
√
√
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式第6项中的－b的次数为5，所以其系数不是正数．
3．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项的项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
√
解析：因为2n＋1是奇数，所以中间两项，即第n＋1，n＋2项的二项式系数最大．
√
探究点1 二项展开式中系数最大问题
[问题探究]
二项展开式中二项式系数最大的项是否系数也最大，怎样求二项展开式中系数最大的项？
探究感悟：二项展开式中二项式系数最大的项系数不一定最大．求二项展开式中系数最大的项只需比较两组相邻两项系数的大小．
√
2．(2021·春季高考上海卷)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________．
探究点2 利用赋值法求解系数问题
[问题探究]
利用赋值法求解与二项展开式有关的系数问题，最常见的有哪些值？
探究感悟：二项式(ax＋b)n展开式中,令x＝0可得常数项；令x＝1可得所有项系数之和；令x＝－1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差．
已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
[变设问]在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
(2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数，得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
二项展开式中系数和的求法
(1)对于形如(ax＋b)n(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)
1．(2021·湖南省长沙市模拟)若(x－3)2(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则log2(a1＋a3＋…＋a9)＝( )
A．4 B．7
C．8 D．9
√
解析：令x＝0可得a0＝9，
令x＝1可得9＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＋a10＝210，
令x＝－1，可得9－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝0，
故a1＋a3＋…＋a9＝29，
所以log2(a1＋a3＋…＋a9)＝9.
探究点3 证明整除或余数问题
[问题探究]
二项式定理与整除、余数问题有何联系？
探究感悟：利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．
(1)证明：32n＋3－24n＋37能被64整除．
(2)求9192被100除所得的余数．
整除或求余数问题的求解策略
(1)用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
(2)要注意余数的范围，对给定的整数a，b(b≠0)，有确定的一对整数q和r，满足a＝bq＋r，其中b为除数，r为余数，r∈[0，|b|)，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数．
1．211除以9的余数为________．
2．(2021·山西省实验中学高二月考)设a∈Z，且0
√
3．(多选)(2021·河北石家庄检测)设a∈N，且0≤a<26，若512 020＋a能被13整除，则a的值可以为( )
A．0 B．11
C．12 D．25
√
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4．已知二项式(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第二项的系数是－14，则n＝________，含x的奇次项的二项式系数和的值是________．
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
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https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php