6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 (共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 (共39张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 17:32:03 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理
学习指导 核心素养
1.根据实际问题归纳出两个计数原理，要正确理解“完成一件事”的含义，会应用两个计数原理解决问题. 2.根据实际问题的特征，能正确区分“分类”与“分步”：分类着重在“类”，类与类之间是并列的、互斥的、独立的；分步强调的是“步”，步与步之间是连续的、缺一不可的. 逻辑推理、数学运算：通过实例了解两个原理的意义及作用，解决相关问题.
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
m＋n
m×n
1．两个计数原理的区别是什么？
提示：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题
每类方案中的每种方法都能独立完成这件事 每一步完成的只是这件事的一个环节，只有各步骤都完成了才算完成这件事
各类方案之间是并列的、互斥的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
2．分类“不重不漏”的含义是什么？
提示：“不重”既各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全
集．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，完成每个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么做完其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )
×
√
√
√
2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5 C．3 D．2
√
3．(2021·湖北省孝感市期末)现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果选1条长裤与1件上衣配成一套，那么不同的搭配种数为________．
解析：要完成配套需分两步：
第1步，选上衣，有4种不同选法；
第2步，选长裤，有3种不同选法．
故不同的搭配种数为4×3＝12.
答案：12
4．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．
答案：3
探究点1 分类加法计数原理
[问题探究]
分类加法计数原理怎样推广到完成一件事有n类方案的情形？
探究感悟：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少
个？
【解】 方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
方法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
[变设问]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？
解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
(2021·重庆高二检测)小王有70元钱，现有单价分别为20元和30元的两种商品．若他至少购买1件，则不同的购买方法共有( )
A．7种 B．8种
C．6种 D．9种
√
解析：要完成的一件事是“至少购买1件商品”，分三类情况：买1件商品，买2件商品，买3件商品．而每一类都能独立完成“至少购买1件商品”这件事．买1件商品有2种方法，即买1件单价为20元的或买1件单价为30元的；买2件商品有3种方法，即买2件单价为20元的或买2件单价为30元的或单价为20元的和30元的各买1件；买3件商品有2种方法，即买2件单价为20元的和1件单价为30元的或买3件单件为20元的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的方法．
探究点2 分步乘法计数原理
[问题探究]
分步乘法计数原理怎样推广到完成一件事需要n个步骤的情形？
探究感悟：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
从－2，－1，0，1，2，3这6个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，求可以组成抛物线的条数为多少？
【解】 由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．
由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100.
1．[变设问]若本例中的抛物线开口向下，求可以组成多少条抛物线？
解：需分三步完成：第一步确定a，有2种方法；第二步确定b，有5种方法；第三步确定c，有4种方法．故可以组成2×5×4＝40(条)抛物线．
解：据条件知m>0，n>0，且m≠n，故需分两步完成：第一步确定m，有3种方法；第二步确定n，有2种方法．故组成椭圆的个数为3×2＝6.
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
1．(2021·兰州一中高二期末)从1，3，5，7，9这五个数中取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
√
2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．
√
探究点3 两个计数原理的综合应用
[问题探究]
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
探究感悟：如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况才能完成这件事，则是分步．
某校组织学生参加社会实践活动，现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人．
(1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？
【解】 (1)从高一学生中选1人作为总负责人有50种选法；从高二学生中选1人作为总负责人有42种选法；从高三学生中选1人作为总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．
(2)从高一学生中选1名负责人有50种选法；从高二学生中选1名负责人有42种选法；从高三学生中选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法．
(3)①从高一和高二学生中各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100 (种)选法；②从高二和高三学生中各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法；③从高一和高三学生中各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法．
两个计数原理的综合应用策略
(1)要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否完成这件事情．
(2)要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．
(3)有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由2个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个)．
√
2．(2021·北京东城区高二期末)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有( )
A．12条 B．15条
C．18条 D．72条
√
解析：选C.分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6(条)不同路线；
第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12(条)不同路线．
根据分类加法计数原理可得，从甲地到丁地共有6＋12＝18(条)不同路线,故选C.
1．某同学从3本不同的哲学图书、4本不同的自然科学图书、2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种 B．12种
C．9种 D．3种
解析：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为3＋4＋2＝9.故选C.
√
2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可以表示不同的点的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步,在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
√
3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则不同的行车路线有________种．
答案：12
4．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
解析：得到无重复数字的四位偶数，首先排个位数字，在2和4中取一个,有2种取法；然后排前三位，在剩余的四个数字中选3个数字依次排上，共有4×3×2＝24(种)排法．由分步乘法计数原理知，符合条件的偶数共有2×24＝48(个)．
答案：48
【戮力同心 共赴前程】
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6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理
学习指导 核心素养
1.根据实际问题归纳出两个计数原理，要正确理解“完成一件事”的含义，会应用两个计数原理解决问题. 2.根据实际问题的特征，能正确区分“分类”与“分步”：分类着重在“类”，类与类之间是并列的、互斥的、独立的；分步强调的是“步”，步与步之间是连续的、缺一不可的. 逻辑推理、数学运算：通过实例了解两个原理的意义及作用，解决相关问题.
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
m＋n
m×n
1．两个计数原理的区别是什么？
提示：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题
每类方案中的每种方法都能独立完成这件事 每一步完成的只是这件事的一个环节，只有各步骤都完成了才算完成这件事
各类方案之间是并列的、互斥的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
2．分类“不重不漏”的含义是什么？
提示：“不重”既各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全
集．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，完成每个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么做完其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )
×
√
√
√
2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5 C．3 D．2
√
3．(2021·湖北省孝感市期末)现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果选1条长裤与1件上衣配成一套，那么不同的搭配种数为________．
解析：要完成配套需分两步：
第1步，选上衣，有4种不同选法；
第2步，选长裤，有3种不同选法．
故不同的搭配种数为4×3＝12.
答案：12
4．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．
答案：3
探究点1 分类加法计数原理
[问题探究]
分类加法计数原理怎样推广到完成一件事有n类方案的情形？
探究感悟：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少
个？
【解】 方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
方法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
[变设问]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？
解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
(2021·重庆高二检测)小王有70元钱，现有单价分别为20元和30元的两种商品．若他至少购买1件，则不同的购买方法共有( )
A．7种 B．8种
C．6种 D．9种
√
解析：要完成的一件事是“至少购买1件商品”，分三类情况：买1件商品，买2件商品，买3件商品．而每一类都能独立完成“至少购买1件商品”这件事．买1件商品有2种方法，即买1件单价为20元的或买1件单价为30元的；买2件商品有3种方法，即买2件单价为20元的或买2件单价为30元的或单价为20元的和30元的各买1件；买3件商品有2种方法，即买2件单价为20元的和1件单价为30元的或买3件单件为20元的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的方法．
探究点2 分步乘法计数原理
[问题探究]
分步乘法计数原理怎样推广到完成一件事需要n个步骤的情形？
探究感悟：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
从－2，－1，0，1，2，3这6个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，求可以组成抛物线的条数为多少？
【解】 由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．
由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100.
1．[变设问]若本例中的抛物线开口向下，求可以组成多少条抛物线？
解：需分三步完成：第一步确定a，有2种方法；第二步确定b，有5种方法；第三步确定c，有4种方法．故可以组成2×5×4＝40(条)抛物线．
解：据条件知m>0，n>0，且m≠n，故需分两步完成：第一步确定m，有3种方法；第二步确定n，有2种方法．故组成椭圆的个数为3×2＝6.
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
1．(2021·兰州一中高二期末)从1，3，5，7，9这五个数中取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
√
2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．
√
探究点3 两个计数原理的综合应用
[问题探究]
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
探究感悟：如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况才能完成这件事，则是分步．
某校组织学生参加社会实践活动，现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人．
(1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？
【解】 (1)从高一学生中选1人作为总负责人有50种选法；从高二学生中选1人作为总负责人有42种选法；从高三学生中选1人作为总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．
(2)从高一学生中选1名负责人有50种选法；从高二学生中选1名负责人有42种选法；从高三学生中选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法．
(3)①从高一和高二学生中各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100 (种)选法；②从高二和高三学生中各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法；③从高一和高三学生中各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法．
两个计数原理的综合应用策略
(1)要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否完成这件事情．
(2)要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．
(3)有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由2个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个)．
√
2．(2021·北京东城区高二期末)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有( )
A．12条 B．15条
C．18条 D．72条
√
解析：选C.分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6(条)不同路线；
第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12(条)不同路线．
根据分类加法计数原理可得，从甲地到丁地共有6＋12＝18(条)不同路线,故选C.
1．某同学从3本不同的哲学图书、4本不同的自然科学图书、2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种 B．12种
C．9种 D．3种
解析：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为3＋4＋2＝9.故选C.
√
2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可以表示不同的点的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步,在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
√
3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则不同的行车路线有________种．
答案：12
4．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
解析：得到无重复数字的四位偶数，首先排个位数字，在2和4中取一个,有2种取法；然后排前三位，在剩余的四个数字中选3个数字依次排上，共有4×3×2＝24(种)排法．由分步乘法计数原理知，符合条件的偶数共有2×24＝48(个)．
答案：48
【戮力同心 共赴前程】
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