10.3.1 勾股定理及其逆定理同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
3 直角三角形
第1课时 勾股定理及其逆定理
知识梳理
1.勾股定理：直角三角形两条直角边的____________等于斜边的平方.
2.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是＿＿＿＿三角形.
3.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的＿＿＿＿和_________，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的＿________命题.
4.如果一个定理的逆命题经过证明是____________，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的＿_________定理.
基础练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积
和为 ( )
D.无法计算
2.下列命题中，其逆命题是真命题的为( )
A.对顶角相等 B.两直线平行，同位角相等
C.全等三角形的对应角相等 D.正方形的四个角都相等
3.已知D是△ABC中边BC上的一点，若 则AD是( )
A.边BC上的中线 B.BAC的平分线 C.边BC上的高线 D.边AC上的高线
4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=2，BC=4，则__________.
5.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.
(1)等边三角形的每个角都等于60°；
(2)如果两个数相等，那么它们的平方相等；
(3)若∠a+∠β=180°，则∠α与∠β中至少有一个是钝角.
6.如图，等腰三角形ABC的底边BC=17cm，D是腰BA延长线上的一点，连接CD，且BD=15cm,
CD=8cm.
(1)判断△BDC的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长.
巩固提高
7.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
8.已知M，N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点A为圆心，AN长为半径作弧；再以点B为圆心，BM长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
9.如图，△ABC在正方形网格中.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
10.给出下列定理：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③直角三角形的两个锐角互余.其中，存在逆定理的是＿＿＿________（填序号）.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，连接DF.求CF的长.
12.罗师傅想将一个正方形余料(ABCD)修剪成四边形AFEB(如图)，要求∠AFE为直角.他是这样做的：取边CD的中点F，取边BC的四等分点 E(则 然后沿AF，FE剪裁就得到四边形AFEB.你认为这样剪裁得到的四边形AFEB符合要求吗 请说明理由.
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，D为边AC上的动点，点D从点C出发，沿CA往点A运动，当运动到点A处时停止.设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.
(1)当t=2时，求AD的长.
(2)在点D运动的过程中，△CBD能否为直角三角形 若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.
参考答案
[知识梳理]
1.平方和 2.直角 3.结论 条件 逆 4.真命题 逆
［基础练习］
1.C 2.B 3.C 4.20
5.(1)逆命题：如果一个三角形的每个角都为60°，那么这个三角形为等边三角形 真命题
(2)逆命题：如果两个数的平方相等，那么这两个数相等 假命题
(3)逆命题：若∠a与∠β中至少有一个是钝角，则∠α+∠β=180° 假命题
6.(1)△BDC是直角三角形 理由：∵BC=17cm，BD=15cm,CD=8 .∴∴∠即△BDC是直角三角形
(2)设AB=AC=xcm.在Rt△ADC中，由匀股定理，得 即(15- 解得 ∵BC=17cm，∴△ABC的周长 .
[巩固提高]
7.B
8.B 解析：如图，由题意，知 BM=2+1=3,AB=2+2+1=5,
∴∴△ABC1是直角三角形，且∠AC1B=90°.同理，可得△ABC2是直角三角形，∠AC2B=90°.
9.A 10.②③
11.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5.∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴CE=DE，BD=AB-AD=2.易得CF=DF.在△ADF和△ACF中，∴△ADF≌△ACF.∴∠ADF=∠ACF=90°.∴∠BDF=90°. 设CF=DF=x，则BF=4-x.在Rt△BDF中，由勾股定理，得即解得x=1.5.∴CF的长为1.5.
12.符合要求 理由：连接AE.设正方形ABCD的边长为4a(a＞0).∵F为边CD的中点，E为边BC的四等分点，=2a BC=a,∴BE=3a。在Rt△ADF中，由勾股定理，得 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 为直角三角形，且∠AFE为直角.∴这样剪裁得到的四边形AFEB符合要求.
13.（1）再Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=152+202=625，∴AC=25.当t=2时，CD=2×2=4，∴AD=AC-CD=25-4=21.
（2）△CBD能为直角三角形 分为两种情况：①当∠BDC=90°时，如图①.
∵S△ABC=BC·AB=AC·BD，∴.在Rt△CBD中，由勾股定理，得CD2=BC2﹣BD2=152-122=81，∴CD=9.∴t=.
②当∠CBD=90°时，如图②，此时点D和点A重合，.
综上所述，t的值是4.5或12.5.
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