第6章　空间向量与立体几何 再练一课(范围：§6.1～§6.2)（word含解析）

再练一课(范围：§6.1～§6.2)
一、单项选择题
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　＋(＋)＝＋×2＝＋＝.
2．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为M，A，B，C共面，所以＋＋λ＝1，
解得λ＝.
3．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
答案　B
解析　因为A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，
所以＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，
可得＝－3，
所以∥.
又同理可得与不平行，所以直线AB与CD的位置关系是平行，故选B.
4．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　)
A．10x＋2y＋10z－37＝0
B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0
D．10x－2y＋10z＋37＝0
答案　A
解析　由MA＝MB，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2.化简得，10x＋2y＋10z－37＝0.
5．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　)
A．－2 B．2 C．3 D．－3
答案　A
解析　∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，
∴x＝－2.
6．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是(　　)
A．0 B．π C. D．2π
答案　B
解析　＝(3,3,3)，＝(－6，－6，－6)，
则·＝3×(－6)＋3×(－6)＋3×(－6)＝－54，
||＝3，||＝6，
所以cos〈，〉＝＝＝－1，
所以〈，〉＝π.
二、多项选择题
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　　)
A.＋与＋
B.－与－
C.－与－
D.＋＋＋与＋＋＋
答案　ACD
解析　如图，
根据图形可看出，选项A，D的两向量互为相反向量；
－＝，－＝，＝，
∴选项B的两向量不是相反向量；
－＝，－＝，和互为相反向量，
∴选项C的两向量互为相反向量．
8．已知向量a＝(1,1,0)，则与a共线的单位向量e等于(　　)
A. B．(0,1,0)
C. D．(1,1,1)
答案　AC
解析　由于向量a＝(1,1,0)，
所以|a|＝＝，
根据单位向量的关系式e＝±，
可得e＝或e＝.
三、填空题
9．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝____________.
答案　－－＋
解析　由题意，连接AE(图略)，
则＝－＝＋－
＝＋(－)－×(＋)
＝－－＋.
10．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
答案　6
解析　a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，
|a|＝，|b|＝，
所以cos〈a，b〉＝＝－.
所以sin〈a，b〉＝＝.
因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为
|a||b|sin〈a，b〉＝××＝6.
11．已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为__________________．
答案　
解析　如图所示，
＝＋＝＋＋，
故||2＝|＋＋|2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2＝85，
故||＝.
12．如图，将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为，的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为________．
答案　
解析　以O为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
则A(0,1,0)，A1(0,1,1)，B1，C.
所以＝(0,0,1)，＝(0，－1，－1)，
则·＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
因此，异面直线B1C与AA1所成的角为.
四、解答题
13．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
解　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)假设在直线AB上，存在一点E，使得⊥b，则存在实数t，使＝t，
所以＝＋＝＋t
＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为.
14．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
＝＋
＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝－＝(a－c)＝a－c.
(2)＝(＋)＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
又＝xa＋yb＋zc，∴x＝，y＝－，z＝－1.
15．已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0求：(1)MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小．
解　(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
BE 平面ABEF，
所以BE⊥平面ABCD.所以AB，BC，BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为点G，H，连接NG，易证NG⊥AB.因为CM＝BN＝a，
所以CH＝MH＝BG＝GN＝a，
所以以B为坐标原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则M，N.所以
MN＝
＝＝(0(2)因为MN＝(0故当a＝时，MNmin＝，这时M，N恰好分别为AC，BF的中点．