高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 7.3 第2课时 组合数的性质及应用（学案+课时练 word版含解析）

第2课时　组合数的性质及应用
学习目标　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．
导语
对一次学校运动会中的两个特定项目：趣味投羽毛球、3 000米长跑，某班级50位同学必须参加其中一个项目且仅参加一个项目(每一位同学可以在两个项目中任选一个，要求17人参加3 000米跑，其余人参加投羽毛球项目)，假设你是班级体育委员，你能算出所有可能的报名情况吗？
一、组合数的性质1
问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？
提示　上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56.
知识梳理
组合数的性质1：C＝C.
注意点：
(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想．
(2)两边下标相同，上标之和等于下标．
例1　(1)计算：C＝________，C·C＝__________.
答案　2 022　
解析　C＝C＝2 022，C·C＝C·C＝.
(2)(多选)若C＝C(n∈N*)，则n等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　BD
解析　由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或n＝7.
反思感悟　性质“C＝C”的意义及作用
跟踪训练1　(1)若C＝C，则C等于(　　)
A．1 B．10 C．11 D．55
答案　C
解析　由C＝C，得n＝6＋5＝11，C＝C＝C＝11.
(2)若C＝C，则C＝____________.
答案　28
解析　由C＝C，
得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
解得n＝2或n＝8(舍去)，
故C＝28.
二、组合数的性质2
问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？
提示　一样，C＝C＋C.
知识梳理
组合数的性质2：C＝C＋C.
注意点：
(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数．
(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．
例2　(1)已知m≥4，C－C＋C等于(　　)
A．1 B．m C．m＋1 D．0
答案　D
解析　C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0.
(2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．C B．C C．C D．C
答案　D
解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.
延伸探究　若将本例(2)中式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？
解　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C
＝C＋C＋…＋C－1
…
＝C＋C－1＝C－1.
反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．
跟踪训练2　(1)若C－C＝C，则n等于(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
答案　C
解析　C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，n＝14.
(2)C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．C B．C C．C－1 D．C－1
答案　B
解析　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C.
三、有限制条件的组合问题
例3　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
解　(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120(种)选法．
(2)方法一　(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(种)选法．
方法二　(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
反思感悟　常见的有限制条件的组合问题及解题方法
(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
(2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以以此作为分类依据，或采用间接法求解．
(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
跟踪训练3　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
解　(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C种选法，再从另外9人中选4人，有C种选法，共有CC＝378(种)不同的选法．
1．知识清单：
(1)组合数的两个性质及性质的理解．
(2)组合数在实际问题中的应用．
2．方法归纳：分类讨论、间接法．
3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算时不能构造组合数性质．
1．C＋C＋C等于(　　)
A．C B．C
C．C D．C
答案　D
解析　C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C，故选D.
2．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　)
A．120种 B．84种
C．52种 D．48种
答案　C
解析　(间接法)C－C＝52(种)．
3．C＋C＋C＋…＋C＝________.
答案　C
解析　因为C＝C，
所以C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C＝C＝C.
4．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为______．
答案　96
解析　从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C·C·C＝96(种)．
课时对点练
1．方程C＝C的解集为(　　)
A．4 B．14
C．4或6 D．14或2
答案　C
解析　由题意知或
解得x＝4或x＝6.
2．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有(　　)
A．60种 B．48种
C．30种 D．10种
答案　C
解析　从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30(种)．
3．C＋C＋C＋C＋C＋C等于(　　)
A．C B．C C．C D．A
答案　B
解析　因为C＋C＝C，
所以C＋C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C
＝C＋C＝C.
4．已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为(　　)
A．CC＋CC B．(C＋C)(C＋C)
C．C－9 D．C－C
答案　A
解析　可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC，利用分类计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为CC＋CC.
5．在平面直角坐标系xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有(　　)
A．25个 B．36个 C．100个 D．225个
答案　D
解析　在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225.
6．(多选)下列等式正确的是(　　)
A．C＝ B．C＝C
C．C＝C＋C D．nC＝mC
答案　ABC
解析　A是组合数公式；B，C是组合数性质；C＝，C＝＝C，
两者不相等，故D错误．
7．计算C＋C＋C的值为________．
答案　126
解析　C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝126.
8．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．
答案　2或3
解析　设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CC＝30，n∈N*，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2或3人．
9．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
解　(1)从余下的34名学生中选取2名，
有C＝561(种)．
∴不同的选法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有C种．
或者C－C＝C＝5 984(种)．
∴不同的选法有5 984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100(种)．
∴不同的选法有2 100种．
(4)选取2名女生有CC种，
选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴不同的选法有2 555种．
(5)选取3名的总数有C，∴选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090(种)．
∴不同的选法有6 090种．
10．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解　可以分三类：
第一类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事英语翻译工作，有CC种选法；
第二类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事德语翻译工作，有CC种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年未被选中，有CC种选法．
根据分类计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法．
11．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．28 B．49 C．56 D．85
答案　B
解析　依题意得，满足条件的不同选法的种数为
CC＋CC＝49(种)．
12．化简C＋2C＋C等于(　　)
A．C B．C
C．C D．C
答案　B
解析　由组合数性质知，C＋2C＋C＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C.
13．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种(结果用数值表示)．
答案　7
解析　设餐厅还需准备x种不同的素菜．
由题意，得C·C≥200，从而有C≥20，
即x(x－1)≥40.
又x≥2，x∈N*，所以x的最小值为7.
14．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形，共有________个交点．
答案　1 260　80
解析　第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC＝1 260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC＝80(个)．
15．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　)
A．120 B．240
C．360 D．720
答案　B
解析　先选出3个球有C＝120(种)方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240(种)方法．
16．某次足球赛，共32支球队参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共进行了多少场比赛？
解　可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出参加决赛的两支球队，共有2场；(5)决赛：两支球队比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．