高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 7.4 第1课时 二项式定理（学案+课时练 word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 7.4 第1课时 二项式定理（学案+课时练 word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 611.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 18:07:15 | ||
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文档简介
§7.4 二项式定理
第1课时 二项式定理
学习目标 1.理解二项式定理的相关概念.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
导语
艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643－1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？
一、二项式定理
问题1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步计数原理解释展开式中的项是如何产生的？
提示 展开式中的每一项都是从两个括号中各取1个字母的乘积．
从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即
a2－kbk的系数是C.
问题2 你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
提示 (a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3.
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫作二项式定理．
(2)二项展开式：等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．
(3)二项式系数：C(r＝0,1，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数．
(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第r＋1项称为二项式通项，记作Tr＋1＝Can－rbr.
注意点：
(1)每一项中a与b的指数和为n.
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止．
(3)a与b的位置不能交换．
(4)Can－rbr表示的是第r＋1项．
例1 求4的展开式．
解 方法一 4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
跟踪训练1 求5的展开式．
解 方法一 5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
方法二 5＝
＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]
＝32x5－120x2＋－＋－.
二、二项展开式通项的应用
角度1 二项式系数与项的系数
例2 在二项式10的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)第4项的系数．
解 10的展开式的通项是
Tr＋1＝C(3)10－rr＝C310－rr· (r＝0,1,2，…，10)．
(1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为C373＝－77 760.
反思感悟 (1)二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念．
(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C(r∈{0,1,2，…，n})．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
跟踪训练2 已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求第三项的二项式系数及项的系数；
(2)求含x项的系数．
解 (1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．
∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0，
∴n＝8或n＝1(舍)．
通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r
＝r·C·，r＝0,1，…，8，
∴第三项的二项式系数为C＝28.
第三项的系数为2·C＝7.
(2)令4－r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为4·C＝.
角度2 展开式中的特定项
例3 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解 通项公式为
Tr＋1＝
(1)∵第6项为常数项，
∴当r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝t(t∈Z)，
则10－2r＝3t，即r＝5－t.
∵r∈N，∴t应为偶数．
令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则常数a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
(2)设(x－)n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
解 (x－)n的展开式中第二项和第四项分别为
T2＝C·xn－1(－)＝－nxn－1，
T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.
由题意可知＝，
即n2－3n－4＝0，
又n∈N*，解得n＝4.
设(x－)4的展开式中含x2的项为第r＋1项，
则Tr＋1＝C·x4－r·(－)r(r＝0,1,2,3,4)，
根据题意可知4－r＝2，解得r＝2.
所以(x－)4的展开式中含x2的项为T3＝C·x2·(－)2＝12x2.
1．知识清单：
(1)二项展开式的形成过程．
(2)二项式定理的正用与逆用．
(3)二项展开式的通项的应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与项的系数的区别，Can－rbr是展开式的第r＋1项．
1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．8
答案 B
解析 因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.
2.6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60 C．250 D．－250
答案 A
解析 6的展开式中的常数项为
C()4·2＝60.
3．在(1＋2x)7的展开式中，C是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．
答案 3 84
解析 (1＋2x)7的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r，
当r＝2时，T3＝C22x2＝84x2，
∴C是第3项的二项式系数，第3项的系数是84.
4．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________.
答案 x5
解析 原式＝[(x－1)＋1]5＝x5.
课时对点练
1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于( )
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
答案 C
解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2．(多选)(x－y)10的展开式中x6y4的系数是m，二项式系数是n，下面说法正确的是( )
A．m＝－840 B．m＝840
C．n＝210 D．n＝－210
答案 BC
解析 在通项公式Tr＋1＝Cx10－r(－y)r中，令r＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840，即m＝840，n＝C＝210，故选BC.
3．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．33 B．29 C．23 D．19
答案 B
解析 ∵(1＋)4＝17＋12＝a＋b，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.
4．(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，若第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )
A．4 B．27 C．36 D．108
答案 D
解析 Tr＋1＝C(3x)r，由C＝6，得n＝4，从而T4＝C·(3x)3，故第四项的系数为C33＝108.
5．已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，则实数b的值为( )
A．60 B．40 C．20 D．15
答案 A
解析 其展开式的通项为Tr＋1＝Carxr，则x的系数为Ca1＝12，解得a＝2，从而求得b＝C22＝60.
6．(多选)在(ax＋1)7的展开式中，若x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则下列说法正确的是( )
A．a＝
B．展开式中含x2的系数为
C．展开式中含x3的二项式系数为35
D．展开式中含x5的系数为21
答案 ABC
解析 (ax＋1)7的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)7－r，∴x3的系数是Ca3，x2的系数是Ca2，x5的系数是Ca5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项，∴(Ca3)2＝Ca2×Ca5，∴a＝，A正确，故展开式中含x2的系数为C·a2＝，B正确，故展开式中含x3的二项式系数为C＝35，C正确，展开式中含x5的系数为C·a5≠21，D不正确．
7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
答案 8
解析 (1＋2x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.
8．已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则n的二项展开式的常数项是________．
答案 160
解析 由题意得n＝6，
∴Tr＋1＝Cx6－r·r＝2rCx6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为C23＝160.
9．在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，
令3－r＝2，得r＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它的展开式中的所有有理项．
解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tr＋1＝
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，
又0≤r≤14，r∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
r＝0，T1＝Cx7＝x7；
r＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
r＝12，T13＝Cx5＝91x5.
11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
答案 B
解析 ∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
12．在n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 Tr＋1＝C(3x2)n－rr＝C3n－r·rx2n－5r，令2n－5r＝0，∴n＝r.
∴正整数n的最小值为5.
13．(多选)对于二项式n(n∈N*)，下列判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有一次项
答案 AD
解析 二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
答案 (1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r·r＝(－1)rn－r
(1)因为第9项为常数项，所以当r＝8时，2n－r＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－r为整数，需r为偶数，由于r＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
15．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．
答案
解析 (a＋b＋c)n＝C(a＋b)n＋C(a＋b)n－1c＋…＋Ccn，所以其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
16．已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
解 (1)a1C－a2C＋a3C＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，
a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3
＝a1(1－q)3.
(2)归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C
＝a1(1－q)n，n为正整数．
证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C
＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC
＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]
＝a1(1－q)n.
第1课时 二项式定理
学习目标 1.理解二项式定理的相关概念.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
导语
艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643－1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？
一、二项式定理
问题1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步计数原理解释展开式中的项是如何产生的？
提示 展开式中的每一项都是从两个括号中各取1个字母的乘积．
从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即
a2－kbk的系数是C.
问题2 你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
提示 (a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3.
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫作二项式定理．
(2)二项展开式：等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．
(3)二项式系数：C(r＝0,1，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数．
(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第r＋1项称为二项式通项，记作Tr＋1＝Can－rbr.
注意点：
(1)每一项中a与b的指数和为n.
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止．
(3)a与b的位置不能交换．
(4)Can－rbr表示的是第r＋1项．
例1 求4的展开式．
解 方法一 4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
跟踪训练1 求5的展开式．
解 方法一 5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
方法二 5＝
＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]
＝32x5－120x2＋－＋－.
二、二项展开式通项的应用
角度1 二项式系数与项的系数
例2 在二项式10的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)第4项的系数．
解 10的展开式的通项是
Tr＋1＝C(3)10－rr＝C310－rr· (r＝0,1,2，…，10)．
(1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为C373＝－77 760.
反思感悟 (1)二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念．
(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C(r∈{0,1,2，…，n})．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
跟踪训练2 已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求第三项的二项式系数及项的系数；
(2)求含x项的系数．
解 (1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．
∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0，
∴n＝8或n＝1(舍)．
通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r
＝r·C·，r＝0,1，…，8，
∴第三项的二项式系数为C＝28.
第三项的系数为2·C＝7.
(2)令4－r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为4·C＝.
角度2 展开式中的特定项
例3 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解 通项公式为
Tr＋1＝
(1)∵第6项为常数项，
∴当r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝t(t∈Z)，
则10－2r＝3t，即r＝5－t.
∵r∈N，∴t应为偶数．
令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则常数a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
(2)设(x－)n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
解 (x－)n的展开式中第二项和第四项分别为
T2＝C·xn－1(－)＝－nxn－1，
T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.
由题意可知＝，
即n2－3n－4＝0，
又n∈N*，解得n＝4.
设(x－)4的展开式中含x2的项为第r＋1项，
则Tr＋1＝C·x4－r·(－)r(r＝0,1,2,3,4)，
根据题意可知4－r＝2，解得r＝2.
所以(x－)4的展开式中含x2的项为T3＝C·x2·(－)2＝12x2.
1．知识清单：
(1)二项展开式的形成过程．
(2)二项式定理的正用与逆用．
(3)二项展开式的通项的应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与项的系数的区别，Can－rbr是展开式的第r＋1项．
1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．8
答案 B
解析 因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.
2.6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60 C．250 D．－250
答案 A
解析 6的展开式中的常数项为
C()4·2＝60.
3．在(1＋2x)7的展开式中，C是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．
答案 3 84
解析 (1＋2x)7的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r，
当r＝2时，T3＝C22x2＝84x2，
∴C是第3项的二项式系数，第3项的系数是84.
4．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________.
答案 x5
解析 原式＝[(x－1)＋1]5＝x5.
课时对点练
1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于( )
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
答案 C
解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2．(多选)(x－y)10的展开式中x6y4的系数是m，二项式系数是n，下面说法正确的是( )
A．m＝－840 B．m＝840
C．n＝210 D．n＝－210
答案 BC
解析 在通项公式Tr＋1＝Cx10－r(－y)r中，令r＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840，即m＝840，n＝C＝210，故选BC.
3．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．33 B．29 C．23 D．19
答案 B
解析 ∵(1＋)4＝17＋12＝a＋b，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.
4．(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，若第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )
A．4 B．27 C．36 D．108
答案 D
解析 Tr＋1＝C(3x)r，由C＝6，得n＝4，从而T4＝C·(3x)3，故第四项的系数为C33＝108.
5．已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，则实数b的值为( )
A．60 B．40 C．20 D．15
答案 A
解析 其展开式的通项为Tr＋1＝Carxr，则x的系数为Ca1＝12，解得a＝2，从而求得b＝C22＝60.
6．(多选)在(ax＋1)7的展开式中，若x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则下列说法正确的是( )
A．a＝
B．展开式中含x2的系数为
C．展开式中含x3的二项式系数为35
D．展开式中含x5的系数为21
答案 ABC
解析 (ax＋1)7的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)7－r，∴x3的系数是Ca3，x2的系数是Ca2，x5的系数是Ca5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项，∴(Ca3)2＝Ca2×Ca5，∴a＝，A正确，故展开式中含x2的系数为C·a2＝，B正确，故展开式中含x3的二项式系数为C＝35，C正确，展开式中含x5的系数为C·a5≠21，D不正确．
7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
答案 8
解析 (1＋2x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.
8．已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则n的二项展开式的常数项是________．
答案 160
解析 由题意得n＝6，
∴Tr＋1＝Cx6－r·r＝2rCx6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为C23＝160.
9．在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，
令3－r＝2，得r＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它的展开式中的所有有理项．
解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tr＋1＝
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，
又0≤r≤14，r∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
r＝0，T1＝Cx7＝x7；
r＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
r＝12，T13＝Cx5＝91x5.
11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
答案 B
解析 ∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
12．在n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 Tr＋1＝C(3x2)n－rr＝C3n－r·rx2n－5r，令2n－5r＝0，∴n＝r.
∴正整数n的最小值为5.
13．(多选)对于二项式n(n∈N*)，下列判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有一次项
答案 AD
解析 二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
答案 (1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r·r＝(－1)rn－r
(1)因为第9项为常数项，所以当r＝8时，2n－r＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－r为整数，需r为偶数，由于r＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
15．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．
答案
解析 (a＋b＋c)n＝C(a＋b)n＋C(a＋b)n－1c＋…＋Ccn，所以其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
16．已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
解 (1)a1C－a2C＋a3C＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，
a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3
＝a1(1－q)3.
(2)归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C
＝a1(1－q)n，n为正整数．
证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C
＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC
＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]
＝a1(1－q)n.