高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 8.1.2 全概率公式-8.1.3 贝叶斯公式（学案+课时练 word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 8.1.2 全概率公式-8.1.3 贝叶斯公式（学案+课时练 word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 211.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 18:55:20 | ||
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文档简介
8.1.2 全概率公式
8.1.3 贝叶斯公式*
学习目标 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)．
导语
狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．
设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5，经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！
一、全概率公式
问题 有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
提示 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
因此，取得红球的概率为.
知识梳理
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．这个公式称为全概率公式(total probability formula)．
注意点：
如图所示，B发生的概率与P(BAi)(i＝1,2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和．
例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
解 如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.
反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
解 记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
二、多个事件的全概率问题
例2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
解 设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)
＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)(A|B3)
＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03
＝0.012 5.因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5.
延伸探究 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如下表所示：
产品种类 甲 乙 丙
百分率 60% 20% 20%
优质率 90% 85% 80%
在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率．
解 用A1，A2，A3表示甲、乙、丙产品，B表示优质品，
由已知得P(A1)＝60%，P(A2)＝20%，P(A3)＝20%，
且P(B|A1)＝90%，P(B|A2)＝85%，P(B|A3)＝80%.
因此由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝60%×90%＋20%×85%＋20%×80%＝54%＋17%＋16%＝87%.
反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解 (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
三、贝叶斯公式*
知识梳理
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)·P(Ai)，因此P(Ai|B)＝，再由全概率公式得P(Ai|B)＝.这个公式称为贝叶斯公式．
注意点：
(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．
例3 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么：
(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？
(2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？
解 (1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则
P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)
＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)
＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.
(2)P(L1|C)＝＝≈0.28.
所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28.
反思感悟 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效．
跟踪训练3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
解 设B表示事件“中途停车修理”，A1表示事件“经过的是货车”，A2表示事件“经过的是客车”，
则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式得
P(A1|B)＝
＝＝0.8.
1．知识清单：
(1)全概率公式．
(2)贝叶斯公式．
2．方法归纳：化整为零、转化化归．
3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．
1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为( )
A．0.08 B．0.8
C．0.6 D．0.5
答案 C
解析 因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，
P(B)＝P()P(B|)，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.
2．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为( )
A．0.65 B．0.075
C．0.145 D．0
答案 C
解析 设A1表示事件“他乘火车来”，A2表示事件“他乘船来”，A3表示事件“他乘汽车来”，A4表示事件“他乘飞机来”，B表示事件“他迟到”．
则A1，A2，A3，A4构成一个样本空间，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
3．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
由题意得P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋＝.
4．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为________；
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．
答案 (1)1.47% (2)
解析 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．
(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
(2)P(B|A)＝＝＝.
课时对点练
1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
答案 C
解析 所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )
A．0.012 45 B．0.057 86
C．0.026 25 D．0.028 65
答案 C
解析 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25.
3．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )
A．0.21 B．0.06
C．0.94 D．0.95
答案 D
解析 令B＝“取到的零件为合格品”，Ai＝“零件为第i台机床的产品”，i＝1,2.由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝×0.96＋×0.93＝0.95.
4．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
答案 A
解析 以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，
P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝0.08.
5．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B)
＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，
由题设易知P(A)＝，P()＝，
P(B|A)＝，P(B|)＝，
于是P(B)＝×＋×＝.
6．设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设A表示事件“先取到的是女生表”，Bi表示事件“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝×＋×＋×＝.
7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
答案 64%
解析 记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”．
依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
8．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
答案
解析 设A表示事件“第一次取到1号球”，则表示事件“第一次取到的是非1号球”；B表示事件“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝·＋·＝.
9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，
P()＝1－＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
10．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
解 设Ai＝“第i个地区”，i＝1,2,3；B＝“感染此病”，
∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
(1)P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝≈0.198.
(2)P(A2|B)＝＝≈0.337.
11．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为( )
A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64
答案 A
解析 设A表示事件“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B表示事件“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R表示事件“第二次取出的球是红球”，
则P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
P(R|B)＝，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
12．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设A事件为“不知道答案”，B事件为“猜对此题”．则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝1.
所以所求概率为P(A|B)＝
＝
＝
＝.
13．设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球并使用，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
14．电报发射台发出“·”和“－”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“－”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
答案
解析 设A＝收到“·”，B＝发出“·”，
由贝叶斯公式得
P(B|A)＝
＝＝.
15．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为________；
(2)若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为________．
答案 (1) (2)Pn＝－Pn－1＋
解析 (1)P2＝×＋×＝.
(2)Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1＋.
16．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝＝＝，
P(B2|A)＝＝＝，
P(B3|A)＝＝＝.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．
8.1.3 贝叶斯公式*
学习目标 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)．
导语
狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．
设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5，经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！
一、全概率公式
问题 有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
提示 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
因此，取得红球的概率为.
知识梳理
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．这个公式称为全概率公式(total probability formula)．
注意点：
如图所示，B发生的概率与P(BAi)(i＝1,2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和．
例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
解 如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.
反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
解 记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
二、多个事件的全概率问题
例2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
解 设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)
＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)(A|B3)
＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03
＝0.012 5.因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5.
延伸探究 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如下表所示：
产品种类 甲 乙 丙
百分率 60% 20% 20%
优质率 90% 85% 80%
在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率．
解 用A1，A2，A3表示甲、乙、丙产品，B表示优质品，
由已知得P(A1)＝60%，P(A2)＝20%，P(A3)＝20%，
且P(B|A1)＝90%，P(B|A2)＝85%，P(B|A3)＝80%.
因此由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝60%×90%＋20%×85%＋20%×80%＝54%＋17%＋16%＝87%.
反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解 (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
三、贝叶斯公式*
知识梳理
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)·P(Ai)，因此P(Ai|B)＝，再由全概率公式得P(Ai|B)＝.这个公式称为贝叶斯公式．
注意点：
(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．
例3 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么：
(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？
(2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？
解 (1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则
P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)
＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)
＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.
(2)P(L1|C)＝＝≈0.28.
所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28.
反思感悟 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效．
跟踪训练3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
解 设B表示事件“中途停车修理”，A1表示事件“经过的是货车”，A2表示事件“经过的是客车”，
则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式得
P(A1|B)＝
＝＝0.8.
1．知识清单：
(1)全概率公式．
(2)贝叶斯公式．
2．方法归纳：化整为零、转化化归．
3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．
1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为( )
A．0.08 B．0.8
C．0.6 D．0.5
答案 C
解析 因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，
P(B)＝P()P(B|)，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.
2．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为( )
A．0.65 B．0.075
C．0.145 D．0
答案 C
解析 设A1表示事件“他乘火车来”，A2表示事件“他乘船来”，A3表示事件“他乘汽车来”，A4表示事件“他乘飞机来”，B表示事件“他迟到”．
则A1，A2，A3，A4构成一个样本空间，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
3．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
由题意得P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋＝.
4．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为________；
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．
答案 (1)1.47% (2)
解析 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．
(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
(2)P(B|A)＝＝＝.
课时对点练
1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
答案 C
解析 所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )
A．0.012 45 B．0.057 86
C．0.026 25 D．0.028 65
答案 C
解析 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25.
3．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )
A．0.21 B．0.06
C．0.94 D．0.95
答案 D
解析 令B＝“取到的零件为合格品”，Ai＝“零件为第i台机床的产品”，i＝1,2.由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝×0.96＋×0.93＝0.95.
4．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
答案 A
解析 以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，
P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝0.08.
5．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B)
＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，
由题设易知P(A)＝，P()＝，
P(B|A)＝，P(B|)＝，
于是P(B)＝×＋×＝.
6．设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设A表示事件“先取到的是女生表”，Bi表示事件“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝×＋×＋×＝.
7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
答案 64%
解析 记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”．
依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
8．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
答案
解析 设A表示事件“第一次取到1号球”，则表示事件“第一次取到的是非1号球”；B表示事件“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝·＋·＝.
9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，
P()＝1－＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
10．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
解 设Ai＝“第i个地区”，i＝1,2,3；B＝“感染此病”，
∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
(1)P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝≈0.198.
(2)P(A2|B)＝＝≈0.337.
11．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为( )
A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64
答案 A
解析 设A表示事件“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B表示事件“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R表示事件“第二次取出的球是红球”，
则P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
P(R|B)＝，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
12．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设A事件为“不知道答案”，B事件为“猜对此题”．则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝1.
所以所求概率为P(A|B)＝
＝
＝
＝.
13．设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球并使用，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
14．电报发射台发出“·”和“－”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“－”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
答案
解析 设A＝收到“·”，B＝发出“·”，
由贝叶斯公式得
P(B|A)＝
＝＝.
15．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为________；
(2)若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为________．
答案 (1) (2)Pn＝－Pn－1＋
解析 (1)P2＝×＋×＝.
(2)Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1＋.
16．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝＝＝，
P(B2|A)＝＝＝，
P(B3|A)＝＝＝.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．