高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 8.2.2 第1课时 离散型随机变量的均值（学案+课时练 word版含解析）
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| 名称 | 高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 8.2.2 第1课时 离散型随机变量的均值（学案+课时练 word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 574.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 18:43:08 | ||
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文档简介
8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
导语
德·梅累向帕斯卡提出问题：甲乙两人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励．比赛三局过后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平，让双方都能欣然接受？也就是甲和乙的期望所得分别是多少呢？
一、离散型随机变量的均值
问题1 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的概率分布吗？
提示 ＝18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．
ξ的概率分布为
ξ 18 24 36
P
知识梳理
一般地，若离散型随机变量X的概率分布表为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，将随机变量X的均值或数学期望记为E(X)或μ，则E(X)＝μ＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.
注意点：
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数．
(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布和均值．
解 X的可能取值为1,2,3,4，则P(X＝1)＝0.6，
P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，
P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096，
P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024，
所以在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
反思感悟 求随机变量X的均值关键是写出概率分布，一般分为四步：
(1)确定X的可能取值；
(2)计算出P(X＝k)；
(3)写出概率分布；
(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的概率分布与均值．
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，
则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××
＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××
＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
∴X的概率分布为
X －4 1 3 6
P
∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
二、离散型随机变量均值的性质
问题2 若X，Y都是一离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？
提示 X，Y的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
例2 已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
答案
解析 由随机变量概率分布的性质，得
＋＋＋m＋＝1，
解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
延伸探究 本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值．
解 E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15.
反思感悟 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法
(1)定义法：先列出Y的概率分布，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，求解即可．
跟踪训练2 (1)设ξ的概率分布为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的概率分布如下表，则m的值为( )
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为η＝12ξ＋7，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
三、均值的实际应用
例3 农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；若维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费．一位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务．为此，他收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表：
维修次数 5 6 7 8 9
频率 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1
(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这位农机手的花费总费用是多少？如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总费用又是多少？
(2)农机手购买了一台收割机．试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用期内维修时花费的总费用的均值，帮助农机手进行决策．
解 (1)购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为6×100－50＋5×50＝800(元)；购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为6×100＋50×6＋2×400＝1 700(元)．
(2)若购买6次维修，实际维修次数为6次时的维修总费用为6×100＋6×50＝900(元)；实际维修次数为7次时的维修总费用为900＋400＝1 300(元)；实际维修次数为9次时的维修总费用为1 700＋400＝2 100(元)．
综合(1)的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布为
维修次数 5 6 7 8 9
维修总费用ξ1 800 900 1 300 1 700 2 100
P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1
E(ξ1)＝800×0.3＋900×0.3＋1 300×0.2＋1 700×0.1＋2 100×0.1＝1 150(元)．
若购买7次维修，
实际维修次数为5次时的总费用为
7×100－2×50＋5×50＝850(元)；
实际维修次数为6次时的总费用为
7×100－50＋6×50＝950(元)；
实际维修次数为7次时的总费用为
7×100＋7×50＝1 050(元)；
实际维修次数为8次时的总费用为
1 050＋400＝1 450(元)；
实际维修次数为9次时的总费用为
1 450＋400＝1 850(元)；
维修总费用的概率分布为
维修次数 5 6 7 8 9
维修总费用ξ2 850 950 1 050 1 450 1 850
P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1
E(ξ2)＝850×0.3＋950×0.3＋1 050×0.2＋1 450×0.1＋1 850×0.1＝1 080(元)．
因为E(ξ1)>E(ξ2)，所以选订购7次维修较划算．
反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定概率分布，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练3 在某项目的选拔比赛中，A，B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分(不存在平局)，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.
对阵队员 A队队员胜 A队队员负
A1～B1
A2～B2
A3～B3
(1)求A队得分为1分的概率；
(2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
解 (1)设A队得分为1分的事件为E，
则P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××
＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P
因此随机变量ξ的均值为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
因为ξ＋η＝3，所以η＝3－ξ，
则随机变量η的均值为
E(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－＝.
所以E(ξ)1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)离散型随机变量的均值的应用．
2．方法归纳：函数与方程、转化化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知离散型随机变量X的概率分布为
X 1 2 3
P
则X的均值E(X)等于( )
A. B．2 C. D．3
答案 A
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
答案 B
解析 出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
3．若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝，E(X)＝－，则a＝________.
答案 2
解析 ∵E(X)＝－，E(Y)＝，Y＝aX＋3，
∴aE(X)＋3＝，解得a＝2.
4．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
答案
解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的概率分布为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
课时对点练
1．某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 18 20
频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
试估计该商品日平均需求量为( )
A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8
答案 D
解析 估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0 B. C．1 D．－1
答案 A
解析 E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0.
3．已知某一随机变量X的概率分布如表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为( )
X a 7 9
P b 0.1 0.4
A.4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 根据概率分布的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，
所以a＝4.
4．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法求 B．0
C．E(X) D．2E(X)
答案 B
解析 只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
5．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
答案 D
解析 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市和B市都不受台风袭击的概率为
(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8 (舍去)，
P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，
P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，
P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
∴E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4，故选D.
6．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．今有两台独立工作的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________.
答案 1.75
解析 X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的概率分布为
X 1 2 3 4
P 0.5 0.2 0.2 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝________元．
答案 130
解析 由题意可知Y可以取100,150,200，利润Y的概率分布为
Y 100 150 200
P 0.5 0.4 0.1
∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元)．
9．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求：(1)抽取次数X的概率分布；(2)随机变量X的均值．
解 (1)X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的概率分布为
X 1 2 3
P
(2)由均值的定义得
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
10．某人有20万元，准备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选择哪种方案？
自然 状况 方案 盈利(万元) 概率 购买股票 投资房地产
巨大成功 0.3 10 8
一般成功 0.5 3 4
失败 0.2 －10 －4
解 设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则E(X)＝10×0.3＋3×0.5＋(－10)×0.2＝3＋1.5－2＝2.5，
E(Y)＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6，
因为E(Y)＞E(X)，所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产．
11．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是( )
ξ 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
A.706元 B．690元 C．754元 D．720元
答案 A
解析 由概率分布可以得到需求量的均值是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利润的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元)．
12．(多选)设p为非负实数，随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是( )
A．p∈
B．E(X)最大值为
C．p∈
D．E(X)最大值为
答案 AB
解析 由表可得
从而得p∈，
均值E(X)＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，
当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
13．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
投资甲获利(万元) 2 3 －1
概率 0.4 0.3 0.3
投资乙获利(万元) 1 4 －2
概率 0.6 0.2 0.2
那么他应该选择经营________种商品．
答案 甲
解析 投资甲项目获利的均值
E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，
投资乙项目获利的均值
E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.
因为E甲＞E乙．故他应该选择经营甲种商品．
14．毕业生小冉参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.
答案
解析 ∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，
∴p＝，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×2＋2×××＝，
P(X＝2)＝×××2＋×2＝，
P(X＝3)＝×2＝，
因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
15．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为( )
A. B. C. D.
答案 AB
解析 根据题意知，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，
结合p的实际意义，可得0结合选项可知AB正确．
16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该品种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的概率分布与均值．
解 (1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故所求Y的概率分布为
Y 51 48 45 42
P
因此，所求年收获量Y的均值为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46.
第1课时 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
导语
德·梅累向帕斯卡提出问题：甲乙两人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励．比赛三局过后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平，让双方都能欣然接受？也就是甲和乙的期望所得分别是多少呢？
一、离散型随机变量的均值
问题1 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的概率分布吗？
提示 ＝18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．
ξ的概率分布为
ξ 18 24 36
P
知识梳理
一般地，若离散型随机变量X的概率分布表为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，将随机变量X的均值或数学期望记为E(X)或μ，则E(X)＝μ＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.
注意点：
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数．
(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布和均值．
解 X的可能取值为1,2,3,4，则P(X＝1)＝0.6，
P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，
P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096，
P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024，
所以在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
反思感悟 求随机变量X的均值关键是写出概率分布，一般分为四步：
(1)确定X的可能取值；
(2)计算出P(X＝k)；
(3)写出概率分布；
(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的概率分布与均值．
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，
则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××
＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××
＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
∴X的概率分布为
X －4 1 3 6
P
∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
二、离散型随机变量均值的性质
问题2 若X，Y都是一离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？
提示 X，Y的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
例2 已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
答案
解析 由随机变量概率分布的性质，得
＋＋＋m＋＝1，
解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
延伸探究 本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值．
解 E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15.
反思感悟 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法
(1)定义法：先列出Y的概率分布，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，求解即可．
跟踪训练2 (1)设ξ的概率分布为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的概率分布如下表，则m的值为( )
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为η＝12ξ＋7，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
三、均值的实际应用
例3 农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；若维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费．一位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务．为此，他收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表：
维修次数 5 6 7 8 9
频率 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1
(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这位农机手的花费总费用是多少？如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总费用又是多少？
(2)农机手购买了一台收割机．试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用期内维修时花费的总费用的均值，帮助农机手进行决策．
解 (1)购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为6×100－50＋5×50＝800(元)；购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为6×100＋50×6＋2×400＝1 700(元)．
(2)若购买6次维修，实际维修次数为6次时的维修总费用为6×100＋6×50＝900(元)；实际维修次数为7次时的维修总费用为900＋400＝1 300(元)；实际维修次数为9次时的维修总费用为1 700＋400＝2 100(元)．
综合(1)的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布为
维修次数 5 6 7 8 9
维修总费用ξ1 800 900 1 300 1 700 2 100
P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1
E(ξ1)＝800×0.3＋900×0.3＋1 300×0.2＋1 700×0.1＋2 100×0.1＝1 150(元)．
若购买7次维修，
实际维修次数为5次时的总费用为
7×100－2×50＋5×50＝850(元)；
实际维修次数为6次时的总费用为
7×100－50＋6×50＝950(元)；
实际维修次数为7次时的总费用为
7×100＋7×50＝1 050(元)；
实际维修次数为8次时的总费用为
1 050＋400＝1 450(元)；
实际维修次数为9次时的总费用为
1 450＋400＝1 850(元)；
维修总费用的概率分布为
维修次数 5 6 7 8 9
维修总费用ξ2 850 950 1 050 1 450 1 850
P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1
E(ξ2)＝850×0.3＋950×0.3＋1 050×0.2＋1 450×0.1＋1 850×0.1＝1 080(元)．
因为E(ξ1)>E(ξ2)，所以选订购7次维修较划算．
反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定概率分布，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练3 在某项目的选拔比赛中，A，B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分(不存在平局)，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.
对阵队员 A队队员胜 A队队员负
A1～B1
A2～B2
A3～B3
(1)求A队得分为1分的概率；
(2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
解 (1)设A队得分为1分的事件为E，
则P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××
＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P
因此随机变量ξ的均值为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
因为ξ＋η＝3，所以η＝3－ξ，
则随机变量η的均值为
E(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－＝.
所以E(ξ)
(1)离散型随机变量的均值．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)离散型随机变量的均值的应用．
2．方法归纳：函数与方程、转化化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知离散型随机变量X的概率分布为
X 1 2 3
P
则X的均值E(X)等于( )
A. B．2 C. D．3
答案 A
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
答案 B
解析 出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
3．若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝，E(X)＝－，则a＝________.
答案 2
解析 ∵E(X)＝－，E(Y)＝，Y＝aX＋3，
∴aE(X)＋3＝，解得a＝2.
4．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
答案
解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的概率分布为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
课时对点练
1．某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 18 20
频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
试估计该商品日平均需求量为( )
A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8
答案 D
解析 估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0 B. C．1 D．－1
答案 A
解析 E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0.
3．已知某一随机变量X的概率分布如表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为( )
X a 7 9
P b 0.1 0.4
A.4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 根据概率分布的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，
所以a＝4.
4．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法求 B．0
C．E(X) D．2E(X)
答案 B
解析 只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
5．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
答案 D
解析 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市和B市都不受台风袭击的概率为
(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8 (舍去)，
P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，
P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，
P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
∴E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4，故选D.
6．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．今有两台独立工作的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________.
答案 1.75
解析 X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的概率分布为
X 1 2 3 4
P 0.5 0.2 0.2 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝________元．
答案 130
解析 由题意可知Y可以取100,150,200，利润Y的概率分布为
Y 100 150 200
P 0.5 0.4 0.1
∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元)．
9．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求：(1)抽取次数X的概率分布；(2)随机变量X的均值．
解 (1)X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的概率分布为
X 1 2 3
P
(2)由均值的定义得
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
10．某人有20万元，准备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选择哪种方案？
自然 状况 方案 盈利(万元) 概率 购买股票 投资房地产
巨大成功 0.3 10 8
一般成功 0.5 3 4
失败 0.2 －10 －4
解 设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则E(X)＝10×0.3＋3×0.5＋(－10)×0.2＝3＋1.5－2＝2.5，
E(Y)＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6，
因为E(Y)＞E(X)，所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产．
11．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是( )
ξ 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
A.706元 B．690元 C．754元 D．720元
答案 A
解析 由概率分布可以得到需求量的均值是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利润的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元)．
12．(多选)设p为非负实数，随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是( )
A．p∈
B．E(X)最大值为
C．p∈
D．E(X)最大值为
答案 AB
解析 由表可得
从而得p∈，
均值E(X)＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，
当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
13．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
投资甲获利(万元) 2 3 －1
概率 0.4 0.3 0.3
投资乙获利(万元) 1 4 －2
概率 0.6 0.2 0.2
那么他应该选择经营________种商品．
答案 甲
解析 投资甲项目获利的均值
E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，
投资乙项目获利的均值
E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.
因为E甲＞E乙．故他应该选择经营甲种商品．
14．毕业生小冉参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.
答案
解析 ∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，
∴p＝，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×2＋2×××＝，
P(X＝2)＝×××2＋×2＝，
P(X＝3)＝×2＝，
因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
15．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为( )
A. B. C. D.
答案 AB
解析 根据题意知，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，
结合p的实际意义，可得0
16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该品种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的概率分布与均值．
解 (1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故所求Y的概率分布为
Y 51 48 45 42
P
因此，所求年收获量Y的均值为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46.