高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 第8章　概　率 再练一课(范围：§8.1～§8.3)（Word含解析）

再练一课(范围：§8.1～§8.3)
一、单项选择题
1．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后答对两道题的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后答对两道题的概率：P＝C21＝.
2．若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(04)等于(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
答案　A
解析　由题意，
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)3＝0.657，
解得p＝0.3，
则P(0所以P(Y>4)＝P(Y<0)＝0.5－P(03．已知X是离散型随机变量，P(X＝2)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X＋1)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵X是离散型随机变量，P(X＝2)＝，
P(X＝a)＝，E(X)＝，
∴由已知得×2＋a×＝，
解得a＝3，
∴D(X)＝2×＋2×＝，
∴D(2X＋1)＝22D(X)＝4×＝.
4．已知随机变量满足P(ξ＝X)＝aX＋b(X＝－1,0,1)，其中a，b∈R.若E(ξ)＝，则D(ξ)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　根据题意可得概率分布为
ξ －1 0 1
P b－a b a＋b
∴E(ξ)＝－1×(b－a)＋0×b＋1×(a＋b)＝，
解得a＝，
∵(b－a)＋b＋(a＋b)＝1，解得b＝，
∴D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝.
5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
答案　B
解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，
所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)所以Cp4(1－p)6所以p＞0.5，所以p＝0.6.
6．某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为(　　)
A．C6 B．A6
C．C6 D．C6
答案　B
解析　根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为C·6，
恰有两次连续击中目标的概率为，
故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C·6·＝A·6.
二、多项选择题
7．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有(　　)
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
答案　ABD
解析　对于A，恰有一个白球的概率
P＝＝，故A正确；
对于B，每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故B正确；
对于C，设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”．
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝，故C错误；
对于D，每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－3＝，故D正确．
8．下列说法正确的有(　　)
A．均值和方差都是衡量平均值偏离程度的量
B．E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(4X＋1)＝16D(X)＋1
C．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<1)＝1－2p
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝
答案　CD
解析　对于A，根据均值和方差的定义，可得均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量与均值的偏离程度，所以A错误；
对于B，由E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(4X＋1)＝16D(X)，所以B错误；
对于C，设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝P(ξ<－1)＝p，则P(－1<ξ<1)＝1－2p，所以C正确；
对于D，甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，
则P(A|B)＝＝＝＝，
所以D正确．
三、填空题
9．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是________．
答案　0.972
解析　根据题意可知，这段时间内该电路上有两个或三个灯泡能正常照明，
因此所求事件的概率为P＝C×0.92×0.1＋0.93＝0.972.
10．在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分．如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分均值为________．
答案　
解析　根据题意，得该人参加两局答题活动得分为ξ，则ξ可取的值为2,3,4,5，
若ξ＝2，即该人两局都失败，
则P(ξ＝2)＝×＝；
若ξ＝3，即该人第一局失败，而第二局胜利，
则P(ξ＝3)＝×＝；
若ξ＝4，即该人第一局胜利，而第二局失败，
则P(ξ＝4)＝×＝；
若ξ＝5，即该人两局都胜利，
则P(ξ＝5)＝×＝，
故E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
11．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”．现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为________．
答案　
解析　首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为＝＝，
其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为P＝，
故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为C×2×＝.
12．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是________；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)＝________.
答案　　
解析　箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是P＝A×××＝.变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B，∴ξ的方差D(ξ)＝3××＝.
四、解答题
13．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
解　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，得P(A)＝＝.
(2)方法一　要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．
不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
方法二　P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
14．某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4.
(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；
(2)某单位需要这种零件650箱，以购买总价的均值为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？
解　(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6＝0.24，
所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为
1－0.24＝0.76.
(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188.X的概率分布为
X 184 188
P 0.6 0.4
则E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6.
若选择方案②，则购买总价的均值为
185．6×650＝120 640(元)．
若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，
从而购买总价为200×600＝120 000(元)．
因为120 640>120 000，所以选择方案①更划算．
15．“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金字招牌”．为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”．为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一位市民只参加一次)．通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如表所示：
组别 [30， 40) [40， 50) [50， 60) [60， 70) [70， 80) [80， 90) [90， 100]
频数 1 12 22 25 25 11 4
(1)由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分ξ～N(μ，198)，μ近似为这100人得分的均值．求得分在区间(80,94)的概率P(80<ξ<94)；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)在(1)的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如表所示：
赠送话费的金额(元) 30 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的概率分布与均值．
附：参考数据：①35×1＋45×12＋55×22＋65×25＋75×25＋85×11＋95×4＝6 600；②≈14；③若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　(1)根据表格中的数据，可得μ＝
＝＝66，σ＝≈14，
所以P(80<ξ<94)＝P(μ＋σ<ξ<μ＋2σ)
＝＝0.135 5.
(2)由题意，可得P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝，
则获赠话费X的可能取值为30,50,60,80,100，
P(X＝30)＝×＝，
P(X＝50)＝×＝，
P(X＝60)＝××＝，
P(X＝80)＝××＋××＝，
P(X＝100)＝××＝，
则X的概率分布为
X 30 50 60 80 100
P
故均值E(X)＝30×＋50×＋60×＋80×＋100×＝55(元)．