高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第二册 第8章　概　率 再练一课(范围：§8.1～8.2.2)（Word含解析）

再练一课(范围：§8.1～8.2.2)
一、单项选择题
1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
答案　A
解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
2．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2,3)，则实数a等于(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　∵随机变量ξ的分布列为
P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2,3)，
∴＋＋＝1，解得a＝.
3．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)等于(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
答案　A
解析　因为随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，
所以P(ξ＝i)＝(i＝1,2,3，…，10)，
所以η＝2ξ－1等可能的取1,3,5,7，…，19，
则P(η＝j)＝(j＝1,3,5，…，19)，
所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝0.3.
4．已知随机变量X的概率分布为
X 0 1
P 1－p p
若D(X)＝(0A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意得E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
则D(X)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p
＝p(1－p)＝，
解得p＝.
5．如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是(　　)
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
答案　B
解析　记事件A表示“清明节当天下雨”，事件B表示“第二天下雨”，
由题意可知，P(A)＝0.9，P(AB)＝0.63，所以P(B|A)＝＝＝0.7.
6．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的概率分布分别是
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定(　　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
答案　A
解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
由于E(Y)>E(X)，
故甲比乙质量好．
二、多项选择题
7．已知随机变量X的概率分布是
X 1 2 3
P a b
若E(X)＝，则(　　)
A．a＝ B．b＝
C．D(X)＝ D．D(X)＝
答案　ABC
解析　由题意得a＋b＝，①
由E(X)＝＋2a＋3b＝，得2a＋3b＝，②
联立①②，得a＝，b＝.
所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.故选ABC.
8．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有(　　)
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
答案　BC
解析　记Ai为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为次品”，
则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
对于A，即P(A1B)＝P(A1)·P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，A错误．
对于B，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，B正确．
对于C，P(A2|B)＝＝＝，C正确．
对于D，P(A3|B)＝＝＝，D错误．
三、填空题
9．桌子上放有5张学生的期中考试数学卷，有3张在130分以上，2张在90分以下，老师为了准确了解学生情况，每次任取一张，不放回地取两次，若第一次取到130分以上的一张，则第二次取到90分以下的一张试卷的概率为________．
答案　
解析　记事件A表示“第一次取到的是130分以上试卷”，事件B表示“第二次取到的是90分以下试卷”．
事件A发生所包含的样本点数n(A)＝3×4＝12，
由题意可得事件AB发生所包含的样本点数n(A∩B)＝3×2＝6，所以P(B|A)＝.
10．已知A1，A2为两所高校举行的强基计划考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过一所高校的考试，就不再参加另一所高校的考试，设该同学通过高校考试的个数为随机变量X，则D(X)＝________.
答案　
解析　X的所有可能的取值为0,1，
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝＋×＝，
∴E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝×＋×＝.
11.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为______．
答案　
解析　根据题意易知X＝0,1,2,3，概率分布如下：
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×
＝＝.
12．从1～100共100个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．
答案　
解析　设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B是“取出的数是3的倍数”，则P(C)＝，且所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝＋－＝2×＝.
四、解答题
13．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的概率分布；
(2)随机变量ξ的均值．
解　(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.
则P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝4＝.从而ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)由(1)得ξ的均值为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
14．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2个球放入乙盒，再从乙盒任取2个球，
(1)求从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出2个红球的概率．
解　(1)设A1＝“从甲盒取出2个红球”；
A2＝“从甲盒取出2个白球”；
A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球”；
B＝“从乙盒取出2个红球”．
则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝.
(2)P(A1|B)＝＝＝＝.
15．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的概率分布；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的概率分布为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，
则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意知，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.