2021-2022学年苏科版八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形章末强化训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下《第9章中心对称图形—平行四边形》章末强化训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共30分)
1.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
4.如图菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（　　）
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
6.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）
A．5 B．20 C．24 D．32
7．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
12．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（　A　）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
10．在平面直角坐标系中有三个点 ，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，…，则点P2022的坐标是（ D ）
A． B． C． D．（0，2）
二．填空题（共10题；共30分)
11．如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为　 　．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则 ABCD的周长等于　 　．
13．如图，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．
16．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　　．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为________cm．
18．如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别相交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为___．
19．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为__7__．
【解】　∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝，∴AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°.由折叠的性质，得EF⊥BO.又∵∠ABO＝∠CBO，∴BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°，∴∠OEF＝60°，∴∠AEO＝60°.又∵∠BAO＝60°，∴△AEO是等边三角形．同理，△CFO也是等边三角形，∴AE＝EF＝CF＝AO＝1，∴五边形AEFCD的周长为1＋1＋1＋2＋2＝7.
20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　．
三．解答题（共6题；共60分）
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
22.（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
23．（8分）如图Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边AB于点E，CC′的延长线交BB′于点F.
(1)求证：∠ACE＝∠FBE；
(2)设∠ABC＝α，∠CAC′＝β，若△ACE≌△FBE，试探索α，β满足什么数量关系．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
25.（8分）（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1、∠2的度数．
（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度．
26.（8分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形．
（I）判断与推理：
（i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　2　阶准菱形；
（ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形．
（Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值．
27．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF（1）若EF⊥BD，求DF的长；
（2）若PE⊥BD，求DF的长；
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共30分)
1.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C 【解析】：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O为MN的中点，∴OP＝，∵∠PMN＝30°，∴∠MPO＝30°，∴∠DPM＝150°，在四边形ADPM中，∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°，∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM＝360°﹣90°﹣45°﹣150°＝75°．
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B 【解析】设所求正n边形边数为n，则1080°＝（n﹣2） 180°，解得n＝8．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】C【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
4.如图菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C【解析】 ∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EFAB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40
5．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（　　）
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
【答案】C【解析】A．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ADF（AAS），故选项A不符合题意； B..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，∵EC＝FC，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项B不符合题意；C..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵AE＝AF，∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，故选项C符合题意；D..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DE，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项D不符合题意．
6.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）
A．5 B．20 C．24 D．32
【答案】B
7．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A．【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝BC＝＝5，且O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△BCD的中位线，∴OE＝CB＝2.5。
12．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（　A　）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【答案】A【详解】如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF=CG，∵AD=2，BC=3，∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1，∴EF=1，∴△ADE的面积是：×AD×EF=×2×1=1，故选A．
10．在平面直角坐标系中有三个点 ，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，…，则点P2022的坐标是（ D ）
A． B． C． D．（0，2）
解：设P1（x，y），∵点A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，∴=1，=-1，解得x=2，y=-4，∴P1（2，-4）．
同理可得，P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，-4），…，
∴每6个操作循环一次．∵2022=6×337，∴点P2020的坐标与P6（0，2）相同．
二．填空题（共10题；共30分)
11．如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为　 　．
【答案】．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC+CF＝5，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝3，∴CGCH
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则 ABCD的周长等于　 　．
【答案】16．【解析】．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴ ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；
13．如图，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为　 　．
【答案】50°．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　 　．
【答案】2．【解析】设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，所以1+xx，解得x＝2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝ODx，∵OE+BE＝BO，∴1+xx，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA，在Rt△AOE中，AE2．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．
【答案】115．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACE∠BCD＝65°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°
16．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　　．
【答案】2 【解析】∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MNBC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为________cm．
【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD，AB＝8，BC＝10，∴AB'＝8，AD＝10，B'C'＝10．在Rt△ADB'中，由勾股定理，得DB'＝6．∴DC'＝4．设DE＝x，则CE＝C'E＝8－x．在Rt△C'DE中，由勾股定理，得DE2＝EC'2＋DC'2即x2＝(8－x)2＋42．∴x＝5．即线段DE的长为5cm．
18．如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别相交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为___．
【答案】2_【解】　把x＝0代入 y＝－x＋4，得y＝4 ∴点B(0，4)，∴OB＝4.∵C是OB的中点，∴OC＝2.∵四边形OEDC是菱形，∴DE＝OE＝OC＝2，DE∥OC.把y＝0代入 y＝－x＋4，得x＝4，∴点A(4，0)，∴OA＝4.设点D，则点E.延长DE交OA于点F.易得EF＝－x＋2，OF＝x.在Rt△OEF中，由勾股定理，得x2＋＝22，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝，∴EF＝1，∴S△AOE＝OA·EF＝2.
19．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为__7__．
【解】　∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝，∴AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°.由折叠的性质，得EF⊥BO.又∵∠ABO＝∠CBO，∴BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°，∴∠OEF＝60°，∴∠AEO＝60°.又∵∠BAO＝60°，∴△AEO是等边三角形．同理，△CFO也是等边三角形，∴AE＝EF＝CF＝AO＝1，∴五边形AEFCD的周长为1＋1＋1＋2＋2＝7.
20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　．
【答案】解：在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO＝∠ACO，∵在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG＝，即AC＝12+4＝16．故答案为：16
三．解答题（共6题；共60分）
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
22.（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE＝OEAD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AEAD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
23．（8分）如图Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边AB于点E，CC′的延长线交BB′于点F.
(1)求证：∠ACE＝∠FBE；
(2)设∠ABC＝α，∠CAC′＝β，若△ACE≌△FBE，试探索α，β满足什么数量关系．
解：(1)证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACE＝(180°－∠CAC′)，∠FBE＝(180°－∠BAB′)，∴∠ACE＝∠FBE.(2)∵△ACE≌△FBE，∴CE＝BE，∴∠ABC＝∠BCE＝α.∵∠CAC′＝β，AC＝AC′，∴∠ACC′＝(180°－∠CAC′)＝(180°－β)．∵∠ACB＝∠BCE＋∠ACC′＝90°，∴α＋(180°－β)＝90°，整理得β＝2α.
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
解：（1）∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
即EC的长为3．（2）∵EC的长为3，∴点E的坐标为（10，3）．
25.（8分）（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1、∠2的度数．
（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度．
【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∠1+∠2＝180°．又∵∠EFG＝55°，由对称性可知∠GEF＝∠DEF＝55°．∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝70°．∴∠2＝180°﹣∠1＝110°．
（2）解：设DE＝xcm，则有DE＝BE＝x．∵AD＝12cm，∴AE＝（12﹣x）cm．在Rt△ABE中，BE2＝AB2+AE2，即x2＝42+（12﹣x）2，x2＝16+144﹣24x+x224x＝160．解得x＝，∴BE的长为cm．
26.（8分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形．
（I）判断与推理：
（i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　2　阶准菱形；
（ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形．
（Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值．
【解答】解：（I）（i）利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；
（ii）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形；（II）如图，必为a＞3，且a=4；②如图，必为2＜a＜3，且a=2.5；③如图，必为＜a＜2，且a﹣1+（a﹣1）=1，解得a=；④如图，必为1＜a＜，且3（a﹣1）=1，解得a=．综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=．
27．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF（1）若EF⊥BD，求DF的长；
（2）若PE⊥BD，求DF的长；
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．
解：（1）∵点D、点P关于直线EF的对称，∴点P在BD上，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝4，∠ADB＝30°．∴AD＝4，∵点E是边AD的中点，∴DE＝2，∵EF⊥BD，∴DF＝8；（2）①如图2，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝60°,由对称可得，EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝30°，∴△DEF是等腰三角形，
∴DF＝EF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°，∴QE＝,∵∠PEF＝30°，∴EF＝2,∴DF＝EF＝2；②如图5，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝120°,由对称可得，PF＝DF,EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝120°，∴∠EFD＝30°,∴△DEF是等腰三角形，∵PE⊥BD,∴QD＝QF＝DF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°，∴QE＝,QD＝3∴DF＝7QD＝6；
∴DF的长为2或6；（3）由（2）得，当∠DQE＝90°时,当∠DEQ＝90°时，第一种情况，如图4，∵EF平分∠PED,∴∠DEF＝45°,过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a,DM＝a，∴a+a＝2，∴a＝8﹣,DF＝6﹣8,∴2<DF<；第二种情况,如图5,∵EF平分∠AEQ,∴∠MEF＝45°,过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a,DM＝a，
∴a﹣a＝2，∴a＝5+,DF＝6+6,∵6+5＞8,∴DF最大值为5，∴6<DF≤8。综上，DF长的取值范围为3<<6﹣2<DF≤8．