2021-2022学年人教版八年级数学下册18.2特殊平行四边形优生辅导测评（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学下册18.2特殊平行四边形优生辅导测评（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 401.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 19:32:32 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有两个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角一组对边平行的四边形是矩形
2．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
4．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AB，则∠C＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
5．如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG长为（ ）
A． B． C．10 D．20
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．3 B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为4，则另一条对角线的长为 ．
10．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个 形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于 ．
11．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为 ．
12．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是 cm．
13．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD的面积和等于 ．
14．如图，正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝8，DM＝2，则PQ的长为 ．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC中点，求证：AF＝BC+CF．
18．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．
19．已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF．
（1）求证：CF⊥AF；
（2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF＝BF；
（2）如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
21．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是边AB，BC上的动点，分别连接DE和AF相交于点O，且∠ADE＝∠BAF，把线段DE沿射线DC方向平移得线段MN，MN交AF与点G，点N在边CD上．
（1）试探究线段DN，BM，CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）把四边形BCNM沿MN翻折，点B的对应点为P，点C的对应点为Q，当BF＝1时，
①求A，Q两点之间距离的最小值；
②若线段PQ恰好经过点A，求DE平移的距离．
22．已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，CE＝1，线段MN在对角线AC上．MN＝，连BM，EN．
（1）如图1，当点N是AC的中点时，求BM+EN的值；
（2）如图2，当点M是AC的中点时，求BM+EN的值；
（3）当线段MN在对角线AC上运动时，BM+EN的最小值为 ．
23．综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A中对角线互相垂直的平行四边形是菱形，A错；
B中有一个角是直角的平行四边形是矩形，矩形的判定，正确；
C中也可能是直角梯形，C错；
D中也可能是直角梯形，D错；
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAC＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC＝60°，DC＝AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC＝OD，
∴BE＝BO，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣∠OBE）＝75°，
∵∠AOB＝∠DOC＝60°，
∴∠AOE＝60°+75°＝135°，∴③正确；
∵OA＝OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE，∴④正确；
故选：C．
3．解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B＝180°，
∵△AEF是等边三角形，AE＝AB，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，AF＝AD，
∴∠B＝∠AEB，∠D＝∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE＝∠FAD，
设∠BAE＝∠FAD＝x，
则∠D＝∠AFD＝180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD＝180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠C＝∠BAD＝2×20°+60°＝100°，
故选：A．
5．解：如图，连接AO，
∵四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴FO＝OG，HO＝OE，
∵阴影部分的面积是10，
∴×OG×OF+×OE×OH＝10，
∴OG2+OE2＝20，
∴EG2＝20，
∴EG＝2，
故选：B．
6．解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵AB∥CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥CD，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4，
在Rt△BCF中，BC＝，
在Rt△AFC中，AC＝＝，
∴BC＝AB＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵，
∴×5×4＝×BE，
解得：BE＝．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
故选：D．
8．解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝，
∴AC＝2，CG＝，
∴CF＝，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：①当较长对角线长为4时，则另一对角线长为＝4；
②当较短对角线长为4时，则另一对角线长为＝12；
故另一条对角线的长为12或4．
故答案为：12或4．
10．解：重叠部分是一个菱形，
当两张纸条如图1所示放置时，菱形周长最大，
设这时菱形的边长为xcm，
由勾股定理：x2＝（18﹣x）2+62，
解得：x＝10，
∴4x＝40，
即菱形的最大周长为40cm．
当两张纸条如图所2示放置时，即是正方形时取得最小值为：4×6＝24．
∴菱形周长的最大值与最小值的和是40﹣24＝16，
故答案为：16．
11．解：延长BG，交AE与点C，
∵∠ABC＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC
∴CE＝5
∵△CED是等腰直角三角形，
∴CD＝5
∵CD＝GF，
∴中间的小正方形的边长是5，因而周长是20．
故答案为20
12．解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
13．解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，
由勾股定理得：OB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵AB∥CD，
∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，
∴△EAB和△ECD的面积和＝×菱形ABCD的面积＝×＝＝12．
故答案为：12
14．解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，∠DMA＝∠CND，
∵∠DAM+∠AMD＝90°，
∴∠PDM+∠DMP＝90°，
∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
∴AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
∵DM＝CN＝2，BC＝CD＝AB＝8，
∴BN＝BC﹣CN＝6，
在△ANB中，AN＝＝＝10，
∴PQ＝5．
故答案为：5．．
15．解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，
∴AB＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝OA OB＝AB OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．
16．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝，
∴FG＝＝2，
∴MN＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．证明：作EM⊥AF于M，连接EF，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AME＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴BE＝EM，
在Rt△ABE与Rt△AME中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴AM＝AB＝BC，EM＝BE，
∵E是BC中点，
∴EC＝BE＝EM，
在Rt△EMF与Rt△ECF中，
，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF（HL），
∴FM＝FC，
∵AF＝AM+MF，
∴AF＝BC+CF．
18．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
∵AF⊥BE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EAF+∠AEB＝90°，∠EAF+∠BAF＝90°，
∴∠AEB＝∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，
∴△BAE≌△ADF，
∴AE＝DF，
∵E为AD边上的中点，
∴点F是CD边的中点；
（2）证明：延长AD到G．使MG＝MB．连接FG，FB，
∵BM＝DM+CD，
∴DG＝DC＝BC，
∵∠GDF＝∠C＝90°，DF＝CF，
∴△FDG≌△FCB（SAS），
∴∠DFG＝∠CFB，
∴B，F，G共线，
∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD＝CD
∴AE＝CF，
∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90°，AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AG∥BC，
∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，
∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，
∴∠MBC＝2∠ABE．
19．（1）证明：如图，连接BF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF＝∠BCD+∠DCF，
即∠ADF＝∠BCF，
在△ADF和△BCF中，
，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠AFD＝∠BFC，
∵BE＝BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠AFB+∠AFD＝90°，
∴CF⊥AF；
（2）解：∵△ADF≌△BCF，
∴点F到AD、BC的距离相等，
∵AB＝10cm，
∴点F到AD的距离为×10＝5cm，
∴△ADF的面积＝×16×5＝40cm2．
20．证明：（1）∵AD＝CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF＝CF．
∴∠FAC＝∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，
得∠B+∠ACB＝90°，∠FAC+∠BAF＝90°．
∴∠B＝∠BAF．
∴AF＝BF．
（2）∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（AAS）．
∴AG＝CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC＝90°．
∴四边形AFCG是正方形．
21．解：（1）结论：DN+BM＝CF．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠B＝∠DAE＝90°，
∵∠ADE＝∠BAF，
∴△DAE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF，
∵BA＝BC，
∴BE＝CF，
∵EM∥DN，DE∥MN，
∴四边形MNDE是平行四边形，
∴DN＝EN，
∴DN+BM＝EN+BM＝BE＝CF．
（2）①如图2中，连接CQ交AD于T．
由翻折的性质可知，CQ⊥MN，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AF⊥DE，
∵MN∥DE，
∴MN⊥AF，
∴CQ∥AF，
∵AT∥CF，
∴四边形AFCT是平行四边形，
∴AT＝CF＝4﹣1＝3，
∴DT＝AD﹣AT＝1，
∴点Q的运动轨迹是射线CQ，当AQ⊥CQ时，AQ的值最小，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝，
∵AF∥CQAQ⊥CQ，
∴AQ⊥AF，
∴∠QAF＝∠BAD＝90°，
∴∠QAT＝∠BAF，
∵∠AQT＝∠B＝90°，
∴AQ＝，
∴AQ的最小值为．
②如图3中，连接MF．
∵线段PQ恰好经过点A，由翻折的性质可知，GA＝FG，
∵MN⊥AF，
∴MA＝MF，
设MA＝MF＝x，
在Rt△BFM中 BM2+BF2＝MF2，
∴（4﹣x）2+12＝x2，
∴x＝，
∵AE＝BF＝1，
∴EM＝AM﹣AE＝﹣1＝，
∴DE的平移距离为．
22．解：（1）连接BN，过N作NH⊥BC于H，如图1所示，
∵正方形ABCD，N为AC中点，
∴△ANB与△BHN都为等腰直角三角形，
∴AN＝BN＝AB＝2，NH＝CH＝BN＝2，
在Rt△BNM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，
在Rt△NHE中，NH＝2，HE＝2﹣1＝1，EN＝＝，
则BM+EN＝+；
（2）∵正方形ABCD，M为AC中点，
∴BM＝AM＝CM＝2，
∵MN＝，
∴CN＝CM﹣MN＝，
若过N作NE′⊥BC于点E′，如图2所示，则得到NE′＝CE′＝1，
∴E′与E重合，且NE＝NE′＝1，
∴BM+EN＝2+1；
（3）ME+EN的最小值为，理由为：
如图3所示，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，
将MN平移至E′F处，则四边形MNE′F为平行四边形，
连接BF，EF，过F作FG⊥CD于G，可得△E′FG为等腰直角三角形，
∴E′F＝MN＝，FG＝E′G＝1＝CE，
∴四边形CEFG为矩形，
∴EF＝CG＝2，BE＝BC﹣CE＝3，
∴BF＝＝，
显然，BM+EN＝BM+E′N＝BM+FM≥BF＝．
23．解：（1）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图1中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCM′＝90°，
∴∠NCM′＝180°，
∴N，C，M′共线，
∵∠ABM＝∠CBM′，
∴∠MBM′＝∠ABC＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴∠MBN＝∠M′BN＝45°，
在△BNM和△BNM′中，
，
∴△NBM≌△NBM′（SAS），
∴MN＝NM′，
∵AM＝CM′，
∴MN＝AM+CN．
故答案为：MN＝AM+CN；
（2）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图2中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵BC∥AD，AB＝BC＝CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴AM＝CM′，BM＝BM′，∠A＝∠BCM′，∠ABM＝∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD＝180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠M′BC+∠CBN＝∠ABM+∠CBN＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN＝M′N，
又∵M′N＝CM′+CN＝AM+CN，
∴MN＝AM+CN；
（3）结论：MN＝CN﹣AM．
理由：如图3中，作∠CBM′＝∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠C＝360°﹣180°＝180°，
又∵∠BAD+∠BAM＝180°，
∴∠C＝∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，
，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM＝CM′，BM＝BM′，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠ABC﹣（∠ABN+∠CBM′）＝∠ABC﹣（∠ABN+∠ABM）＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN＝M′N，
∵M′N＝CN﹣CM′＝CN﹣AM，
∴MN＝CN﹣AM．
故答案为：MN＝CN﹣AM．
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有两个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角一组对边平行的四边形是矩形
2．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
4．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AB，则∠C＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
5．如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG长为（ ）
A． B． C．10 D．20
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．3 B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为4，则另一条对角线的长为 ．
10．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个 形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于 ．
11．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为 ．
12．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是 cm．
13．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD的面积和等于 ．
14．如图，正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝8，DM＝2，则PQ的长为 ．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC中点，求证：AF＝BC+CF．
18．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．
19．已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF．
（1）求证：CF⊥AF；
（2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF＝BF；
（2）如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
21．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是边AB，BC上的动点，分别连接DE和AF相交于点O，且∠ADE＝∠BAF，把线段DE沿射线DC方向平移得线段MN，MN交AF与点G，点N在边CD上．
（1）试探究线段DN，BM，CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）把四边形BCNM沿MN翻折，点B的对应点为P，点C的对应点为Q，当BF＝1时，
①求A，Q两点之间距离的最小值；
②若线段PQ恰好经过点A，求DE平移的距离．
22．已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，CE＝1，线段MN在对角线AC上．MN＝，连BM，EN．
（1）如图1，当点N是AC的中点时，求BM+EN的值；
（2）如图2，当点M是AC的中点时，求BM+EN的值；
（3）当线段MN在对角线AC上运动时，BM+EN的最小值为 ．
23．综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A中对角线互相垂直的平行四边形是菱形，A错；
B中有一个角是直角的平行四边形是矩形，矩形的判定，正确；
C中也可能是直角梯形，C错；
D中也可能是直角梯形，D错；
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAC＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC＝60°，DC＝AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC＝OD，
∴BE＝BO，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣∠OBE）＝75°，
∵∠AOB＝∠DOC＝60°，
∴∠AOE＝60°+75°＝135°，∴③正确；
∵OA＝OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE，∴④正确；
故选：C．
3．解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B＝180°，
∵△AEF是等边三角形，AE＝AB，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，AF＝AD，
∴∠B＝∠AEB，∠D＝∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE＝∠FAD，
设∠BAE＝∠FAD＝x，
则∠D＝∠AFD＝180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD＝180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠C＝∠BAD＝2×20°+60°＝100°，
故选：A．
5．解：如图，连接AO，
∵四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴FO＝OG，HO＝OE，
∵阴影部分的面积是10，
∴×OG×OF+×OE×OH＝10，
∴OG2+OE2＝20，
∴EG2＝20，
∴EG＝2，
故选：B．
6．解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵AB∥CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥CD，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4，
在Rt△BCF中，BC＝，
在Rt△AFC中，AC＝＝，
∴BC＝AB＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵，
∴×5×4＝×BE，
解得：BE＝．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
故选：D．
8．解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝，
∴AC＝2，CG＝，
∴CF＝，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：①当较长对角线长为4时，则另一对角线长为＝4；
②当较短对角线长为4时，则另一对角线长为＝12；
故另一条对角线的长为12或4．
故答案为：12或4．
10．解：重叠部分是一个菱形，
当两张纸条如图1所示放置时，菱形周长最大，
设这时菱形的边长为xcm，
由勾股定理：x2＝（18﹣x）2+62，
解得：x＝10，
∴4x＝40，
即菱形的最大周长为40cm．
当两张纸条如图所2示放置时，即是正方形时取得最小值为：4×6＝24．
∴菱形周长的最大值与最小值的和是40﹣24＝16，
故答案为：16．
11．解：延长BG，交AE与点C，
∵∠ABC＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC
∴CE＝5
∵△CED是等腰直角三角形，
∴CD＝5
∵CD＝GF，
∴中间的小正方形的边长是5，因而周长是20．
故答案为20
12．解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
13．解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，
由勾股定理得：OB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵AB∥CD，
∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，
∴△EAB和△ECD的面积和＝×菱形ABCD的面积＝×＝＝12．
故答案为：12
14．解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，∠DMA＝∠CND，
∵∠DAM+∠AMD＝90°，
∴∠PDM+∠DMP＝90°，
∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
∴AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
∵DM＝CN＝2，BC＝CD＝AB＝8，
∴BN＝BC﹣CN＝6，
在△ANB中，AN＝＝＝10，
∴PQ＝5．
故答案为：5．．
15．解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，
∴AB＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝OA OB＝AB OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．
16．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝，
∴FG＝＝2，
∴MN＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．证明：作EM⊥AF于M，连接EF，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AME＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴BE＝EM，
在Rt△ABE与Rt△AME中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴AM＝AB＝BC，EM＝BE，
∵E是BC中点，
∴EC＝BE＝EM，
在Rt△EMF与Rt△ECF中，
，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF（HL），
∴FM＝FC，
∵AF＝AM+MF，
∴AF＝BC+CF．
18．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
∵AF⊥BE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EAF+∠AEB＝90°，∠EAF+∠BAF＝90°，
∴∠AEB＝∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，
∴△BAE≌△ADF，
∴AE＝DF，
∵E为AD边上的中点，
∴点F是CD边的中点；
（2）证明：延长AD到G．使MG＝MB．连接FG，FB，
∵BM＝DM+CD，
∴DG＝DC＝BC，
∵∠GDF＝∠C＝90°，DF＝CF，
∴△FDG≌△FCB（SAS），
∴∠DFG＝∠CFB，
∴B，F，G共线，
∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD＝CD
∴AE＝CF，
∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90°，AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AG∥BC，
∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，
∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，
∴∠MBC＝2∠ABE．
19．（1）证明：如图，连接BF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF＝∠BCD+∠DCF，
即∠ADF＝∠BCF，
在△ADF和△BCF中，
，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠AFD＝∠BFC，
∵BE＝BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠AFB+∠AFD＝90°，
∴CF⊥AF；
（2）解：∵△ADF≌△BCF，
∴点F到AD、BC的距离相等，
∵AB＝10cm，
∴点F到AD的距离为×10＝5cm，
∴△ADF的面积＝×16×5＝40cm2．
20．证明：（1）∵AD＝CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF＝CF．
∴∠FAC＝∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，
得∠B+∠ACB＝90°，∠FAC+∠BAF＝90°．
∴∠B＝∠BAF．
∴AF＝BF．
（2）∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（AAS）．
∴AG＝CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC＝90°．
∴四边形AFCG是正方形．
21．解：（1）结论：DN+BM＝CF．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠B＝∠DAE＝90°，
∵∠ADE＝∠BAF，
∴△DAE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF，
∵BA＝BC，
∴BE＝CF，
∵EM∥DN，DE∥MN，
∴四边形MNDE是平行四边形，
∴DN＝EN，
∴DN+BM＝EN+BM＝BE＝CF．
（2）①如图2中，连接CQ交AD于T．
由翻折的性质可知，CQ⊥MN，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AF⊥DE，
∵MN∥DE，
∴MN⊥AF，
∴CQ∥AF，
∵AT∥CF，
∴四边形AFCT是平行四边形，
∴AT＝CF＝4﹣1＝3，
∴DT＝AD﹣AT＝1，
∴点Q的运动轨迹是射线CQ，当AQ⊥CQ时，AQ的值最小，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝，
∵AF∥CQAQ⊥CQ，
∴AQ⊥AF，
∴∠QAF＝∠BAD＝90°，
∴∠QAT＝∠BAF，
∵∠AQT＝∠B＝90°，
∴AQ＝，
∴AQ的最小值为．
②如图3中，连接MF．
∵线段PQ恰好经过点A，由翻折的性质可知，GA＝FG，
∵MN⊥AF，
∴MA＝MF，
设MA＝MF＝x，
在Rt△BFM中 BM2+BF2＝MF2，
∴（4﹣x）2+12＝x2，
∴x＝，
∵AE＝BF＝1，
∴EM＝AM﹣AE＝﹣1＝，
∴DE的平移距离为．
22．解：（1）连接BN，过N作NH⊥BC于H，如图1所示，
∵正方形ABCD，N为AC中点，
∴△ANB与△BHN都为等腰直角三角形，
∴AN＝BN＝AB＝2，NH＝CH＝BN＝2，
在Rt△BNM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，
在Rt△NHE中，NH＝2，HE＝2﹣1＝1，EN＝＝，
则BM+EN＝+；
（2）∵正方形ABCD，M为AC中点，
∴BM＝AM＝CM＝2，
∵MN＝，
∴CN＝CM﹣MN＝，
若过N作NE′⊥BC于点E′，如图2所示，则得到NE′＝CE′＝1，
∴E′与E重合，且NE＝NE′＝1，
∴BM+EN＝2+1；
（3）ME+EN的最小值为，理由为：
如图3所示，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，
将MN平移至E′F处，则四边形MNE′F为平行四边形，
连接BF，EF，过F作FG⊥CD于G，可得△E′FG为等腰直角三角形，
∴E′F＝MN＝，FG＝E′G＝1＝CE，
∴四边形CEFG为矩形，
∴EF＝CG＝2，BE＝BC﹣CE＝3，
∴BF＝＝，
显然，BM+EN＝BM+E′N＝BM+FM≥BF＝．
23．解：（1）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图1中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCM′＝90°，
∴∠NCM′＝180°，
∴N，C，M′共线，
∵∠ABM＝∠CBM′，
∴∠MBM′＝∠ABC＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴∠MBN＝∠M′BN＝45°，
在△BNM和△BNM′中，
，
∴△NBM≌△NBM′（SAS），
∴MN＝NM′，
∵AM＝CM′，
∴MN＝AM+CN．
故答案为：MN＝AM+CN；
（2）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图2中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵BC∥AD，AB＝BC＝CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴AM＝CM′，BM＝BM′，∠A＝∠BCM′，∠ABM＝∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD＝180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠M′BC+∠CBN＝∠ABM+∠CBN＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN＝M′N，
又∵M′N＝CM′+CN＝AM+CN，
∴MN＝AM+CN；
（3）结论：MN＝CN﹣AM．
理由：如图3中，作∠CBM′＝∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠C＝360°﹣180°＝180°，
又∵∠BAD+∠BAM＝180°，
∴∠C＝∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，
，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM＝CM′，BM＝BM′，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠ABC﹣（∠ABN+∠CBM′）＝∠ABC﹣（∠ABN+∠ABM）＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN＝M′N，
∵M′N＝CN﹣CM′＝CN﹣AM，
∴MN＝CN﹣AM．
故答案为：MN＝CN﹣AM．