2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.5三角形的中位线同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《9-5三角形的中位线》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　）
A． B． C．1 D．
2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
3．如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝6，则EF的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
6．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　）
A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）
A．2 B．5 C．7 D．9
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
二．填空题
9．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　 　．
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若DE＝3，则AB＝　 　．
11．如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于点D，E为BC中点，DE＝4，AC＝2，则AB长为　 　．
12．如图，A1，B1，C1分别是△ABC各边的中点，A2，B2，C2分别是△A1B1C1各边的中点，若△A2B2C2的周长为2cm，则△ABC的周长等于 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，过点D作DM⊥BC于点M，延长DM至点E，且AC＝EM＝2DM，连接AE交BC于点N，若AC＝6，AB＝10，则点N到BE的距离为 　 　．
14．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
三．解答题
15．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
16．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
17．如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE＝（AB﹣AC）
18．在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AB＝8，求线段DE的长．
19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM＝ON．
求证：AC＝BD．
20．【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为　 　．
21．如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．
（1）试说明：FG＝（AB+BC+AC）；
（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想；
（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是　 　．
参考答案
一．选择题
1．解：取BF的中点H，连接DH，
∵BD＝DC，BH＝HF，
∴DH＝FC，DH∥AC，
∴∠HDE＝∠FAE，
在△AEF和△DEH中，
，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴AF＝DH，
∴AF＝FC，
∵AC＝4，
∴AF＝，
故选：B．
2．解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC＝4，FG＝CF，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1，
故选：A．
3．解：连接CF并延长，交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵F为BD的中点，
∴DF＝BF，
在△DFC和△BFG中，
，
∴△DFC≌△BFG（ASA），
∴BG＝CD＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝4，
∵CF＝FG，CE＝EA，
∴EF＝AG＝×4＝2，
故选：B．
4．解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
5．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
6．解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EG＝BC，GF＝AD，
在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，
∴AD+BC＞2EF，
当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，
∴AD+BC＝2EF，
所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．
故选：B．
7．解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
8．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠ECH＝∠A＝90°，
在△DNB和△HNC中，
，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH＝BD＝4，DN＝NH，
在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，
∴EH＝＝＝5，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝2.5，
故选：A．
二．填空题
9．解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝3，BE＝EF，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
∵BD＝DC，BE＝EF，
∴DE＝FC＝1，
故答案为：1．
10．解：延长AC交BD的延长线于点F，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA），
∴BD＝DF，AB＝AF，
∵DE∥AC，BD＝DF，
∴AF＝2DE＝2×3＝6，
∴AB＝6，
故答案为：6．
11．解：延长BD、CA交于点H，
在△ADH和△ADB中，，
∴△ADH≌△ADB（ASA）
∴BD＝DH，AB＝AH，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴CH＝2DE＝8，
∴AH＝CH﹣AC＝6，
∴AB＝AH＝6，
故答案为：6．
12．解：∵A2，B2，C2分别是△A1B1C1各边的中点，
∴A1B1＝2A2B2，B1C1＝2B2C2，A1C1＝2A2C2，
∵△A2B2C2的周长为2cm，
∴△A1B1C1＝4cm，
同理△ABC的周长＝8cm，
故答案为：8cm．
13．解：过点N作NH⊥BE于H，
∵DM⊥BC，
∴∠DMB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∴DM∥AC，
∵AC＝2DM，
∴点M为BC的中点，
∵AC＝EM，∠ANC＝∠ENM，∠C＝∠NME，
∴△ACN≌△EMN（AAS），
∴CN＝MN，
∵AC＝6，AB＝10，
由勾股定理得BC＝，
∴BN＝6，BM＝4，
在Rt△BEM中，由勾股定理得BE＝，
∵S△BNE＝×BN×EM＝×BE×NH，
∴NH＝＝，
故答案为：．
14．解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴AD＝BE＝3，
取AB的中点F，连接GF，HF，
∵点G，H分别是AE，BD的中点，
∴FG∥BE，FG＝BE＝，FH∥AD，FH＝AD＝，
∴FG＝FH＝，∠AFG＝∠ABC＝60°，∠BFH＝∠BAC＝60°
∴∠HFG＝180°﹣∠AFG﹣∠BFH＝60°，
∴△FGH是等边三角形，
∴GH＝FG＝，
方法二：连接DG并延长到AB交AB于M，
∵D是AC的中点，G是AE的中点，
∴DG∥BC，
∴DM∥BC，
∴AM＝BM＝AB＝3，
∴AM＝AD，
∴DG＝MG，
∵H是BD的中点，
∴HG＝BM＝，
故答案为：．
三．解答题
15．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
16．解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
17．证明：延长AC、BD交于点F，
∵在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB＝AF，BD＝DF，
又∵E是BC的中点，即ED是△BCF中位线，
∴DE＝CF＝（AB﹣AC）．
18．解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，
∴∠EAD＝∠CAD，∠EDA＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE；
（2）由（1）知，∠EAD＝∠EDA．
∵BD⊥AD，
∴∠EBD+∠EAD＝∠BDE+∠EDA
∴∠EBD＝∠BDE，
∴DE＝BE．
又由（1）知，DE＝BE，
∴DE＝AB＝×8＝4．
19．证明：
取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，
则EH∥AC，EH＝AC，HF∥BD，FH＝BD，
∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，
∵OM＝ON，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1＝∠2，
同理∠EFH＝∠GFE＝∠1＝∠2，
∴∠4＝∠EFH，
∴EH＝HF，
∵EH＝AC，FH＝BD，
∴AC＝BD．
20．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
21．解：（1）∵BD⊥AF，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°，
在△ABF和△MBF中
，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB
∴AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线
∴FG＝MN，
＝（MB+BC+CN），
＝（AB+BC+AC）．
（2）图（2）中，FG＝（AB+AC﹣BC）
解：如图（2），
延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB，AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG
∴FG＝MN，
＝（BM+CN﹣BC），
＝（AB+AC﹣BC），
答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）．
（3）解：FG＝（AC+BC﹣AB），
理由是：∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB，AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG
∴FG＝MN，
＝（CN+BC﹣BM），
＝（AC+BC﹣AB）．
故答案为：FG＝（AC+BC﹣AB）．