10.3.2直角三角形全等的判定 同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
知识梳理
定理：斜边和＿＿＿＿＿分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”.
基础练习
1.如图，用三角尺可按下面的方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP.可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB.依以上画法证明△POM≌△PON的根据是( )
A.SSS B.HL C.AAS D.SAS
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB，交BC于点E.若∠B=28°，则∠AEC的度
数为( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
3.如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，给出下列条件：①AB=DC，∠B=∠C；②AB=
DC,AB//CD;③AB=DC,BE=CF;④AB=DF，BE=CF.其中，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是__________(填序号).
第3题图 第4题图
4.如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则可直接得出_______≌__________(HL).
5.如图，∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AC=BD.求证：AE=BE.
6.如图，C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C处同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.若小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？
巩固提高
7.如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，AQ=PQ，PR=PS.有下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.其中，正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
8.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D和点B，C分别在直线MN，PQ上，点E在AB上，AD+BC=7.AD=EB，DE=EC，则AB=_____________.
第8题图 第9题图
9.如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12cm，则DE=_________ cm.
10.如图，AB=12，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC=4，点P从点B出发向点A以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点B出发向点D以每秒2个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，运动__________秒后，△CAP与△PBQ全等.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由.
12.在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)若点B，C在直线DE的同侧(如图①)，且AD=CE，求证：AB⊥AC .
(2)若点B，C在直线DE的异侧(如图②)，其他条件不变，AB与AC仍互相垂直吗 若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.
参考答案
［知识梳理］
一条直角边
[基础练习]
1.B 2.B 3.①②③ 4.△ABE △DCF
5.在Rt△ACB和Rt△BDA中， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA.∴∠ABC=∠BAD.∴AE=BE .
6.由DA⊥AB，EB⊥AB，得△ADC和△BEC为直角三角形.∵C是路段AB的中点，∴AC=BC，∵小明和小红从点C处同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD=CE.在Rt△ADC和Rt△BEC中， ∴Rt△ADC≌Rt△BEC.∴BE=AD=50米.
∴小红到路段AB的距离是50米
[巩固提高]
7.C 8.7 9.12 10.4
11.BF⊥AE 理由：∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD=90°.
在Rt△BDC和Rt△AEC中， ∴Rt△BDC≌Rt△AEC.∴∠CBD=∠CAE.
又∵∠CAE+∠E=90°，∴∠EBF+∠E=90°.∴∠BFE=90°，即BF⊥AE.
12.(1)∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA.∵∠ECA+∠EAC=90°,∴∠DAB+∠EAC=90°.∴∠BAC=180°-(∠DAB+∠EAC)=90°.∴AB⊥AC.
(2)AB与AC仍互相垂直
同(1)，可证得Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB=∠ECA.
∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠DAB=90°，即∠BAC=90°.∴AB⊥AC.
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