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2.3 平行线的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并能够说出平行线的三条性质,且能够证明或解决有关的问题;
2.逐渐理解几何推理的要领,分清推理中“因为”、“所以”表达的意义,从而初步学会简单的几何推理.
【过程与方法】
1.经历观察、讨论,推理、归纳等活动,进一步发展空间观念,培养推理能力和有条理的表达能力;
2.能有条理地思考和表达自己的探索过程和结果,从而进一步增强分析、概括、表达的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学习平行线的性质和判定直线平行条件的联系与区别,让学生体会事物之间普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想.
◇教学重难点◇
【教学重点】
对平行线性质的理解以及应用它们证明、解决有关问题.
【教学难点】
综合应用平行线的性质和判别直线平行的条件证明或解决有关问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
判定两条直线平行有哪些方法 反过来,如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么样的关系呢 这是我们这节课要探究的问题.
二、合作探究
探究点1 平行线的性质
典例1 如图,a∥b,AB⊥a,BC与b相交,若∠ABC=130°,则∠1= °.
[解析] 如图,过点B作直线BM∥a,由a∥b得BM∥b.又因为AB⊥a,所以∠ABM=180°-90°=90°,所以∠MBC=130°-90°=40°,所以∠1=180°-∠MBC=140°.
[答案] 140
平行线的三条性质:
①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行,内错角相等;
③两直线平行,同旁内角互补.
探究点2 平行线的性质与判定的综合
典例2 已知直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB和CD上.
(1)如图1,点O在直线AB与CD的内部,试猜想∠BEO,∠EOF,∠DFO之间的关系,并说明理由.
(2)若点O在直线AB与CD的外部,如图2,(1)中的结论还成立吗 若不成立,∠BEO,∠EOF,∠DFO之间又有怎么样的关系 并说明理由.
[解析] (1)∠EOF=∠BEO+∠DFO.
理由:如图1,过点O作OG∥AB.
因为AB∥CD,OG∥AB,
所以OG∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行),
所以∠BEO=∠EOG,∠DFO=∠FOG(两直线平行,内错角相等),
所以∠EOF=∠EOG+∠FOG=∠BEO+∠DFO.
(2)不成立,此时∠DFO=∠BEO+∠EOF.
理由:如图2,设OF交AB于点H,过点O作MN∥AB.
因为AB∥CD,MN∥AB,
所以MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行),
所以∠DFO+∠FON=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∠FHB=∠FON(两直线平行,同位角相等).
又因为∠EHO=∠FHB(对顶角相等),∠BEO+∠EOF+∠EHO=90°,
所以∠BEO+∠EOF+∠FON=180°,
所以∠DFO+∠FON=∠BEO+∠EOF+∠FON(等量代换),
所以∠DFO=∠BEO+∠EOF(等式性质).
【技巧点拨】平行线的三条性质,反过来就是平行线的判定条件,综合起来运用时,注意不要弄混.另外在解决某些含有“拐点”的平行线的问题时,过这个“拐点”,作已有平行线的平行线,是常用的辅助线作法.
三、板书设计
平行线的性质
平行线
的性质
◇教学反思◇
平行线的性质是在学生学习了判定直线平行的条件之后进行学习的.因此,在引入环节,就要充分考虑到这一点,从复习判定直线平行的条件入手,进而引导学生进行平行线性质的探究.着重突出了平行线性质的探究过程.通过学生自主测量、猜想、验证,让学生在充分活动的基础上,自己发现,并用自己的语言来归纳,这样可以增强学生的学习兴趣和自信心.在教学中,有意识、有计划地设计教学活动,充分挖掘知识内涵,引导学生体会平行线性质与两条直线平行的条件之间的联系与区别,使学生体会数学知识间的密切联系.
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2.3 平行线的性质
第二章 相交线与平行线
北师大版数学七年级下册
两直线相交形成 个角，
1
2
3
4
互补的
从位置关系上讲， ∠2与∠4形成 角；
对顶
4
从数量关系上讲， ∠1与∠2形成 角，
对顶的两角 。
相等
一、直线交成的角
回顾与思考
回顾与思考
① 共顶点的角：
∠1与∠7形成 角，
∠5与∠7形成 角，
② 不共顶点的角：
在“三线八角”中，
F
1
3
7
5
2
8
6
D
C
A
B
E
4
对顶
互为补
(1) 同位角有 对：
∠1和∠2,
∠3和∠4,
∠5和∠6,
∠7和∠8.
4
(2) 内错角有 对：
∠7和∠2,
∠5和∠4.
2
(3) 同旁内角有 对：
∠7和∠4,
∠5和∠2
2
一、直线交成的角
回顾与思考
同位角 ，两直线平行.
内错角 ，两直线平行.
同旁内角 ，两直线平行.
考察两直线是否有平行关系，我们往往用第三直线作为沟通这两直线的桥梁——
考察(被第三直线截成的八个角中)不共顶点的两个角, 是否满足某种数量关系 .
a
b
l
相等
相等
互补
二、判断两直线平行
回顾与思考
抓住被考察的两直线、寻找第三线；
找出不共顶点的两个角及其数量关系，
是判定两直线平行的必要途径。
做一做
B
C
D
A
E
图2—8
你看得懂她的意识吗？
她选的第三线是谁？
我是这样想的：
∠BCA=∠EAC，
BD∥AE。
他选谁为第三线？
AC与DE是平行的。
因为∠EDC与∠ACB
是同位角，
而且又相等。
内错角相等，
两直线平行。
选BD作第三线，
如图2—8，三个相
同的三角尺拼成一个图
形，请找出图中的一组
平行线，并说明你的理由。
再找一组平行线，说明你的理由。
用三角尺的60 角相等
说明“同位角相等”，
用“同位角相等两直线平行”
来说明 BD∥AE。
用的是什么角？
内错角。
你知道这一步的理由吗？
∠BCA=∠EAC，
BD∥AE。
AC
二、直线平行后得到什么？
b
a
c
如图：直线 a 与b 直线平行。
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？
相等：∠1=∠5。
图中还有其它同位角吗？
它们的大小有什么关系？
∠2=∠6、
∠3=∠7、
∠4=∠8；
还有三对同位角。
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
有两对内错角：
∠3=∠5、
∠4=∠6；
∵∠4=∠2，∠2=∠6， ∴ ∠4=∠6。
同理： ∠3=∠5
8
3
1
2
4
5
7
6
探究
二、直线平行后得到什么？
b
a
c
如图：直线 a 与b 直线平行。
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
有两对同旁内角：
∠4+∠5=180°，
∠3+∠6=180°。
从中，你发现了什么规律吗？
8
3
1
2
4
5
7
6
探究
简记为：
规律
两条平行直线被第三条直线直线所截，
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
两直线平行，同位角相等。
二、平行直线的特征
（性质）
同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
两类定理的比较
两条平行直线被第三条直线直线所截，
同位角相等， 两直线平行
两直线平行，同位角相等。
判定定理
性质定理
条件 结论
条件 结论
思考:
1、判定定理与性质定理的
条件与结论有什么关系？
互换。
内错角相等， 两直线平行
两直线平行，内错角相等。
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
2、使用判定定理时是已知 ，说明 ；
角的相等或互补
两直线平行
使用性质定理时是已知 ，说明 。
两直线平行
角的相等或互补
做一做
如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射，
（1 ）∠1，∠3的大小有什么关系？
∠2与∠4呢？
∵AB∥DE ∴∠1=∠3。
相等：∠3=∠4；
你知道理由吗？
两直线平行
同位角相等
（2 ）反射光线BC与EF也平行吗？
∵ ∠2=∠4 ∴ BC∥EF 。
平行：
又 ∠1=∠2 ，∠3=∠4
∴ ∠2=∠4。
A
B
D
E
C
F
此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。
1
3
2
4
∠2 =∠4 。
你知道理由吗？
同位角相等
两直线平行
∠1=∠2 ∠3=∠4
三、随堂练习
如图所示，AB∥CD，AC∥BD。
分别找出与∠1相等或互补的角。
如图，与∠1相等的角有：
∠3， ∠5， ∠7， ∠9，
∠11， ∠13， ∠15；
与∠1互补的角有：
∠2， ∠4， ∠6， ∠8，
∠10， ∠12， ∠14， ∠16 ；
解：
1
14
16
13
15
3
A
B
D
C
2
4
5
6
7
8
9
10
12
11
1.如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C 为( )
A．40° B．20°
C．60° D．70°
当堂练习
解析：∵∠A＝∠D,∴AB∥CD.∵AB∥CD，∠B＝20°，∴∠C＝∠B＝20°.
B
2.如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，
∠3＝70°，则∠4的度数是( )
A．35° B．70°
C．90° D．110°
解析：由∠1=∠2，可根据
“同位角相等，两直线平行”
判断出a∥b，可得∠3=∠5.再根据邻补角互
补可以计算出∠4的度数．
∵∠1=∠2,∴a∥b，
∴∠3=∠5.∵∠3=70°，∴∠5=70°,
∴∠4=180°－70°=110°.
D
3.如图，AE∥CD，若∠1=37°，∠D=54°，求∠2
和∠BAE的度数.
解：因为AE∥CD，根据
“两直线平行，内错角相
等”，所以∠2=∠1=37°.
根据“两直线平行，同位
角相等”，所以∠BAE=∠D=54°.
4.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于
A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝
______度．
解析：过B作BF∥AE，
则CD∥BF∥AE.根据
平行线的性质即可求解．
过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD＋∠1=180°.又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF =90°，∴∠ABC＋∠BCD=90°＋180°=270°.
270
5.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3=∠E.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
解：
∵∠1=∠2
∴AB∥EF
（内错角相等，两直线平行）.
(已知），
∵AB⊥BF，CD⊥BF，
∴AB∥CD
∴EF∥CD
∴ ∠3= ∠E
(垂直于同一条直线的两条直线平行).
(平行于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行，内错角相等).
6.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD
的度数.
解：
∵EF∥AD,
(已知）
∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴DG∥AB.
∴∠BAC+∠AGD=180°.
∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.
（两直线平行，同位角相等）
(已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
D
A
G
C
B
E
F
1
3
2
拓展提升：如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）如图1,∠1＋∠2＝___ ___；
（2）如图2,∠1＋∠2＋∠3＝___ __；
（3）如图3,∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __；
（4）如图4,试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n
= ；
180°
360°
A
B
C
D
1
2
B
A
E
C
D
1
2
3
B
A
E
C
D
F
1
2
4
3
B
A
E
C
D
N
1
2
n
540°
180°×（n-1)
图1
图2
图3
图4
小结
本节课初步学习了如何混合应用平行线的判定与性质进行计算和说理(证明)．
要懂得几何中的计算往往要说理，要熟悉几何里计算题的格式；
还要懂得几何中常常可以由“已知”的条件推得一系列新的结论，在这个过程中，要能清楚每一步推理的依据，并初步了解解答这类问题的格式和要求．
本节课学行线的三个性质，总结了平行线的判定
与性 质的区别．
这里的关键之一是要搞清“已知”了什么，得到的是什么样的“结论”．这样才能确保正确的应用，不发生错误．
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