7.5　正态分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
7.5　正态分布
学习指导 核心素养
1.了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率. 3.会用正态分布解决实际问题. 1.数学抽象、直观想象：正态分布和正态曲线.
2.数学建模：正态分布的实际应用.
1.正态曲线
若f(x)＝____________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
2.正态分布
(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝______ ，σ＝____时，称随机变量X服从标准正态分布.
(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝____.
0
1
μ
σ2
x＝μ
x轴
4.3σ原则
(1)假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ) 是一个只与k有关的定值.特别地，
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2)尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间外取值的概率大约只有____________，通常认为这种情况几乎不可能发生.
(3)在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
0.002 7
3σ原则有什么实际应用？
提示：根据3σ原则，随机变量取值在[μ－3σ，μ＋3σ]外的概率约只有0.002 7，这些情况的发生的概率很小，通常认为这种情况几乎不可能发生.
×
√
×
√
√
探究点1　正态曲线
[问题探究]
正态密度函数中的两个参数μ，σ对正态曲线的形状有何影响？
探究感悟：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布比较集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布比较分散.
√
√
√
√
√
解析：由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确.因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确.
2.(2021·青海省海东市高三联考)已知η～N(1，4)，若P(η>2a)＝P(ηA.－1　　　　　　　　　　 B.0
C.1 D.2
√
探究点2　正态分布的概率计算
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
√
(2)(2021·重庆南开中学高考模拟)据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A.0.682 7 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 5
√
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.　
1.(2021·重庆高三月考)已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，则实数a＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
解析：因为P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a).因为X～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2.
√
√
探究点3　正态分布的实际应用
[问题探究]
举例说明正态分布在实际生活中的应用.
探究感悟：(1)可根据正态分布估计总体在某个区间内的分布情况.
(2)根据产品抽检情况的分布分析生产状况.
【解】　正态变量几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.因为ξ～N(10，0.22)，所以μ＋ 3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，因为9.52在[9.4，10.6]内，9.98在[9.4，10.6]内，所以该厂这一天的生产状况是正常的.
正态分布的实际应用
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产生不合格.　
(2021·山西省长治市期末)据调查统计，某校男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9).若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在[174，180]范围内的人数为_________.
解析：因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在[168，180]范围内的概率约为0.954 5.
因为μ＝174，
所以身高在[168，174]和[174，180]范围内的概率相等，均约为0.477 25.
故该校男生身高在[174，180]范围内的人数约为3 000×0.477 25≈1 432.
答案：1 432
1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示,下列说法中正确的是(　　)
A.甲科总体成绩的标准差最小
B.丙科总体成绩的平均数最小
C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同
√
2.已知随机变量X～N(0，1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率约为
(　　)
A.0.954　　　　　　　　 B.0.046
C.0.977 D.0.023
√
√
解析：由题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5≤X≤62.5)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)≈0.682 7，从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1－0.682 7)≈317.
4.若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ>11)＝__________.
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以直线x＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，
所以P(ξ>11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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