苏科版八年级数学下册 11.1 反比例函数 教案

《反比例函数》案例设计
内容和内容解析
1.内容
反比例函数的概念
2.内容解析
反比例函数的概念是对小学所学的反比例关系的继续研究，用函数的视角来研究生活中具有反比例关系的两个变量，用数学符号建立函数中的数量关系和变化规律。 通过反比例关系到反比例函数，知识间巧妙地进行了迁移，让学生更加深刻的理解反比例函数概念的本质：两个变量的乘积为定值。同时这些内容的学习有助于学生初步形成建模思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
函数部分的知识是初中代数的核心内容，新课程标准明确要求：结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
二、目标和目标解析
1.目标
结合具体情境体会反比例函数的本质：两个变量的乘积是定值，理解反比例函数的概念；
经历探索现实生活中数量间的反比例关系，体会反比例函数是刻画现实世界数量关系的一种数学模型；
能根据问题中的已知条件确定反比例函数的表达式；
经历反比例函数概念的探索，体会转化，类比，归纳的数学方法。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能够通过具体的实例，体会反比例关系与反比例函数的联系，体会反比例函数的本质。 通过实例列出函数表达式，归纳出反比例函数的定义，并能根据给出的函数表达式判断一个函数是不是反比例函数
达成目标（2）的标志是：学生在列举实例的过程中，积极的思考，以自身的实际经验为基础，体会反比例函数与生活之间的联系，体会反比例函数是刻画现实世界中具有反比例关系的一种数学模型.
达成目标（3）的标志是：学生能够正确使用待定系数法写出反比例函数表达式。
达成目标（4）的标志是：学生能够借助已有的学习经验，利用类比的方法归纳出反比例函数的概念，并探索出本章将要学习的内容
三、教学问题诊断分析
“反比例函数”的第一课时是概念课，数学概念是数学知识的细胞，是新知建构的起点，是学生进行计算、解题、证明的依据,也是培养学生思维能力的良好素材，可见概念教学在数学教学中占据非常重要的地位。 而概念课往往都是按照：给例子→找属性→举例子→下定义→再辨析的过程进行教学，学生只知道“学什么”，并不知道“为什么学”、“怎么学”，加之概念的抽象性和高度的概括性，学生往往感到不好理解，无法领悟其内在涵义，学生的数学核心素养思维能力得不到发展。本案例设计将立足“研什么，怎么研，为什么研”，建构“知识结构”以 “思想方法”立意，从而在巩固“知识技能”的同时提升学生核心素养。
本节课的教学重点是：经历建立反比例函数这一数学模型的过程，理解反比例函数的概念。教学难点是：结合具有反比例关系的实际问题，理解反比例函数的本质。
四、学情分析
学生在小学阶段已经学习过正比例关系和反比例关系，并在初中掌握了函数、正比例函数和一次函数的相关概念；
学生基础薄弱，易遗忘，加之函数是对现实生活的抽象，学生往往只注重外在的形，而无法领悟其内在的涵。
五、教学过程设计
1.情景导入
问题1 观察表格有什么发现？
表1：
时间t（小时） … 1 2 3 4 5 …
路程S（千米） … 60 120 180 240 300 …
时间t（小时） … 1 2 3 4 5 …
速度v（千米/时） … 300 150 100 75 60 …
表2：
追问1 请回忆进入中学后我们是如何进一步研究正比例关系的？
追问2 正比例函数的定义是什么？
设计意图：经历对比，理解正比例关系和反比例关系；感知初中阶段正比例关系是借助正比例函数来进行研究的；为本节课的从反比例关系到反比例函数的学习提供一个很好的类比经验。
2.活动探索
写出表示下列问题中两个变量之间的关系式:
(1) 计划修建一条长为500 km的高速公路，完成该项目的天数y (天)随日完成量x(km)的变化而变化；
(2) 游泳池的容积为5000 m3，向池内注水，注满水池所需时间t (h)随注水速度v (m3/h)的变化而变化；
(3) 某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积 y（公顷）随人口数量 x（人）的变化而变化；
(4) 实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化．
追问1 你还能再举几个类似的例子吗？这些例子有什么共同特征？
追问2 以第一个题目为例，两个变量之间是函数吗？
追问3 你能给这类函数下一个定义吗？
设计意图：本环节是通过四个实际问题，让学生写出关系式，然后基于类比，引导学生感受反比例关系也可以用函数的视角进行研究。
追问1是让学生感受反比例关系在现实生活中大量存在，体会研究反比例函数的必要性。为了将反比例关系向反比例函数转化设计了追问2，并在此设计小游戏：一个学生当x，一个学生当y，当x给定一个值，y给出唯一与其相对应的数值，通过小游戏让学生充分感受函数的定义。明确变量间具有函数关系后，引导学生将其转化为函数表达式，让学生观察这一类函数的特征，类比正比例函数和一次函数的概念归纳出反比例函数的定义。
3.例题教学
例1 下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？如果是，请指出k的值．
（1）y＝ （2） y＝ （3） xy＝4
（2）y＝6x+1 （5） y＝2x－1 （6） y＝
追问1 判断的依据是什么？
追问2 （6）中y不是x的函数，但是谁与谁成反比例关系？为什么？
设计意图：本例题的设计是为了考察概念的辨析，让学生用等式基本性质进行变形，感知反比例函数的多种表达形式。追问1的预设是让学生从反比例函数的本质和反比例函数的概念两个视角进行回答，追问2是让学生进一步感受反比例函数的本质是两个变量的乘积是一个定值，让学生体会y不是x的反比例函数，但是y与（x+3）成反比例关系。
例2 观察表格中x和y的对应数值，其中y是x的反比例函数的是( )
x … 1 2 3 4 … x … 1 2 3 4 …
y … 6 8 9 7 … y … 8 5 4 3 …
A B
x … 1 2 3 4 … x … 1 2 3 4 …
y … 5 8 7 6 … y … 2 1 …
C D
追问1 你是如何判断的？
追问2 写出该反比例函数的表达式？
设计意图：例2是进一步的体会反比例函数的本质：两个变量的乘积为定值。追问2的目的是让学生使用待定系数法，根据已知条件确定反比例函数表达式。
例3 已知y与x+1成反比例，并且当 x＝2时，y＝6. 当x＝4时，求y的值．
设计意图：例3是借鉴人教版的第3个练习题，帮助学生理解反比例关系与反比例函数的概念，是对例1中（6）的再次理解。同时，体会用待定系数法确定y与x的函数关系式的必要性。
4.小结思考
（1）什么是反比例函数？
（2）请赋予反比例函数y＝ 一个实际意义.
（3）对于反比例函数，你还想继续研究什么？
设计意图：针对所学，本环节设计了三个具体的问题。数学源于生活又高于生活，本节课是从大量的实际问题中抽象出反比例函数这一模型，为此设计问题2让学生给同一个模型赋予不同的实际意义，又让数学回归到生活。第3个问题的目的是将类比学习进行到底，使得学生对接下来的学习做到心中有数，手中有法。
六、教学目标检测设计
1.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，请指出k的形式.
（1）y＝ （2）y＝ （3）y＝2x-1 （4）x＝
设计意图：考察学生对反比例函数概念的掌握。
2. 一边长5 cm 的三角形，面积y（cm2）与这边上的高x（cm）之间的函数表达式是_______________.
设计意图：考察学生对反比例函数实际应用的掌握.
3. 已知y是x2的反比例函数，并且当x=3时，y=4.
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）当x=1.5时，求y的值；
（3）当y=6时，求x的值.
设计意图：考察学生对待定系数法的掌握.
七、教学反思
下面是在课堂教学中的几点思考：
1 回归源头，着眼生长
数学是研究数量关系和空间形式的科学，课程内容是一个整体，数学的整体性既体现在代数、几何、统计和概率等各部分之间的相互联系上，也体现在同一部分中知识的前后逻辑关系上。因此，找准新概念的起点，能使概念建构过程自然高效。但是，在学生当前的认识结构中，新概念的“逻辑关联点”往往不止一个，各个关联点与新知识之间可类比程度、逻辑距离也不尽相同，这使得概念建构起点的选择成为教师教学智慧的主要体现。本课例中，从现实生活中创设情境，类比正比例关系到正比例函数，引入反比例函数的概念。这样处理既有利于学生理解正比例关系、正比例函数、反比例关系和反比例函数之间的区别和联系，也有利于知识体系的建构，有利于培养学生从无序到有序思考问题的能力，同时让学生感受到学习反比例函数的必要性，可谓一举多得。这样的设计更符合知识产生、发展的过程，更符合学生的认知规律，既能类比发现反比例函数的概念，也易于学生理解后续对反比例函数的图像与性质，反比例函数的应用的学习。这种整体建构的数学理念，不仅使学生获取了数学知识，而且积累了数学活动经验，从而发展了学生探索精神和开拓创新意识。
2 经历类比，发展素养
在课堂教学中结合教学内容渗透教学思想，是培养和落实数学核心素养的有效途径之一。情景导入环节，让学生对比正比例关系与反比例关系，感知初中阶段正比例关系是借助正比例函数来进行研究的，为本节课从反比例关系到反比例函数的学习提供一个很好的类比经验，渗透类比学习的数学方法。在活动探索环节，让学生经历由具体到抽象的思维过程，渗透了由特殊到一般的数学思想。史宁中教授认为数学基本思想可归纳为“抽象、推理、模型”三种，从本节课不难看出，在反比例函数概念形成及辨析过程中有效地渗透了抽象与模型思想，提升了学生的抽象能力，促进了核心素养的形成。小结思考环节以问题三，适度的引导学生借助已有的学习经验，利用类比的方法探索出本章将要学习的内容，既培养了学生的探索精神，又积累了通过类比探索的活动经验，感悟了函数部分的研究思路。通过本节课的教学，笔者认为学生的核心素养不是教师教出来的，而是要靠教师在课堂教学中抓住合适的时机去渗透、去引导，让学生在自主、合作、探究中，去思考、感悟和积累。
3 以生为本，立足理解
现代教育观点认为：谁获取知识谁就是课堂的主体。以学生的发展为本是新课标的核心理念。波利亚说：“学习任何东西的最好途径是自己去发现”，为揭示概念的本质，培养探索素养，本案例设计不是直接给出概念，而是通过实际问题创设情境，通过观察和比较，类比正比例函数，自主发现研究反比例函数的必要性，通过教师的不断追问及学生的相互补充，在师生的互动中逐步揭示反比例函数概念的本质（两个变量的积是一个不为零的定值）。为了深化学生对概念的理解，准确掌握概念的本质属性，在概念形成后，设计了一组概念辨析题，使学生通过独立思考，逐步发现、揭示、归纳反比例函数的多种表达形式，强化对反比例函数本质的理解，最终使学生的思维活动从主观感知上升到理性思辨。数学的教学过程中，对于同一个问题往往应用了多种策略，对应多种数学核心素养，同时，对同一种数学核心素养又往往通过应用多种策略，设计不同的问题来实现发展。重要的是，无论采取什么样的方法、策略或模式，应更加关注是否真正促进了学生更为积极的思考，并能逐步学会想的更清晰、更全面、更深、更合理。
复 习 学 案（课前）
知识点一：反比例关系与正比例关系
反比例关系的定义:
2、正比例关系的定义：
知识点二：函数
函数定义：
正比例函数定义
k的符号 k＞0 k＜0
图像
性质
一次函数定义
k、b的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 b=0
图像
性质
S11.1反比例函数（学案）
活动一、情景导入
观察表格有什么发现？
表1：
时间t（小时） … 1 2 3 4 5 …
路程S（千米） … 60 120 180 240 300 …
表2：
时间t（小时） … 1 2 3 4 5 …
速度v（千米/时） … 300 150 100 75 60 …
活动二、活动探索
写出表示下列问题中两个变量之间的关系式:
(1) 计划修建一条长为500 km的高速公路，完成该项目的天数y (天)随日完成量x(km)的变化而变化；
(2) 游泳池的容积为5000 m3，向池内注水，注满水池所需时间t (h)随注水速度v (m3/h)的变化而变化；
(3) 某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积 y（公顷）随人口数量 x（人）的变化而变化；
(4) 实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化．
【例题】
例1 下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成y＝ 的形式，并指出k的值．
y＝ （2） y＝ （3） xy＝4
（4）y＝6x+1 （5） y＝2x－1 （6） y＝
例2 观察表格中x和y的对应数值，其中y是x的反比例函数的是( )
x … 1 2 3 4 … x … 1 2 3 4 …
y … 6 8 9 7 … y … 8 5 4 3 …
A B
x … 1 2 3 4 … x … 1 2 3 4 …
y … 5 8 7 6 … y … 2 1 …
C D
例3 已知y与x+1成反比例，并且当 x＝2时，y＝6. 当x＝4时，求y的值．
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