(共18张PPT)
1.1 菱形的性质与判定（1）
九年级数学备课组
议课组：第一议课组
议课时间：2022.3.22
授课时间：第一周 2月30日
第一章 特殊平行四边形
知识回顾（1分钟）
平行四边形具有哪些性质？
1、边：
2、角：
3、对角线：
4、对称性：
对边平行且相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
中心对称图形
学习目标（1分钟）
1.理解并掌握菱形的定义；
2.理解并掌握菱形特有的性质.
自学指导1（1分钟）
仔细阅读课本P2内容，思考并解决下列问题：
1.有一组 的 叫菱形．
转化成几何语言：
∴ ABCD是菱形
∵在 ABCD中，AB=BC，
平行四边形
邻边相等
D
O
A
C
B
2.菱形是 的平行四边形，具有平行四边形
的 性质；
特殊
一切
3.菱形是中心对称图形；也是 对称图形；
如上图,对称中心是 ，对称轴有 条，
对称轴是 .
轴
点O
AC,BD所在的直线
2
学生自学，教师巡视（5分钟）
自学检测1（3分钟)
2.如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A=60°，则BD的长为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
A
1.在平行四边形ABCD中，AB=BC,则下列说法错误的是（ ）
A.平行四边形ABCD是轴对称对称图形
B.平行四边形ABCD的对称轴有2条
C.平行四边形ABCD的对称轴是线段AC与BD
D.平行四边形ABCD是菱形
C
易错点:菱形的对称轴是线段AC与线段BD所在的直线
自学指导2（1分钟）
阅读课本P3-P4内容并思考解决下列问题：
1.菱形独有哪些特殊的性质
2.理解菱形两个特殊性质的证明过程,及几何语言的写法。
3.学习例1，掌握菱形性质的运用思路。
学生自学，教师巡视（5分钟）
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=DA, AC⊥BD.
四边相等；对角线互相垂直.
A
D
C
B
O
1.下列性质中，菱形对角线不一定具有的是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等
D．对角线互相平分
C
自学检测2（5分钟）
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
C
3.（P4随堂练习）四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。
（P4随堂练习）四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴
∴OB=3
∴ BD=2OB=6 cm
5
4
3
A
B
C
D
O
做题技巧：有关菱形问题常常可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
讨论、更正、点拨 （7分钟）
除此之外，菱形还有哪些性质呢？我们一起来解决知识技能第三题。
四边相等、对角线互相垂直是菱形的特有的性质，一般的平行四边形不具有。所以，在运用时，要先说明是菱形。
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，求证：AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD ，BO=DO
∴AC平分∠BAD
发现性质：菱形的每一条对角线平分每一组对角.
A
D
B
C
同理： AC平分∠BCD
BD平分∠ABC和∠ADC
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，求证：AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
1个定义：
1个方法：
3个特性：
平行四边形
邻边相等
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
①四边相等；
②对角线互相垂直；
③每条对角线平分每一组对角。
课堂小结（1分钟）
有一组 的 叫菱形．
本节课你学到了那些知识：
当堂训练（15分钟）
1.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
A
2.如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（ ）
A.2.5 B.5 C.2.4 D.不确定
C
3.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），点C的坐标是 .
(8,4)
4.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°,则∠ODE= .
20°
5.如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，则菱形的周长为 ，面积为 .
20
24
6.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF． 求证：（1）△ADE≌△CDF； （2）∠BEF=∠BFE．
6.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF． 求证：（1）△ADE≌△CDF； （2）∠BEF=∠BFE．
选做题
如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G． （1）求证：△ACE≌△CBD； （2）求∠CGE的度数．
板书设计
1个定义：
1个方法：
有一组 的 叫菱形．
平行四边形
邻边相等
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
①四边相等；
②对角线互相垂直；
③每条对角线平分一组对角。
3个特性：
1.1菱形的性质（1）
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD（2）AC⊥BD
C
O
B
D
A
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD,
∴AO⊥BD,即AC⊥BD.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等）
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= BD= x6=3（菱形的对角线互相平分）
在等腰△ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∴AC=2OA= （菱形的对角线互相平分）
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
C
O
B
D
A(共21张PPT)
1.1 菱形的性质与判定（2）
九年级数学备课组
议课组：第一议课组
议课时间：2022.3.21
授课时间：第一周 3月1日
第一章 特殊平行四边形
1.菱形的定义：
2.菱形的性质：
边
对角线
角
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边分别平行
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直，
且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
课前提问（2分钟）
3.怎样判别一个四边形是平行四边形？
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形；
5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
学习目标（1分钟）
1. 理解并掌握菱形的判定定理；
2.能运用菱形的判定解决问题.
自学指导1（1分钟）
阅读课本P5内容，思考并解决下列问题：
如何判定一个平行四边形是菱形？
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（定义）
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（判定定理）
2. 掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明方法.
学生自学，教师巡视（5分钟）
自学检测1（4分钟）
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
2.在矩形ABCD中，AB=1，BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC，交AD、BC于点G、H．要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 .
（T1图）
（T2图）
C
A
B
C
D
菱形的判定定理：
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
讨论、更正、点拨1（2分钟）
1.菱形的定义是菱形的判定之一，其他的判定都是以定义为基础推导得来的。
2.菱形的这个判定是建立在平行四边形的条件上的，因此菱形的这个判定必须先证明四边形是平行四边形。
几何语言：
几何语言：
自学指导2（1分钟）
阅读课本P6内容并思考解决下列问题：
1.小刚的做法能得到哪些相等的线段？这些条件能得到菱形吗？请你证明。
2.理解四边相等的四边形是菱形的判定，及几何语言的写法。
3.你能说明小颖做法的原理吗？
4.学习例2.理解解题思路。
学生自学，教师巡视（3分钟）
1.如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
自学检测2（5分钟）
2.（P7知识技能2）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、CO、DO的中点.
求证：四边形EFGH是菱形.
A
B
C
D
O
E
F
G
H
B
2.（P7知识技能2）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、CO、DO的中点.
求证：四边形EFGH是菱形.
A
B
C
D
O
E
F
G
H
还有其他判别方法吗？
讨论、更正、点拨2（3分钟）
文字语言 图形语言 符号语言
判定法一
判定
法二
判定法三
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
课堂小结（1分钟）
2.（P7知识技能1）已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、AC、BC分别交于E，O、F．
求证：四边形AFCE是菱形
当堂训练（12分钟）
A
B
F
C
D
E
O
∟
1.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（ ）
A．AB⊥AC B．AB=AC C．AB=BC D．AC=BC
B
2.已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、AC、BC分别交于E，O、F．
求证：四边形AFCE是菱形
A
B
F
C
D
E
O
∟
∵EF垂直平分AC
∴AO=CO, ∠AOE=90°
∴∠FOC=∠AOE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC ∴AE∥FC
∴∠AEO=∠CFO
∴△AEO≌△CFO
证明：
∴OE=OF
又∵AO=CO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
3.（数学理解3）如图，在四边形ABCD中，AD ∥BC,AD＞CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C'处，折痕DE交BC于点E，连接C’E.你能确定四边形CDC'E的形状吗？证明你的结论。
A
B
C
D
E
C'
4.（选做题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，
E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,
连接CF.
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC,试判断四边
形ADCF的形状，并证明你的结论.
A
D
B
F
C
E
3.解：四边形CDC'E是菱形。理由：
∵ △DC'E是由△DCE折叠得到
∴ DC'E ≌△DCE。
∴∠3=∠1. DC'=CD.C'E=CE
∵ AD ∥BC
∴∠3=∠2
∴∠1=∠2
∴CD=CE
∴ DC'=CD=C'E=CE
∴四边形CDC'E是菱形
A
B
C
D
E
C’
1
2
3
4.证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=ED
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE,
∴△AFE≌△DBE.
∴AF=DB.
∵D是BC边上的中点，
∴DB=DC,AF=DC
（2）四边形ADCF是菱形
理由：由（1）知，AF=DC,
∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形
又∵AB⊥AC, ∴△ABC是直角三角形
∵AD是BC边上的中线, ∴ .
∴平行四边形ADCF是菱形.
板书设计
1.1菱形的性质（2）
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
邻边相等
菱形
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证： ABCD是菱形.
A
B
D
C
O
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）
推导思路：
对角线互相垂直
平行四边形
平行四边形
垂直平分线
的性质
定义
指导点拨（5分钟）
A
C
D
B
1.小刚的做法可得：
已知：
求证：
证明：
∵在四边形ABCD中，
AB=CD，BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又 AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=DA,
四边形ABCD是菱形.
2.小颖的做法可得：
已知：
A
B
C
D
O
AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
求证：
四边形ABCD是菱形
证明：∵AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
AB=BC=CD=DA,
四边形ABCD是菱形
例2 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ,OA=2，OB=1. 求证： ABCD是菱形.
证明：在△AOB中，
∵AB= ,OA=2，OB=1. ∴AB2=AO2+OB2
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD
∴ ABCD是菱形.
A
B
D
C
O(共20张PPT)
1.1 菱形的性质与判定（3）
九年级数学备课组
主备人：赵 伟1
议课组：第一议课组
议课时间：2017.8.24
授课时间：第一周 9月1日
第一章 特殊的平行四边形
复习提问（2分钟）
文字语言 图形语言 符号语言
判定法一
判定
法二
判定法三
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
学习目标（1分钟）
1.理解并掌握菱形的面积公式
2.能综合运用菱形的性质与判定解决实际问题
自学课本P8例3，思考并解决下列问题：
学生自学，教师巡视（5分钟）
A
B
C
D
O
E
如图，由于菱形是特殊的平行四边形，所以菱形可以用平行四边形的面积公式计算即S菱形ABCD= 。
又因为菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积还可以这样计算，即
BC·AE
S菱形ABCD =
文字语言：
AC×BD
菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半。
自学指导1（1分钟）
自学检测1（5分钟）
A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
1.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（ ）
2.（P9知识技能3）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16.BD=12.求菱形的高DH.
A
B
C
D
H
O
A
解：在菱形ABCD中，
AO= AC=8, BO= BD=6 且AC⊥BD.
∴在Rt△ABO中，
S菱形= AC×BD= ×12×16=96
∴DH= S菱形÷AB=96÷10=9.6
2.（P9知识技能3）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16.BD=12.求菱形的高DH.
A
B
C
D
H
O
讨论、更正、点拨（6分钟）
【菱形的面积公式】
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC× AE= AC×BD
第二个公式文字表述：
菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半。
想一想：这个公式对一般的对角线互相垂直的四边形仍成立吗？
例：在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD ，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？
D
A
O
B
C
四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
S
=
BD·AO
+
BD·CO
=
·BD· (AO+CO)
=
BD·AC
=
×10×18=90
解：
所以，这个公式对一般的对角线互相垂直的四边形仍成立。
两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是 。请证明。
菱形
证明：∵ AB//DC,AD//BC
∴四边形ABCD为平行四边形.
过点A、C作AE⊥BC,CF⊥AB，垂足分别为E、F.
则AE=CF，而S四边形ABCD= AB ×CF= BC× AE
∴BC=AB
∴四边形ABCD是菱形。
自学指导2（1分钟）
解决课本P8做一做中的问题：
∟
∟
E
F
A
D
C
B
学生自学，教师巡视（5分钟）
如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF． 求证：（1）△ADE≌△CDF； （2）∠BEF=∠BFE．
自学检测2（4分钟）
课堂小结（1分钟）
S菱形=BC× AE= AC×BD
第二个公式文字表述：
菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半。
A
B
C
D
O
E
方法总结：
1、面积求法：两种
2、边、线求法：4个直角三角形。知二求一
3、角：知一角而知全部
4、关注30°、60°、120°的特殊性。
当堂训练（15分钟）
1.如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
2.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足
（a﹣1）2+ =0，那么菱形的面积等于 ．
B
2
3. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A
恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为
EF。若菱形ABCD的边长为2 cm，
A=120 ，则EF= cm。
4.（P9知识技能4）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点，
求证：四边形EGFH是菱形.
5.选做（P9随堂练习2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE.
求证：四边形ACEF是菱形。
A
B
C
D
E
F
5.证明：∵DE是BC的中垂线，
∴DE⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵D为BC中点，DE∥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E为AB边的中点，
∴CE=AE=BE，
∵∠BAC=60°，
∴△ACE为正三角形，
∵∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°，
而AF=CE，又CE=AE，
∴AE=AF，
∴△AEF也为正三角形， ∴EF=AE=AC ∵AC ∥ EF， ∴四边形ACEF为平行四边形， 又∵CE=AC， ∴四边形ACEF为菱形．
A
B
C
D
E
F
6.（2013 娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
选做题
（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，
在△ABM和△AFN中， ，
∴△ABM≌△AFN，
∴AM=AN；
（2）解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．
理由：连接AP，
∵∠α=30°，
∴∠FAN=30°，
∴∠FAB=120°，
∵∠B=60°，
∴AF∥BP，
∴∠F=∠FPC=60°，
∴∠FPC=∠B=60°，
∴AB∥FP，
∴四边形ABPF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABPF是菱形．
板书设计
1.1菱形的性质（3）
方法总结：
1、面积求法：两种
2、边、线求法：4个直角三角形。知二求一
3、角：知一角而知全部
4、关注30°、60°、120°的特殊性。
A
B
C
D
O
【菱形的面积公式】
S菱形=BC× AE= AC×BD
A
B
D
C
E
解：(2)S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD
=2xS△ABD，
=2x xBDxAE
=2x x10x12
=120 (cm2)
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
AC与BD相交于点E，
∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直），
DE= BD= X10=5（cm）
（菱形的对角线互相平分）
∴AE=
∴AC=2AE=24（cm）（菱形的对角线互相平分）
例3 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm,求： （1）对角线AC的长度； （2）菱形ABCD的面积
