6.1.2导数的几何意义及反馈练习教师版 同步练习-2021-2022学年高二下学期数学 人教A版（2019）选择性必修第三册（word含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1.2导数的几何意义及反馈练习教师版 同步练习-2021-2022学年高二下学期数学 人教A版（2019）选择性必修第三册（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 97.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-23 09:27:33 | ||
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文档简介
【高二同步】：导数的几何意义
一、单项选择题
已知函数，则在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
曲线在处的切线如图所示，则
A. 0 B. C. 1 D.
曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为
A. B.
C. 和 D.
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
已知直线与曲线相切于点，则b的值为
A. 3 B. C. 5 D.
若曲线的切线方程为，则
A. B. C. D.
设函数，若曲线在点处的切线方程为，则
A. 0 B. C. 1 D. 2
若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为
A. 1 B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
曲线在处的切线方程为________．
过点的曲线的切线方程为________．
已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为______
曲线过原点的切线方程为______．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
已知函数，，；
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求在处的切线方程．
已知曲线．
求曲线在点处的切线l的方程
求与曲线相切，并过点的直线方程．
已知圆M过点，，且圆心M在上．
求圆M的方程；
求过点且与圆M相切的直线方程；
设P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积S的最小值．
【巩固练习】导数的几何意义
导数的几何意义
函数在点处的切线方程为
A. B. C. D.
设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A. B. C. D.
已知函数在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
曲线在点处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
已知直线是的切线，则k的值是
A. e B. C. D.
曲线在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
若曲线在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为
A. B. C. D.
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
曲线在点处的切线方程为______．
曲线在点处的切线的倾斜角为______ ．
已知函数的图象在点处的切线方程为，则______；______．
曲线在处的切线方程为______．
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求经过点的曲线的切线方程．
已知函数
求这个函数的导数
求这个函数的图象在处的切线方程．
已知曲线．
求曲线C在点处的切线方程；
求与直线平行的曲线C的切线方程．
已知函数．
求；
求函数图象上的点处的切线方程．
已知曲线．
求曲线在点处的切线方程．
求与曲线相切且过点的切线方程．
求斜率为的曲线的切线方程．
【参考答案】
导数的几何意义
函数在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
首先求出函数在处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．
【解答】
解：，
，
，
当时，，即切点为，斜率为4，
故切线方程为，即．
故选B．
设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
解题时，先求函数的导数的范围，即可得曲线切线斜率的取值范围，从而可求出切线的倾斜角的范围．
【解答】
解：因为，
则，
又，
，．
故选B．
已知函数在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．
解题时根据图象和导数的几何意义即可判断．
【解答】
解：由图象可知，当时，函数的增长越来越快，
即在上单调递增，
，a表示，两点连线的斜率，
，
故选B．
曲线在点处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】
解：函数的导数为，
当时，，
即曲线在点处切线的斜率．
故选C．
已知直线是的切线，则k的值是
A. e B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，，
设切点为，得切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为：．
即，，，
．
故选C．
曲线在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
欲求在点处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知，再结合正切函数的值求出角的值即可．
【解答】
解：，切线的斜率．
设直线的倾斜角为，
，
故倾斜角为．
故选B．
若曲线在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：的导数为，
设切点为，则，
可得切线的斜率为，
解得，即．
故选：B．
求得函数的导数，设出切点，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m，n，进而得到切点A的坐标．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解题的关键，属于基础题．
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设切点坐标为，
，，
切线的斜率是，
切线的方程为，
将代入可得，，
切线的斜率是；
故选：C．
设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．
本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．
曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】
解：曲线，可得，
切线的斜率为：．
切线方程为：，即：．
故答案为．
曲线在点处的切线的倾斜角为______ ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了应用导数的几何意义求切线的斜率，以及直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．
先求曲线在点处的导数，根据导数的几何意义是曲线的切线的斜率，就可得到切线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，可求出倾斜角．
【解答】
解：点满足曲线的方程，
点为切点．
，
当时，，
曲线在点处的切线的斜率为1，倾斜角为，
故答案为．
已知函数的图象在点处的切线方程为，则______；______．
【答案】；
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．
求出原函数的导函数，由曲线在处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在处的函数值相等求得b．
【解答】
解：由，得，
由题意可知，即．
又当时，，即，
，即．
故答案为；．
曲线在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了曲线的切线方程，考查导数的几何意义，是基础题．
求出导数，求出切线的斜率，从而求出切线方程即可．
【解答】
解：曲线，
所以，
，
故切线方程是：，
即，
故答案为：．
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求经过点的曲线的切线方程．
【答案】解：函数的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
切点为，
即有曲线在点处的切线方程为，
即为；
设切点为，可得，
由的导数，
可得切线的斜率为，
切线的方程为，
由切线经过点，可得
，
化为，解得或1．
则切线的方程为或，
即为或．
【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，正确求导是解题的关键，属于基础题和易错题．
求出的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；
设切点为，代入，求得切线的斜率和方程，代入点，解m的方程可得或1，即可得到所求切线的方程．
已知函数．
求这个函数的导数
求这个函数的图象在处的切线方程．
【答案】解：，
．
由得，
又，
，
这个函数的图象在点处的切线方程：，
即．
【解析】本题考查了导数的运算，考查切线方程问题，是一道基础题．
根据导数的运算法则求出函数的导数即可；
计算，，求出切线方程即可．
已知曲线．
求曲线C在点处的切线方程；
求与直线平行的曲线C的切线方程．
【答案】解，
，
求导可得，
切线的斜率为，
所求切线方程为，
设与直线平行的切线的切点为，
则切线的斜率为．
又所求切线与直线平行，
，
解得，
代入可得切点为或，
所求切线方程为或，
即或．
【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数求切线方程，同时考查两直线平行的条件，是一道基础题．
求出导数，即可求出切线的斜率，再求出切点，由点斜式写出直线方程；
设出切点，求出切线的斜率，由两直线平行的条件得，切点的坐标，应用点斜式方程写出切线方程，并化为一般式方程．
已知函数．
求；
求函数图象上的点处的切线方程．
【答案】解：根据导数公式可得．
当时，，
所以切线斜率，
所以函数图象上的点处的切线方程为，
即．
【解析】利用导数公式进行求解即可．
利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程．
本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
已知曲线．
求曲线在点处的切线方程．
求与曲线相切且过点的切线方程．
求斜率为的曲线的切线方程．
【答案】解：，．
显然是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数在点导数．
即．
所以曲线在处的切线方程为，即为；
显然不在曲线上．
则可设过该点的切线的切点为，
那么该切线斜率为．
则切线方程为，
它过点，则，解得，
切线方程为；
由，得．
当时，切线方程为，
当时，切线方程为．
【解析】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．
根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
设出曲线过点Q切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入，求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把Q的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；
设出切点坐标，由切线的斜率为，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．
【讲义答案】导数的几何意义
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
已知函数，则在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属基础题．
由导数的几何意义可得在点处的切线的斜率为，故先求导，再求，转化为倾斜角即可．
【解答】
解：因为，，，
所以在点处的切线的斜率为1，所以倾斜角为．
故选C．
曲线在处的切线如图所示，则
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查导数及其几何意义，是基础题．
由切线经过的两点求得切线的斜率与切线方程，得到，进一步求得，即可求得．
【解答】
解：切线过点与，
，
则切线方程为，取，得，
．
故选C．
曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为
A. B.
C. 和 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查考查导数的几何意义，属于基础题．
求导，由导数的几何意义即可确定P点的坐标．
【解答】
解：因为曲线在P点处的切线平行于直线，
，
由，解得或 ，
即可知点P的坐标为和．
故选C．
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率以及切线的方程，代入，即可求得切点坐标，进而可知切线的斜率．
【解答】
解：设切点坐标为，
，，
切线的斜率是，
切线的方程为，
将代入切线方程可得，，
切线的斜率是，
故选：C．
已知直线与曲线相切于点，则b的值为
A. 3 B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求出函数的导数，由切点是，可得此点处切线的斜率是2，此点处的函数值是3，由此两关系建立两个方程，求出b的值即可．
【解答】
解：由题意，
与曲线相切于点，
，，
解得，．
故选A．
若曲线的切线方程为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，熟练掌握基本方法是解决此类问题的关键．
设出切点，利用导数的几何意义求解．
【解答】
解：设切点为，则，
的导数为，
由切线方程为可得
，，
由可得，，，，
故选D．
设函数，若曲线在点处的切线方程为，则
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，属于基础题．
【解答】
解：因为曲线在点处的切线方程为，所以斜率为，
因为，所以，所以，
故选A．
若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查点到直线的距离公式，导数的运用，属于基础题．
根据题意设出P点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出P点坐标，然后再求点P到直线的最小距离．
【解答】解：设是曲线上到直线距离最小的点，
则曲线在该点处的切线必与已知直线平行．
因为，
令，得，故，
此时P到直线的距离为，
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
曲线在处的切线方程为________．
【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
求导函数，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．
【解答】
解：因为，
所以，
，．
所以曲线在处的切线方程为．
即．
故答案为．
过点的曲线的切线方程为________．
【答案】或
【解析】
【分析】
此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．本题易主观地认为点P即为切点．将它与求曲线上某点处的切线方程混淆．
【解答】
解：设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
切线方程为，
即
点在切线上，
，即，
，
解得或
故所求的切线方程为或．
故答案为，或．
已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为______
【答案】
【解析】解：设切点为，
函数的导数为，
可得切线的斜率为，
由切线过原点，可得，
解得，，
则切线方程为．
故答案为：．
设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，n，进而得到所求切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
曲线过原点的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究曲线某点切线方程，设切点为，对求导得，，从而可得与相切的直线方程，代入得，即可得结果．
【解答】
解：对求导得，，
设切点为，
所以与相切的直线方程，
化简得，
代入得，
所以过原点与相切的直线方程为．
故答案为．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
已知函数，，；
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求在处的切线方程．
【答案】解：Ⅰ，
根据题意有：
，
，
由解有，
所以的解析式是；
Ⅱ由Ⅰ得，
在处的切线的斜率，
所以有即，
故所求切线的方程为．
【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，属于简单题．
Ⅰ求出导函数，利用，列出方程，求解即可．
Ⅱ求出导函数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程．
已知曲线．
求曲线在点处的切线l的方程
求与曲线相切，并过点的直线方程．
【答案】解：因为，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
切线方程是，
即
因为点不在曲线上，
所以可设切点为，则有，
又由，知，所以所求的直线的斜率为，
所以切线方程为，
又，，所以，
故切线方程为．
【解析】本题主要考查导数的概念与导数的几何意义，直线方程的一般式．
利用导数的概念与几何意义，即可得；
利用导数的几何意义，注意点不在曲线上，即可得．
已知圆M过点，，且圆心M在上．
求圆M的方程；
求过点且与圆M相切的直线方程；
设P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积S的最小值．
【答案】解：设圆M的方程为：，
根据题意得
解得：，，
故所求圆M的方程为：；
当直线斜率存在时，
设过点且与圆M相切的直线方程为，
则圆心到切线的距离等半径，
即，
解得，此时直线为
当直线斜率不存在时，过点且与圆M相切的直线方程为，满足题意
综上过点且与圆M相切的直线方程为或．
由题知，四边形PAMB的面积为
．
又，，所以，
而，
即．
因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点P，使得的值最小，
所以，
所以四边形PAMB面积的最小值为．
【解析】本题考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，为中档题．
设出圆的标准方程，利用圆M过两点、且圆心M在直线上，建立方程组，即可求圆M的方程；
根据直线与圆相切则，求圆的切线方程，注意讨论直线斜率是否存在．
四边形PAMB的面积为，因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点P，使得的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
第6页，共24页
一、单项选择题
已知函数，则在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
曲线在处的切线如图所示，则
A. 0 B. C. 1 D.
曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为
A. B.
C. 和 D.
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
已知直线与曲线相切于点，则b的值为
A. 3 B. C. 5 D.
若曲线的切线方程为，则
A. B. C. D.
设函数，若曲线在点处的切线方程为，则
A. 0 B. C. 1 D. 2
若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为
A. 1 B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
曲线在处的切线方程为________．
过点的曲线的切线方程为________．
已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为______
曲线过原点的切线方程为______．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
已知函数，，；
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求在处的切线方程．
已知曲线．
求曲线在点处的切线l的方程
求与曲线相切，并过点的直线方程．
已知圆M过点，，且圆心M在上．
求圆M的方程；
求过点且与圆M相切的直线方程；
设P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积S的最小值．
【巩固练习】导数的几何意义
导数的几何意义
函数在点处的切线方程为
A. B. C. D.
设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A. B. C. D.
已知函数在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
曲线在点处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
已知直线是的切线，则k的值是
A. e B. C. D.
曲线在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
若曲线在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为
A. B. C. D.
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
曲线在点处的切线方程为______．
曲线在点处的切线的倾斜角为______ ．
已知函数的图象在点处的切线方程为，则______；______．
曲线在处的切线方程为______．
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求经过点的曲线的切线方程．
已知函数
求这个函数的导数
求这个函数的图象在处的切线方程．
已知曲线．
求曲线C在点处的切线方程；
求与直线平行的曲线C的切线方程．
已知函数．
求；
求函数图象上的点处的切线方程．
已知曲线．
求曲线在点处的切线方程．
求与曲线相切且过点的切线方程．
求斜率为的曲线的切线方程．
【参考答案】
导数的几何意义
函数在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
首先求出函数在处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．
【解答】
解：，
，
，
当时，，即切点为，斜率为4，
故切线方程为，即．
故选B．
设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
解题时，先求函数的导数的范围，即可得曲线切线斜率的取值范围，从而可求出切线的倾斜角的范围．
【解答】
解：因为，
则，
又，
，．
故选B．
已知函数在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．
解题时根据图象和导数的几何意义即可判断．
【解答】
解：由图象可知，当时，函数的增长越来越快，
即在上单调递增，
，a表示，两点连线的斜率，
，
故选B．
曲线在点处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】
解：函数的导数为，
当时，，
即曲线在点处切线的斜率．
故选C．
已知直线是的切线，则k的值是
A. e B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，，
设切点为，得切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为：．
即，，，
．
故选C．
曲线在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
欲求在点处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知，再结合正切函数的值求出角的值即可．
【解答】
解：，切线的斜率．
设直线的倾斜角为，
，
故倾斜角为．
故选B．
若曲线在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：的导数为，
设切点为，则，
可得切线的斜率为，
解得，即．
故选：B．
求得函数的导数，设出切点，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m，n，进而得到切点A的坐标．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解题的关键，属于基础题．
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设切点坐标为，
，，
切线的斜率是，
切线的方程为，
将代入可得，，
切线的斜率是；
故选：C．
设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．
本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．
曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】
解：曲线，可得，
切线的斜率为：．
切线方程为：，即：．
故答案为．
曲线在点处的切线的倾斜角为______ ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了应用导数的几何意义求切线的斜率，以及直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．
先求曲线在点处的导数，根据导数的几何意义是曲线的切线的斜率，就可得到切线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，可求出倾斜角．
【解答】
解：点满足曲线的方程，
点为切点．
，
当时，，
曲线在点处的切线的斜率为1，倾斜角为，
故答案为．
已知函数的图象在点处的切线方程为，则______；______．
【答案】；
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．
求出原函数的导函数，由曲线在处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在处的函数值相等求得b．
【解答】
解：由，得，
由题意可知，即．
又当时，，即，
，即．
故答案为；．
曲线在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了曲线的切线方程，考查导数的几何意义，是基础题．
求出导数，求出切线的斜率，从而求出切线方程即可．
【解答】
解：曲线，
所以，
，
故切线方程是：，
即，
故答案为：．
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求经过点的曲线的切线方程．
【答案】解：函数的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
切点为，
即有曲线在点处的切线方程为，
即为；
设切点为，可得，
由的导数，
可得切线的斜率为，
切线的方程为，
由切线经过点，可得
，
化为，解得或1．
则切线的方程为或，
即为或．
【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，正确求导是解题的关键，属于基础题和易错题．
求出的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；
设切点为，代入，求得切线的斜率和方程，代入点，解m的方程可得或1，即可得到所求切线的方程．
已知函数．
求这个函数的导数
求这个函数的图象在处的切线方程．
【答案】解：，
．
由得，
又，
，
这个函数的图象在点处的切线方程：，
即．
【解析】本题考查了导数的运算，考查切线方程问题，是一道基础题．
根据导数的运算法则求出函数的导数即可；
计算，，求出切线方程即可．
已知曲线．
求曲线C在点处的切线方程；
求与直线平行的曲线C的切线方程．
【答案】解，
，
求导可得，
切线的斜率为，
所求切线方程为，
设与直线平行的切线的切点为，
则切线的斜率为．
又所求切线与直线平行，
，
解得，
代入可得切点为或，
所求切线方程为或，
即或．
【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数求切线方程，同时考查两直线平行的条件，是一道基础题．
求出导数，即可求出切线的斜率，再求出切点，由点斜式写出直线方程；
设出切点，求出切线的斜率，由两直线平行的条件得，切点的坐标，应用点斜式方程写出切线方程，并化为一般式方程．
已知函数．
求；
求函数图象上的点处的切线方程．
【答案】解：根据导数公式可得．
当时，，
所以切线斜率，
所以函数图象上的点处的切线方程为，
即．
【解析】利用导数公式进行求解即可．
利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程．
本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
已知曲线．
求曲线在点处的切线方程．
求与曲线相切且过点的切线方程．
求斜率为的曲线的切线方程．
【答案】解：，．
显然是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数在点导数．
即．
所以曲线在处的切线方程为，即为；
显然不在曲线上．
则可设过该点的切线的切点为，
那么该切线斜率为．
则切线方程为，
它过点，则，解得，
切线方程为；
由，得．
当时，切线方程为，
当时，切线方程为．
【解析】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．
根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
设出曲线过点Q切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入，求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把Q的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；
设出切点坐标，由切线的斜率为，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．
【讲义答案】导数的几何意义
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
已知函数，则在点处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属基础题．
由导数的几何意义可得在点处的切线的斜率为，故先求导，再求，转化为倾斜角即可．
【解答】
解：因为，，，
所以在点处的切线的斜率为1，所以倾斜角为．
故选C．
曲线在处的切线如图所示，则
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查导数及其几何意义，是基础题．
由切线经过的两点求得切线的斜率与切线方程，得到，进一步求得，即可求得．
【解答】
解：切线过点与，
，
则切线方程为，取，得，
．
故选C．
曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为
A. B.
C. 和 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查考查导数的几何意义，属于基础题．
求导，由导数的几何意义即可确定P点的坐标．
【解答】
解：因为曲线在P点处的切线平行于直线，
，
由，解得或 ，
即可知点P的坐标为和．
故选C．
已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A. e B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率以及切线的方程，代入，即可求得切点坐标，进而可知切线的斜率．
【解答】
解：设切点坐标为，
，，
切线的斜率是，
切线的方程为，
将代入切线方程可得，，
切线的斜率是，
故选：C．
已知直线与曲线相切于点，则b的值为
A. 3 B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求出函数的导数，由切点是，可得此点处切线的斜率是2，此点处的函数值是3，由此两关系建立两个方程，求出b的值即可．
【解答】
解：由题意，
与曲线相切于点，
，，
解得，．
故选A．
若曲线的切线方程为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，熟练掌握基本方法是解决此类问题的关键．
设出切点，利用导数的几何意义求解．
【解答】
解：设切点为，则，
的导数为，
由切线方程为可得
，，
由可得，，，，
故选D．
设函数，若曲线在点处的切线方程为，则
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，属于基础题．
【解答】
解：因为曲线在点处的切线方程为，所以斜率为，
因为，所以，所以，
故选A．
若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查点到直线的距离公式，导数的运用，属于基础题．
根据题意设出P点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出P点坐标，然后再求点P到直线的最小距离．
【解答】解：设是曲线上到直线距离最小的点，
则曲线在该点处的切线必与已知直线平行．
因为，
令，得，故，
此时P到直线的距离为，
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
曲线在处的切线方程为________．
【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
求导函数，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．
【解答】
解：因为，
所以，
，．
所以曲线在处的切线方程为．
即．
故答案为．
过点的曲线的切线方程为________．
【答案】或
【解析】
【分析】
此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．本题易主观地认为点P即为切点．将它与求曲线上某点处的切线方程混淆．
【解答】
解：设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
切线方程为，
即
点在切线上，
，即，
，
解得或
故所求的切线方程为或．
故答案为，或．
已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为______
【答案】
【解析】解：设切点为，
函数的导数为，
可得切线的斜率为，
由切线过原点，可得，
解得，，
则切线方程为．
故答案为：．
设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，n，进而得到所求切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
曲线过原点的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究曲线某点切线方程，设切点为，对求导得，，从而可得与相切的直线方程，代入得，即可得结果．
【解答】
解：对求导得，，
设切点为，
所以与相切的直线方程，
化简得，
代入得，
所以过原点与相切的直线方程为．
故答案为．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
已知函数，，；
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求在处的切线方程．
【答案】解：Ⅰ，
根据题意有：
，
，
由解有，
所以的解析式是；
Ⅱ由Ⅰ得，
在处的切线的斜率，
所以有即，
故所求切线的方程为．
【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，属于简单题．
Ⅰ求出导函数，利用，列出方程，求解即可．
Ⅱ求出导函数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程．
已知曲线．
求曲线在点处的切线l的方程
求与曲线相切，并过点的直线方程．
【答案】解：因为，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
切线方程是，
即
因为点不在曲线上，
所以可设切点为，则有，
又由，知，所以所求的直线的斜率为，
所以切线方程为，
又，，所以，
故切线方程为．
【解析】本题主要考查导数的概念与导数的几何意义，直线方程的一般式．
利用导数的概念与几何意义，即可得；
利用导数的几何意义，注意点不在曲线上，即可得．
已知圆M过点，，且圆心M在上．
求圆M的方程；
求过点且与圆M相切的直线方程；
设P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积S的最小值．
【答案】解：设圆M的方程为：，
根据题意得
解得：，，
故所求圆M的方程为：；
当直线斜率存在时，
设过点且与圆M相切的直线方程为，
则圆心到切线的距离等半径，
即，
解得，此时直线为
当直线斜率不存在时，过点且与圆M相切的直线方程为，满足题意
综上过点且与圆M相切的直线方程为或．
由题知，四边形PAMB的面积为
．
又，，所以，
而，
即．
因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点P，使得的值最小，
所以，
所以四边形PAMB面积的最小值为．
【解析】本题考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，为中档题．
设出圆的标准方程，利用圆M过两点、且圆心M在直线上，建立方程组，即可求圆M的方程；
根据直线与圆相切则，求圆的切线方程，注意讨论直线斜率是否存在．
四边形PAMB的面积为，因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点P，使得的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
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