8.6.3平面与平面垂直（第一课时）同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word含解析）

8.6.3 平面与平面垂直（第一课时）（同步训练）
1.直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
2.(2021年合肥调研)从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．互为余角 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角
3.(多选)已知l⊥平面α，直线m 平面β，则下列命题正确的有(　　)
A．α∥β l⊥m B．α⊥β l∥m
C．l∥m α⊥β D．l⊥m α∥β
4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)
A．60° B．30° C．45° D．15°
5.(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是(　　)
A．平面EFG∥平面PBC B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
6.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
7.已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD
8.(2021年河南模拟)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　)
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
9.若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________
10.以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________
11.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．
12.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.
13.如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，D为AC的中点．求证：平面POD⊥平面PAC.
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)求点D到平面PBC的距离．
15.在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为.
(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；
(2)若M是AB的中点，求三棱锥A－MCD的体积．
参考答案：
1.C　 解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直．故选C.
2.D　
解析：画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角．故选D.
3.AC　
解析：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β.故C正确．
4.C　
解析：由条件得PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.故选C.
5.ABC　
解析：A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
6.C　
解析：如图，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.
7.B　
解析：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC.又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC.因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.又BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.
8.D　
解析：反例：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D－AA1－E与二面角B1－AB－D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故选D.
9.答案:90°　
解析：取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
10.答案:60°　
解析：如图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥DC，∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°.设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，所以△ABC是等边三角形，所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°.
11.答案:5　
解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB.又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD.所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
12.证明：∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴BD⊥PA.
又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
13.证明：如图，连接OC，CB.因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面ABC，AC 底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD∩PO＝O，所以AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
14.解：(1)证明：由已知得AC＝＝，BC＝＝，AB＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)由(1)得BC⊥平面PAC，BC⊥AC，BC＝，PC＝＝，
设点D到平面PBC的距离为d，
因为VP－BCD＝VD－PBC，所以××DC×AD×PA＝××PC×BC×d，
所以××1×1×1＝××××d，解得d＝，
所以点D到平面PBC的距离为.
15.(1)证明：在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，由已知可知AD＝5，OA＝4，∴OD＝3.翻折后，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝25＋25－2×5×5×＝32.
在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
又AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD.
又AO 平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.
(2)解：∵M是AB的中点，∴A，B到平面MCD的距离相等．
∴VA－MCD＝VB－MCD＝VA－BCD＝S△BCD·AO＝8.