8.6.2直线与平面垂直同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word含解析）

8.6.2 直线与平面垂直（同步训练）
1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
2.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α∥β，且m α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n β D．m⊥n，且n∥β
3.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A．有且只有一个　 B．至多一个
C．有一个或无数个　 D．不存在
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　)
A．　　　　B．　　　　
C．　　　　D．
5.已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(　　)
A．40° B．50°
C．90° D．150°
6.(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
7.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　)
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
8.(多选)如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
9.(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是(　　)
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
10.若a，b表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；④a⊥α，b⊥α a∥b.其中正确的命题为________(填序号)．
11.如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
12.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________
13.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________
14.如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
15.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
16.如图所示，三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．
17.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
18.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
参考答案：
1.B　
解析：一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．
2.B　
解析：A中，由α∥β，且m α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
3.B　 解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
4.B　
解析：如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O.由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．设D到平面ACD1的距离为d，DD1与平面ACD1所成的角为θ.由VD－ACD1＝VD1－ACD得××()2·d＝×1×1××1，解得d＝.所以sin θ＝＝.
5.B　 解析：根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.
6.ABD　
解析：PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正确；
BC⊥平面PAB BC⊥PB.故A正确；同理B正确；C不正确．
7.C　
解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC.又BD，AC异面，故选C.
8.ABC　
解析：由于BD∥B1D1，BD 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以A正确；因为BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD，所以B正确；可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正确；由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以D错误．
9.ABC　
解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断错误．
10.答案：①④　
解析：由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．
11.答案：4　
解析： BC⊥平面PAC BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
12.答案：　
解析：连接EF，根据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角．设BC＝2，则BF＝1，BE＝，∴sin ∠BEF＝＝.
13.答案：13　
解析：如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，∴ED＝＝13.
14.答案：4　
解析：因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD，故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．
15.证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE. 又AE 平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE 平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF 平面BCE，BC 平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.
又BE 平面BCE，∴AE⊥BE.
16.解：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.
如图所示，取BC的中点D，
连接AD，SD，则AD⊥BC. 设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，AD＝＝a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
17.解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.
又∵AB1 平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
∴sin∠A1DA＝＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
18.证明：(1)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
又∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C.∴AA1⊥C1D.
又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于F，连接C1F，
则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
∵AA1＝A1B1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点．
∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.