17.2 勾股定理的逆定理同步课时训练（含解析）

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人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 同步课时训练
一、选择题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．4，5，6 C．1.8，2.4，3 D．32，42，52
2．已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（）
A．，， B．
C． D．
3．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，，，．则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．在中，已知，AD是的角平分线，于点E．若 的面积为S，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．9
二、填空题
9．杜老师要画一个三角形，画好后量得三边长分别为7cm，24cm和25cm，则这个三角形_______（填“是”或“不是”）直角三角形．
10．已知，如图，，，，，，则四边形的面积是______．
11．边长为整数，且周长等于12的三角形的面积为______．
12．在△ABC 中，若，则最长边上的高为_____．
13．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．
14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．
15．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
16．如图，的周长为36cm，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，的面积为______．
三、解答题
17．如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积．
18．如图，△ABC的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
(1)△ABC的面积为 ；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
19．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．
(1)若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．
21．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
(1)求修建的公路CD的长；
(2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
22．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．
(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．
(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；
(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
运用勾股定理逆定理验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断直角三角形．
【详解】
解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
题目主要考查勾股定理逆定理，理解题意，熟练掌握运用勾股定理逆定理是解题关键．
2．D
【解析】
【分析】
依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论．
【详解】
解：A.由，，可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
B.由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
C.由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
D.由可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，能判定△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论．
【详解】
解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
先利用勾股定理分别求解 再证明从而可得答案.
【详解】
解：如图，连接
由勾股定理得：
故选C
【点睛】
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键.
5．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理，求出∠ACD=90°，进而得出答案．
【详解】
如图，连接AC，
∵，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2=
=
=8
∵，
AD2+AC2
=8+1
=9
而CD2=32=9
∴AD2+AC2=CD2
∴∠CAD=90°，
∠D+∠ACD=90°
∵，
∴∠BAC=∠ACB=45°
∵
∴∠ACD=90°-
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD
=45°+（90°-）
=135°-α
故选D
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是求出△ACD是直角三角形．
6．A
【解析】
【分析】
将原式整理得出，计算出，判断出为直角三角形，即可求出．
【详解】
解：，
，
，
，
又，
，
为直角三角形，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出的值．
7．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，再根据AAS得出，从而得出的面积=的面积和BE的长，继而得出的面积和的面积比，即可得出答案
【详解】
解：∵，
设AC=5k，BC=12k，AB=13k，
∴AC2+BC2=AB2
∴为直角三角形，∠C=90°，
∵AD是的角平分线，，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，
∵AD=AD，
∴，
∴，AE=AC=5k，
∴BE=13k-5k=8k，
∵和同高，
∴，
∵ 的面积为S，
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，根据同高得出是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证明，推出；设，证明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案．
【详解】
解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，
∵在三角形，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
设∠BFE=x，则，
∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，
∴AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，
∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
，，
∴，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
9．是
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理进行求解即可．
【详解】
解：∵三边长分别为7cm，24cm和25cm，，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：是．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
10．36
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出∠ADB=90°，根据三角形的面积公式求出△BCD和△ABD的面积即可．
【详解】
解：连接BD，
∵∠C=90°，CD=3，BC=4，
∴BD==5，
∵AB=13，AD=12，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD==36，
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用；解此题的关键是求出∠ADB=90°，难度适中．
11．或6或
【解析】
【分析】
根据三角形的周长公式、三角形的三边关系定理可得三边长可以为、、三种情况，再分别利用等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式求解即可得．
【详解】
边长为整数，且周长为12的三角形有以下三种情况：
①如图，，，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
③如图，，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，边长为整数，且周长等于12的三角形的面积为或6或，
故答案为：或6或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
12．
【解析】
【分析】
解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵，
将两个方程相加得：，
∵a＞0，
∴a=4
代入得：，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，
，
即：，
解得：CD=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
13．直角三角形或等腰三角形
【解析】
【分析】
将a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．
【详解】
解答：解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，
∴（a2＋b2）（a2 b2） c2（a2 b2）＝0
∴（a2 b2）（a2＋b2 c2）＝0
∴a2 b2＝0或a2＋b2 c2＝0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：直角三角形或等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查学生对因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力，关键是对等式进行合理的因式分解．
14．45°
【解析】
【分析】
取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．
【详解】
解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：
∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA =2 +4 =20，QB =2 +1 =5，AB =5 =25，
∴QA +QB =20+5=25=AB ，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ =2 +1 =5=QB ，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
15．17，144，145
【解析】
【分析】
由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】
解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1，
所以有，解得，，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】
本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．
16．18
【解析】
【分析】
根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；
【详解】
解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，
由题意得：3x+4x+5x=36，
解得：x=3，
则AB=3x=9，BC=4x=12，AC=5x=15，
∵AB2+BC2=92+122=225，AC2=152=225，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90°，
当t=3时，AP=3cm，BQ=6cm，
则BP=9-3=6cm，
∴．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理．能正确判断△BPQ为直角三角形
17．96m2
【解析】
【分析】
连接AC，根据勾股定理求AC，根据AC，AD，CD判定△ACD为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【详解】
解：连接AC，
因为∠B＝90°，
所以，m，
∵AC＝10 m 又CD＝24 m ，AD＝26 m
∴AC2+CD2＝AD2
所以△ACD是直角三角形
所以S四边形ABCD＝﹣
S四边形ABCD＝﹣
＝120﹣24
＝96（m2）
答：该草坪的面积为96m2．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形是解题的关键．
18．(1)5
(2)△ABC是直角三角形．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据△ABC的面积等于矩形的面积减去三个小三角形的面积解答即可；
（2）根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
(1)
解：S△ABC=4×4 ×1×2 ×2×4 ×4×3
=5，
故答案为：5；
(2)
解：由勾股定理得：AB==，AC==，BC==5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
19．(1)证明见详解（1）
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理判定三角形的三边关系；
（2）把四边形的面积分成两个三角形的面积作答．
(1)
解：
∴△ABC是直角三角形，由勾股定理得：AC2=AB2＋BC2；
∴AC==2，
AD2=8，CD2=4，AC2=4，
AD2=AC2＋CD2,
∴△ACD是直角三角形；
(2)
解：SABCD=S△ABC＋S△ACD，
S△ABC==，S△ACD=，
∴SABCD=，
答：四边形的面积是：．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理，多边形的面积计算；直角三角形的三边满足勾股数，三边满足勾股数的三角形是直角三角形，多边形的面积可以分成多个三角形的面积计算．
20．(1)AB⊥BD，理由见解析
(2)62°
【解析】
【分析】
（1）根据AB=AC得到AB，再根据AD，BD的长，利用勾股定理的逆定理证明∠ABD=90°，即可得解；
（2）利用三角形内角和求出∠C，根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形外角的性质得到结果．
(1)
解：∵AB＝AC，AC=8，
∴AB=8，
∵AD=17，BD=15，
∴，即，
∴∠ABD=90°，即AB⊥BD；
(2)
∵∠D=28°，∠DBC=121°，
∴∠C=180°-28°-121°=31°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=31°，
∴∠DAB=∠C+∠ABC=62°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练利用等腰三角形的性质得到相等的角．
21．(1)修建的公路CD的长是12km；
(2)一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB=90°，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
(1)
解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∵AC×BC=AB×CD，
∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
(2)
解：在Rt△BDC中，BD= =16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理求解．
22．(1)△AOB是直角三角形，证明见解析
(2)P (，0)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）作BD⊥OA于D，设PA=x，则BP=x+1，利用面解法求出BE的长，在Rt△BEP中利用勾股定理求出x的值即可求解；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长．
(1)
解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：
∵A（5，0），
∴OA=5，
∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，
∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；
(2)
解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1，
∵S△AOB＝BO AB＝OA BE，
∴，
∴OE=，
∴PE=5--x=-x，
在Rt△BEP中，
(x+1)2=(-x)2+()2，
解得x=
∴OP=5-=，
∴P(，0)；
(3)
解：如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
在△HOC和△OBD中
，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长，
分别过点B，H作BE⊥x轴于E，HF⊥x轴于F，则OB=OH=3，
∵S△AOB＝BO AB＝OA BE，
∴，
∴，
∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°，
∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°，
∴∠OHF=∠BOE，
在△OHF与△BOE中，
，
∴△OHF≌△BOE（AAS），
∴OF=BE=，HF=OE=，
∵H在第二象限，
∴H（-，）；
∴，
即AC+OD有最小值为．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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