18.1.1 平行四边形的性质 同步课时练习（解析版）

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人教版2022年八年级下册18.1.1 平行四边形的性质 同步课时练习
一、选择题
1．如图，在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD
3．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A． B． C．8 D．10
4．平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且，则边AB的长度是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm
5．在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（　　）
A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm
6．平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（ ）．
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，则边AB的长可以是（ ）
A．1 B．8 C．10 D．12
8．如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，直线a∥b，A是直线a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段________的长就是a、b之间的距离．
10．已知平行四边形中，比小40°，那么的度数是______．
11．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，则的大小____________．
12．如图，在口ABCD中，，，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为______．
13．如图，中，，相交于点，若，，则的周长为 __．
14．如图，已知平行四边形ABCD的周长为80，两边上的高，，则平行四边形ABCD的面积是______．
15．如图，平行四边形ABCD，AD＝5，AB＝8，点A的坐标为（－3，0）点C的坐标为______．
16．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，CD＝10，AE＝4，则EF＝_____．
三、解答题
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．
18．如图， ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF．
19．如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：DE＝BF．
20．已知：如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：．
21．如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
22．已知如图，在 ABCD中，点F是 ABCD内一点，AB⊥BF，AB＝BF，过点F作FE⊥AD，垂足为点E．
(1)如图1，若BF＝3EF＝6，求四边形ABFE的面积；
(2)如图2，连接BE、CE，若BE＝CE，求证：AE+EF＝BC．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可知．再结合题意即可求出的大小．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，故A正确；
∴，故B正确；
∴AD＝BC，故C正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
连接EF，AE交BF于O点，由作法得AB=AF，AE平分∠BAD，即∠BAE=∠DAE，可得到AE⊥BF，BO=OF=3，再根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，可证得AO=OE，最后利用勾股定理计算出OA，从而得到AE的长．
【详解】
解：连接EF，设AE交BF于O点，如图，
由作法得AB=AF，AE平分∠BAD，即∠BAE=∠DAE，
∴AE⊥BF，，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
又∵BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，，
∴AE=2OA=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
分点E在边AD上和AD的延长线上两种情况讨论，设AE＝AB＝3k，DE＝2k，利用AB+AD=8列方程求解．
【详解】
如图所示：
①当点E在线段AD上时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵，
设AE＝AB＝3k，DE＝2k，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴AB＋AD＝8，
∴3k＋5k＝8，
k＝1，
∴AB＝3cm．
②当点E在AD的延长线上时，
同理可证AB＝AE＝3k，DE＝2k，
∵AB＋AD＝8，
∴3k＋k＝8，
∴k＝2，
∴AB＝6cm，
综上所述，AB的长为3cm或6cm．
故选D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解决问题的关键是利用平行四边形的性质结合比例列方程求解．
5．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AO＝COAC，BO＝DOBD，求得BO+COACBD（AC+BD），根据三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝COAC，BO＝DOBD，
∴BO+COACBD（AC+BD），
∵△BOC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，
∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm），
∴AC+BD＝2×8＝16（cm），
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形的周长公式，能够熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和平行四边形的性质进行推理证明即可．
【详解】
如图：
，，，，
∴共4对全等三角形，
∵平行四边形ABCD，
∴，，
∴在和中，
∴（SAS），
同理，
∵平行四边形ABCD，
∴，，
∴在和中，
∴（SSS），
同理，
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质和全等三角形的判定定理进行推理证明．
7．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质求出OA和OB，在△AOB中，根据三角形三边关系即可得出AB的取值范围，进一步可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=8，BD=10，
∴OA=OC=4，OB=OD=5，
在△AOB中，由三角形三边关系定理得：5-4＜AB＜5+4，
即1＜AB＜9，
所以，只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
8．B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，证出△AOE和△COF全等，△AOB和△COD全等，得到面积相等，即可得到选项．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
在△COB和△AOD中，
，
∴△COB≌△AOD（SAS），
∴S△AOD＝S△BOC，
同理S△AOB＝S△DOC
∵OB＝OD，
∴S△AOB＝S△DOC，
∴阴影部分的面积是S△AOE+S△DOF＝S△DOC＝S平行四边形ABCD．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明△AOE≌△COF．
9．AB
【解析】
略
10．##70度
【解析】
【分析】
根据平行四边形邻角互补，对角相等的性质，通过角的等量代换运算即可．
【详解】
解：∵是平行四边形
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键．
11．120°##120度
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明∠AEB=∠ABE，由∠BED=150°，得到∠ABE=∠AEB=30°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
12．3
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD，CE平分，可得，利用等角对等边得出，结合图形中线段间的数量关系即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵CE平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
13．8
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形周长的定义，结合图形求出三角形的三边之和．灵活应用平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解决本题的关键．
14．75
【解析】
【分析】
根据周长求得，然后根据平行四边形的面积等于2个三角形的面积和，根据平行四边形的性质可得，进而求得的长，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
如图，连接，
∵，∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，求得的长是解题的关键．
15．（8，4）
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．
【详解】
解：∵点A的坐标为（－3，0），
在Rt△ADO中，AD＝5， AO=3，，
∴OD==，
∴D(0，4)，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=8，AB∥CD，
∵AB在x轴上，
∴CD∥x轴，
∴C、D两点的纵坐标相同，
∴C(8，4) ．
故答案为（8，4）．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，勾股定理，平行x轴两点坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
16．6
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
，，
，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
17．见解析
【解析】
【分析】
可证明△ABE≌△CDF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△CDF中 ，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴BE＝DF．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
18．见详解
【解析】
【分析】
由已知条件易得AB∥CD，AB=DC，得出∠BAE=∠CFE，根据点E是BC的中点，得出BE=CE，再证△ABE≌△FCE（AAS）即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠CFE，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FEC，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB=FC，
∴DC=CF．
【点睛】
熟悉平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质掌握是平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质解题的关键．
19．见解析
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质得∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，再根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，再根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，证明两个三角形全等是得出线段相等的主要途径.
20．见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质证得，推出∠DAC=∠ACB，根据SAS证明△ADF≌△CBE，推出∠AFD=∠BEC，即可得到结论．
【详解】
证明：在中，，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AF＝CE．
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD=∠BEC，
∴．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)9
【解析】
【分析】
（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可证明△AOE≌△COF得到OE=OF；
（2）由（1）得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，即可利用平行四边形面积公式求解．
(1)
解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
(2)
解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，
∵四边形ABCD的面积为63，
∴，
∴AD=9．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
22．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求出AF、AE的长度，再根据四边形ABFE的面积=计算即可；
（2）延长EF交BC于G，过B作BH⊥AD于H，先证明BE平分，再证全等，可得到EF=ED，即可证明.
(1)
∵BF＝3EF＝6
∴AB＝BF=6，EF=2
∵AB⊥BF
∴
∵FE⊥AD
∴
四边形ABFE的面积=
=
=
=
(2)
延长EF交BC于G，过B作BH⊥AD于H
∵ ABCD
∴BC=AD，AB=CD=BF，BC∥AD，
∵BC∥AD，FE⊥AD
∴FE⊥BC
∵FE⊥AD，AB⊥BF
∴
∴,
在△ABH和△BFG中
∴
∴
∴BE平分
∴
∵BE＝CE
∴
∴
在△BEF和△CED中
∴
∴EF=ED
∵BC=AD=AE+ED
∴AE+EF＝BC
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据模型“对角互补四边形”证明BE平分.
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