18.1.2 平行四边形的判定 同步课时练习（解析版）

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人教版2022年八年级下册18.1.2 平行四边形的判定 同步课时练习
一、选择题
1．下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2：3：2：3 D．2：3：3：2
2．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的（ ）
A．中线 B．中垂线 C．中位线 D．中间线
3．如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD=BC D．AD∥BC，AD=BC
4．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（　　）
A．12m B．10m C．9m D．8m
5． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
6．下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．如图，在中，，点，，分别是三边的中点，且，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
二、填空题
9．四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个 条件即可）．
10．中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD是平行四边形．
11．如图，在中，点D、E、F分别是各边的中点，若的面积为，则的面积是_______．
12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝12cm，△OAB的周长是10cm，则EF＝______cm．
三、解答题
13．如图，E、F分别为的边BC、AB的中点，延长EF至点D，使得，连接DA、DB、AE.求证：四边形ACED是平行四边形．
14．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
15．已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若BC＝BD，求BF的长．
17．如图，在平行四边形中，点E，F分别是边，的中点．
(1)求证：；
(2)若四边形的周长为10，，，求平行四边形的周长．
18．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长．
19．已知，如图在中，对角线和相交于点，点，分别在，上，且，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点，延长交于点．求证：．
20．四边形ABCD，AD∥BC，∠ABC＝∠D．
（1）如图（1），求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）如图（2），过A，C两点分别作AE⊥BC，CF⊥AD，E，F为垂足．求证：BE＝DF；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点G在AC上，点H为四边形ABCD所在平面内一点，∠BHG＝∠D＝60°，∠AHG＝30°，∠ACB＝2∠AGH，BC＝8，AG＝5，求AF长．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故只有选项C能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对边相等，故不能判定．
【详解】
解：A、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则能判定是平行四边形，故本选项符合题意；
D、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据中位线定义连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线即可得解．
【详解】
解：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
故选择C．
【点睛】
本题考查中位线概念，熟记中位线概念是解题关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】
解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
4．D
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，解答即可．
【详解】
解：∵点A、点B分别是CD、DE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB=DE=8(m)，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【详解】
如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【详解】
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
7．A
【解析】
【分析】
如图，连接，由题意知是的中位线，证明，有，进而可求的长．
【详解】
解：如图，连接
由题意知是的中位线
∴
∴
在和中
∵
∴
∴
∴cm
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质，三角形全等．解题的关键在于对知识熟练掌握．
8．B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．
【详解】
解：，
，
，
，
∴a=b，c=d，
∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，
∴c、d是对边，
∴该四边形是平行四边形，
故选：B．
【点睛】
此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．
9．AD=BC
【解析】
略
10．6
【解析】
略
11．4
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理判定四边形BEFD是平行四边形，然后可证明△BDE≌△FED，同理可证：△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，从而这四个三角形彼此全等，它们的面积也相等，所以可求得△DEF的面积．
【详解】
解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF//BC，DF＝BC，
∴DF//BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理、三角形全等的判定等知识，做题的关键是证△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED．
12．2
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到，求出OA+OB的值，由△OAB的周长求出AB，根据三角形中位线的性质求出EF的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵AC+BD＝12cm，
∴，
∵△OAB的周长是10cm，
∴OA+OB+AB=10cm，
∴AB=4cm，
∵点E、F分别是线段AO，BO的中点，
∴，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线是判定及性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
13．见解析
【解析】
【分析】
由已知可得：EF是△ABC的中位线，则可得EFAC，EF=AC，又由DF=EF，易得AC=DE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ACED是平行四边形；
【详解】
证明：∵E、F分别为△ABC的边BC、BA的中点，
∴EFAC，EF=AC，
∵DF=EF，
∴EF=DE，
∴AC=DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）、解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
14．见解析
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
【详解】
证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
15．证明见解析
【解析】
【分析】
由题意知 ，，∠ODF＝∠OBE，证明△DOF≌△BOE（AAS），有DF＝BE，AF＝EC，进而可说明四边形AECF为平行四边形．
【详解】
证明：由题意知 ，
∴∠ODF＝∠OBE
在△DOF和△BOE中
∵
∴△DOF≌△BOE（AAS）
∴DF＝BE
∴AD﹣DF＝BC﹣BE
即AF＝EC
∴四边形AECF为平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活运用．
16．(1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）根据同旁内角互补，两直线平行得出∥，从而得出，再证明，得出，从而证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出的长，从而得出的长，再用勾股定理先求出的长，再求出的长．
(1)
证明：∵，
∴，
∴∥，
∴，
∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴，
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)
解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，，
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用是解答此题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)12
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得出，，．再根据点E，F分别是边AD，BC的中点，即可证明，由此易证，即得出结论；
（2）由平行四边形的性质可得出，又因为，即判定四边形AFCE为平行四边形．根据题意四边形AFCE的周长为10，即可求出的长，从而可求出BC的长，最后即可直接求出平行四边形ABCD的周长．
(1)
证明，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，．
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
(2)
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，即．
由（1）可知，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∵四边形AFCE的周长为10，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD的周长．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握平行四边形和三角形全等的判定方法是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据勾股定理得到CG＝AG＝，由∠B＝30°得到．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到，即可得到结论．
(1)
证明：∵ABCE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
(2)
解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB＝45°，
∴，
在△ACG中，∠AGC＝90°，
∴，
∵，
∴CG＝AG＝ ，
∵∠B＝30°,
∴ ,
∴ ,
在Rt△BCG中， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)由平行四边形的性质可得，则，由即可证明；
(2)由(1)可得，则，，四边形是平行四边形，可得．
(1)
∵为平行四边形，
∴， ，，
∴，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)
∵是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行四边形，全等三角形和平行线的判定和性质是解题的关键．
20．（1）证明见见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据两对边分别平行证四边形为平行四边形即可；
（2）根据AAS证△ABE≌△CDF，即可得证结论；
（3）延长HG交BC延长线于点P，延长BA至点Q，使AQ＝AG，连接HQ，在HG上截取HR＝HB，连接RB，证△HAQ≌△HAG，△BHQ≌△BRP，得出BC+CG＝BA+AG，设CG＝x，则AC＝5+x，AB＝3+x，根据30°所对的直角边是斜边的一半再利用勾股定理求出x＝2，即可求出AF．
【详解】
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）由四边形ABCD为平行四边形，
得AB＝CD，∠ABC＝∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（3）如图（3），延长HG交BC延长线于点P，
延长BA至点Q，使AQ＝AG，延长CA交HQ于点M，
连接HQ，在HG上截取HR＝HB，连接RB，
∵∠BHG＝∠D＝60°，∠AHG＝30°，∠ACB＝2∠AGH，
∴∠MAH＝∠AHG+∠AGH＝30°+∠AGH，
∠MAB＝∠ABC+∠ACB＝60°+2∠AGH，
∴∠MAH＝∠MAB，
即∠MAH＝∠BAH，
又∵∠MAQ＝∠BAC，
∴∠MAH+∠MAQ＝∠BAC+∠BAH，
即∠HAQ＝∠HAG，
又∵AQ＝AG，AH＝AH，
∴△HAQ≌△HAG（SAS），
∴∠QHA＝∠AHG＝30°，∠Q＝∠AGH，
∴∠QHB＝∠QHA+∠AHG+∠BHG＝30°+30°+60°＝120°，
∵HR＝HB，∠BHG＝60°，
∴△BHR是等边三角形，
∴BH＝BR，∠HBR＝60°，
∴∠HBA+∠ABR＝∠ABR+∠RBC＝60°，
∴∠HBA＝∠RBC，
∴△HBQ≌△RBP（ASA），
∴BQ＝BP，∠Q＝∠P，
∵∠AGH＝∠PGC，
∴∠PGC＝∠AGH＝∠P，
∴CG＝CP，
∴BC+CP＝BA+AQ，
即BC+CG＝BA+AG，
设CG＝x，则AC＝5+x，AB＝BQ﹣AQ＝BC+PC﹣AG＝8+x﹣5＝3+x，
∵∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝，CE＝BC﹣BE＝8﹣＝，
由勾股定理得AB2﹣BE2＝AC2﹣EC2，
即（3+x）2﹣（）2＝（5+x）2﹣（）2，
解得x＝2，
∴AF＝EC＝，
即AF的长为．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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