中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 三角形的三条重要线段
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并能够说出三角形的中线的定义、三角形角平分线的定义、三角形高的定义,会画三角形的中线、角平分线、高.
2.了解三角形的三条中线交于一点和三角形重心的意义;了解三角形的三条角平分线交于一点;了解三角形的三条高不一定交于一点.
3.能够根据“等底等高的两个三角形的面积相等”,解决有关三角形的面积问题.
【过程与方法】
通过折纸、画图等实践过程和观察、交流等活动,认识三角形的中线交于一点、三角形的角平分线交于一点,三角形的三条高不一定交于一点.
【情感、态度与价值观】
通过新旧知识的认知冲突,激发学生的求知欲望,树立认识来源于实践,又服务于实践的观点.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形的中线、角平分线、高的定义和性质.
【教学难点】
钝角三角形的高的画法,根据“等底等高的两个三角形的面积相等”判断三角形的面积是否相等.
◇教学过程◇
一、情境导入
课前让同学们准备如图所示的三角形纸片.
某面食店现有一块三角形的油饼(形状如同学们课前准备的三角形纸片),平均分成面积相等的6块给六个小朋友吃,请聪明的同学们,替面工师傅想一想,怎样切 如果是只切三刀,能办到吗
二、合作探究
探究点1 三角形的三条重要线段及其性质
典例1 如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高,角平分线,中线,则下列各式错误的是 ( )
A.AB=2BF B.∠ACE=∠ACB
C.AE=BE D.CD⊥BE
[解析] 因为CD,CE,CF分别是△ABC的高,角平分线,中线,所以CD⊥BE,∠ACE=∠ACB,AB=2BF,但无法确定AE=BE.
[答案] C
(1)中线:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线;
(2)角平分线:在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线;
(3)高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
探究点2 三角形的面积问题
典例2 如图所示,在△ABC中,已知D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=8 cm2,则S△BEF等于 ( )
A.4 cm2 B.3 cm2
C.2 cm2 D.1 cm2
[解析] 因为D是BC的中点,所以S△ABD=S△ACD=S△ABC.因为E是AD的中点,所以S△ABE=S△ABD,S△ACE=S△ADC,所以S△ABE+S△ACE=S△ABC=×8=4(cm2),所以S△BCE=S△ABC=4(cm2).因为F是CE的中点,所以S△BEF=S△BCE=×4=2(cm2).
[答案] C
【技巧点拨】根据三角形的面积公式S=ah,所以“等底等高的两个三角形的面积相等”,所以“三角形的中线把三角形分成了两个面积相等的三角形”,以上就是解决这类问题的根据.另外有时还会用到“两个相等的面积,都加上或减去相等的一部分,结果还是相等的”,这其实是运用了等式的基本性质.
变式训练 如图,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,连接BE,CE.若△ABC的面积是8,则阴影部分的面积为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
[答案] B
三、板书设计
三角形的三条重要线段
◇教学反思◇
重视情境创设,激发学生学习的兴趣.通过把一个一般的三角形油饼等分成六部分,这种既具有趣味性、又具有实践性的问题,激发了学生的学习兴趣,同时使学生感受到数学的实际应用.学生是学习的主人,要让学生愿意并且主动参与到学习中,必须创设生活化的现实情境.所以这节课设计了教学情境引入,让学生在现实情境中体验和理解数学,激发学生学习数学的兴趣.
重视学生的课堂参与,让学生在活动中自主探究以及与同伴交流,有条理地进行思考和表达思考的过程,获得分析问题的经验和解决问题的能力.老师应充分做好活动的策划者、引导者的角色.活动中师生互动、生生互动,形成一个立体信息交流网络.
重视数学知识的生活化、应用化.在这节课的教学过程中,从学生的实际出发,引导他们学知识、用知识,给学生提供一个展示所学知识的舞台,培养学生利用数学知识解决实际问题的能力,激发学生持续学习的动力.
1 / 1(共22张PPT)
第3课时 三角形的三条重要线段
第四章 三角形
4.1 认识三角形
七年级数学下册同步（北师大版）
用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，你知道怎样确定这个点的位置吗？
新课导入
探究1：三角形的中线
如图，△ABC中，有一条红色线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG……）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
进入新课
通过观察，找到了具有特殊位置的线段，这三条线段是三角形的重要线段，它们分别是三角形的中线、角平分线和高线.
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线.
如图，点E是BC的中点，线段AE是△ABC的中线.
由定义可知：如果AE是△ABC的中线，那么有：BE=EC= BC.
在一个三角形中，有几条中线呢？它们的位置关系又如何呢？画一画，议一议.
（1）在纸上画一个锐角三角形，并画出它的所有中线，它们有怎样的位置关系？
（2）钝角三角形和直角三角形的中线有几条，它们也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴交流.
【归纳结论】
一个三角形的中线共有三条，它们存在于三角形的内部，并且三条中线相交于一点.我们把这一点叫做重心.
用铅笔支起一张均匀的三角形卡片，这个支点就是三角形的重心.
探究2：三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如图，
AD是∠BAC的角平分线.
由定义可知：如果AD是∠BAC的角平分线，那么有：∠BAD=∠DAC= ∠BAC.
拿出准备好的锐角三角形.钝角三角形和直角三角形纸片各一个，来动手做一做.
（1）你能分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形这三个三角形的三条角平分线吗？
（2）你能用折纸的办法得到它们吗
（3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？
这三条角平分线都在三角形的外部，还是内部呢？
【归纳结论】
三角形一共有三条角平分线，都在三角形的内部，它们相交于一点.
探究3：三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
如图，
线段AM是BC边上的高.
(∵AM是BC边上的高,∴AM⊥BC)
做一做：准备一个锐角三角形纸片.
（1）能画出这个三角形的高吗？能用折纸的方法得到它吗？
（2）这三条高之间有怎样的位置关系呢？
【归纳结论】
锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.
议一议：画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
（1）画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系？
（2）能折出钝角三角形的三条高吗？能画出它们吗？
（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
【归纳结论】
1.直角三角形的三条高交于直角顶点处.
2.钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部.
1.AD是ΔABC的角平分线（如图），那么
∠BAC= ∠BAD；
2.AE是ΔABC的中线（如图），那么
BC= BE.
A
D
C
B
A
B
C
E
当堂练习
2
2
3.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交
AC于E,F为AB上一点,CF交AD于H,判断下列说法
的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD是△ABE的角平分线( )
（2）BE是△ABD边AD上的中线( )
（3）BE是△ABC边AC上的中线( )
×
×
√
4.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
5.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
6.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，
求∠DAE的大小.
解： ∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C )
=180°－90°－40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
B
A
C
D
E
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
