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4.3 探索三角形全等的条件
第四章 三角形
第2课时“角边角”“角角边”
七年级数学下册同步（北师大版）
情境引入
学习目标
1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、
归纳获得数学结论的过程.
2.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
(重点，难点)
3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够
进行有条理的思考并进行简单的推理.
有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗
情境引入
思考：我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度,那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢
1.角.边.角;
2.角.角.边.
每种情况下得到的三角形都全等吗
一、用“角边角”判定三角形全等
若三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,你能画出这个三角形吗
2cm
60°
80°
探究
你画的三角形与同伴画的一定全等吗 改变角度呢？试试看，你能得出什么结论？
60°
80°
如图，在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF.
用符号语言来表示：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
解：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
ASA
典例精析
B
C
A
D
探究
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
60°
45°
二、用“角角边”判定三角形全等
60°
45°
思考：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
75°
如图，在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF.
用符号语言来表示：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
例2 如图，AD∥BC，BE∥DF，AD＝CB，
试说明：△ADF≌△CBE.
解：∵AD∥BC，BE∥DF，
∴∠A＝∠C，
∠DFE＝∠BEC.
在△ADF和△CBE中，
∠A=∠C，
∠DFE＝∠BEC,
AD＝BC，
∴△ADF≌△CBE(AAS).
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
1.如图，已知AB=DE， ∠A =∠D，∠B=∠E，则
△ABC≌△DEF的理由是 .
2.如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，∠C=∠F，则
△ABC≌△DEF的理由是________________
A
B
C
D
E
F
角边角（ASA）
角角边（AAS）
随堂练习
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别
下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
能力提升
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
全等三角形对应边上的高也相等.
课堂小结
边角边
角角边
内容
有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”)；
有两角及其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”).
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别
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第2课时 角边角、角角边
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并能够说出判定三角形全等的“角边角”和“角角边”的方法,且能够应用它们判定三角形全等.
【过程与方法】
经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,由此带动知识发生、发展的全过程.
【情感、态度与价值观】
积极参与三角形全等条件的探究过程,从中体会操作成功的快乐,建立学好数学的自信心,体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
对三角形全等的判定方法——“角边角”和“角角边”的理解与应用.
【教学难点】
应用“角边角”和“角角边”的三角形全等的判定方法,也较熟练地判定三角形全等.
◇教学过程◇
一、问题导入
证明三角形全等至少需要满足哪三个条件
三边分别相等(SSS),两角一边.
思考:两角一边又分几种情况 (两角及夹边,两角及其中一角的对边)
二、合作探究
探究点1 利用“ASA”判定三角形全等
典例1 如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD,BE交于点O,且AO平分∠BAC,则图中的全等三角形共有 ( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
[解析] 因为CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠ADO=∠AEO=90°.因为AO平分∠BAC,所以∠DAO=∠EAO,所以∠AOD=∠AOE.因为AO=AO,所以△ADO≌△AEO(AAS),所以OD=OE,AD=AE.因为∠DOB=∠EOC,∠ODB=∠OEC=90°,所以△BOD≌△COE(ASA),所以BD=CE,OB=OC,∠B=∠C.因为AE=AD,∠DAC=∠EAB,∠ADC=∠AEB=90°,所以△ADC≌△AEB(ASA).因为AD=AE,BD=CE,所以AB=AC.因为OB=OC,AO=AO,所以△ABO≌△ACO(SSS),所以共有4对全等三角形.
[答案] D
三角形全等的第二种方法:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”(或“ASA”).需要注意的是,这里是已知两个角对应相等,它们的夹边也对应相等,不要弄错.
探究点2 利用“AAS”判定三角形全等
典例2 如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 .
[解析] 答案不唯一,如添加AC=BC.因为AD,BE是△ABC的两条高,所以∠ADC=∠BEC=90°,在△ADC和△BEC中,所以△ADC≌△BEC(AAS).
[答案] AC=BC(答案不唯一)
全等三角形的第三种判定方法:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.这里需要注意的是一定要“对应”.另外,这种方法与“角边角”联合起来,两个三角形只有两个角对应相等,只要再有一对对应边相等,就可以判定这两个三角形全等.
三、板书设计
角边角、角角边
角边角、
角角边
◇教学反思◇
本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等,探究出三角形全等的判定方法.在寻找判定方法说明两个三角形全等的条件时,可先把容易找到的条件列出来,然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件.从课堂教学的情况来看,学生对“角边角”掌握较好,达到了教学的预期目的.存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清,还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练.
新课程要求培养学生的应用数学的意识,数学来源于生活,又服务于生活.在整个过程中还要注意发挥评价的作用,不论是探究活动、创作活动都采取自评、互评的方式让学生成为评价的主人和对象.
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